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四川省井研中学2015-2016学年高二(下)四月月考数学(文理合卷)试题



四川省井研中学 2015-2016 学年度 2017 届高二下期四月月考试题 数学(文理合卷)
1.已知 a,b∈R,则 a=b 是(a-b)+(a+b)i 为纯虚数的( A.充要条件 2.已知函数 f ( x) ? A、
2016/4/14

9.已知函数 f ( x) ? sin x ? A. f(x)在 (0,

?
2

1 x, ( x ? (0, ? ]) ,则( 2



] 上是增函数

B. f(x)在 [

?
6

, ? ] 上是增函数

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. )
) B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

C. ?x0 ? (0, ? ], f ( x0 ) ? f ( )

?

3

D. ?x ? (0, ? ], f ( x) ? f ( )

?

3

10. 若 g ( x) 为三次函数 f ( x) ?

a 3 则函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象可能是 ( ) x ? ax2 ? cx 的导函数, 3

2 3 ,那么当自变量 x 由 2 变到 时,函数值的增量 ?y 为( ) x 2
B、 ?

1 2

1 2
z

C、

1 3

D、 ? )

1 3

3.已知复数 z 的共轭复数为 z ,且 A.-1+3i B.1-3i

=2+i,则复数 z=( 1+i C.3+i

D.3-i

11.设 a∈R,函数 f ( x) ? e x ? a ? e? x 的导函数是 f ′(x),且 f ′(x)是奇函数,若曲线 y=f(x)的一条

4.下列函数中, x ? 0 是极值点的函数是( ) A、 y ? ? x
3

B、 y ? cos x

C、 y ? tan x ? x

D、 y ?

1 x

切线的斜率是 A.ln 2

3 ,则切点的横坐标为 ( 2
B. -ln2 C.

) D. -

5.已知 m ? R ,复数 z ? (m2 ? 5m ? 6) ? (m2 ? 2m ?15)i 在复平面对应的点位于第四象限, 则实数 m 的取值范围是( ) A、 (?3, ?1) B、 (??, ?3) ? (?1, ??) C、 (?3, ?2) ? (3,5) D、 (3,5)

12.设函数 f '( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0 ,当 x>0 时, xf '( x) ? f ( x) <0, 则使得 f (x) >0 成立的 x 的取值范围是( ) C. ? ??, ?1? ? ? ?1,0? D. ? 0,1? ? ?1, ???

, b? 0 , c0 ? ” 6. 用反证法证明命题 “设 a,b,c 为实数, 且 a ? b ? c ? 0, ab ? bc ? ca ? 0 , 则a ? 0
时,应给出的假设是( A、a,b,c 都不是正数 C、a,b,c 至多有一个不是正数 ) B、a,b,c 至多有一个正数 D、a,b,c 至少有一个不是正数 )

A. ? ??, ?1? ? ? 0,1?

B. ? ?1,0? ? ?1, ???

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )
2 13.复数 z=1+ 3,i 为虚数单位,则复数 z 的虚部是 i 14.若幂函数 f ( x ) 的图象经过点 A( , ) ,则曲线 y ? f ( x) 在 A 点处的切线方程是 15.观察以下等式:

7.设 f ( x), g ( x) 在 [ a, b] 上可导,且 f ?( x) ? g ?( x) ,则当 a ? x ? b 时,有( A、 f ( x ) ? g ( x ) C、 f ( x ) ? g ( a ) ? g ( x ) ? f ( a ) 8.若函数 f ( x) ? A. (1, 2] B、 f ( x ) ? g ( x ) D、 f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b)

1 1 4 2

1 1 1 1 12 ? ?1? 2 ? 3,12 ? 22 ? ? 2 ? 3 ? 5,12 ? 2 2 ? 32 ? ? 3 ? 4 ? 7,12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? ? 4 ? 5 ? 9, 6 6 6 6
?,则第 n 个等式: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

1 2 x ? 9 ln x 在 [a ? 1, a ? 1] 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ( 2
B. [4, ??) C. (??, 2] D. [0,3]

(其中 n ? N )

?

)

16.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值如下表, f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图象 如图所示. x f(x) -1 1 2 0 2 0 4 2 5 1

20.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? a)sin x ? cos x, x ?[0, ? ] ,a 为实数. (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)当 a ?

?
2

时,求 f ( x) 的单调递减区间.

下列关于 f ? x ? 的命题: ①函数 f ? x ? 的极大值点为 0 与 4; ②函数 f ? x ? 在 ? 0 , 2? 上是减函数; ③如果当 x ? ? ?1,t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么实数 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点; ⑤函数 y ? f ( x) ? a 零点的个数可能为 0、1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是 . 21.(本题满分 12 分)水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点, 根据历年数据,某水库的蓄水量 V(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为:
1 t ? 4 ?(?t 2 ? 1 4 t ? 4 e 0 ) ? 5 0? , t( ? 0 ) 10 V (t ) ? ? ? ? 4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50,(10 ? t ? 12)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17. (文科学生做)(本题满分 10 分)求下列函数的导数: (Ⅰ) y ? (1 ? x)( x ? 2)2 (Ⅱ) y ? e x ? tan x

(Ⅰ)该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期,以 t 表示第 t 月份(t=1,2,3,…,12), 问:同一年内哪些月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内哪个月份该水库的蓄水量最大,并求最大蓄水量. (说明: (ekx )? ? k ? ekx ,k 为常数)

(理科学生做)(本题满分 10 分)计算下列定积分的值: (Ⅰ)

?

1

0

(e x ? 2 x)dx

(Ⅱ)

?

2

0

| x2 ? x | dx

(1 ? i) 2 ? 3(1 ? i) 18.(本题满分 12 分)已知复数 z ? (i 是虚数单位) . 2?i
(Ⅰ)求复数 z 的模|z|; (Ⅱ)若 z 2 ? az ? b ? 1 ? i(a,b ? R) ,求 a ? b 的值. 22.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x ? ax ? 3 .
2

(Ⅰ)对一切 x∈(0,+∞),2 f(x) ≥ g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; 19. (本题满分 12 分)设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1, -11). (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值. (Ⅱ)求函数 f(x)在[t,t+2] (t > 0)上的最小值; (Ⅲ)证明:对一切 x∈(0,+∞),都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

井研中学 2017 届高二下期四月月考试题 数学(文理合卷)参考答案
一、选择题(本大题共 12 个小题,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 A 9 D 10 D 11 A 12 A

? ? | x 2 ? x | dx ? ? ( x ? x 2 )dx ? ? ( x 2 ? x )dx
0 0 1

2

1

2

1 1 1 3 1 2 ? ( x 2 ? x3 ) 1 x ) 0 ?( x ? 2 3 3 2 1 5 ? ? ?1 6 6

2 1

????????????4 分

二、填空题(本大题共 4 个小题,共 20 分) 13、2 16、 ①② 14、 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 15、 ? n ? (n ? 1) ? (2n ? 1)

(1 ? i) 2 ? 3(1 ? i) 18.(本题满分 12 分)已知复数 z ? (i 是虚数单位) . 2?i
(Ⅰ)求复数 z 的模|z|; 18、解: (1) (本小问 6 分) (Ⅱ)若 z 2 ? az ? b ? 1 ? i(a,b ? R) ,求 a ? b 的值.

1 6

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分) 17.(本题满分 10 分) (文科学生做)求下列函数的导数: (Ⅰ) y ? (1 ? x)( x ? 2)
2

z?

(1 ? i)2 ? 3(1 ? i ) 3 ? i (3 ? i)(2 ? i ) ? ? ? 1? i 2?i 2?i 5

??????????3 分

? | z |? 2
x

? ?????????????????????3 分

(Ⅱ) y ? e ? tan x

(2) (本小问 6 分)

(1) (本小问 4 分) y ? (1 ? x)( x2 ? 4x ? 4) ? ? x3 ? 3x2 ? 4

z 2 ? az ? b ? (1 ? i)2 ? a(1 ? i) ? b ? a ? b ? (2 ? a)i
? z 2 ? az ? b ? 1 ? i(a,b ? R ) ? a ?b ?1 ? a ? ?3 ?? ?? ?2 ? a ? ?1 ? b ? 4
(Ⅰ)求 a、b 的值;

? ?????????2 分

? y? ? ?3x2 ? 6x
sin x (2) (本小问 6 分) y ? e ? cos x
x

?????????????????????4 分

?????????????????4 分

sin x (sin x)? cos x ? sin x(cos x)? ? y? ? (e x )? ? tan x ? e x ? ( )? ? e x ? tan x ? e x ? cos x cos 2 x 1 e x ? (sin x ? cos x ? 1) ? e x ? tan x ? e x ? ? ????????? 6分 cos 2 x cos 2 x
(理科学生做)计算下列定积分的值: (Ⅰ)

19. (本题满分 12 分)设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1, -11). (Ⅱ)求函数 f(x)的极值.
2

解: (1) (本小问 5 分) f ?( x) ? 3x ? 6ax ? 3b 由已知得, f (1) ? ?11, f ?(1) ? ?12 ????????????????2 分

?

1

0

(e x ? 2 x)dx
x 2

(Ⅱ)
x

?

2

0

| x2 ? x | dx

(1) (本小问 4 分)? (e ? x )? ? e ? 2 x

? 1 ? a 3? b 3 ? ? 1 1? a ? 1 ? f (1) ????????????????3 分 ?? ?? ? ? 3 a 6? b 3 ? ? 1 2? b ?? 3 ? f ?( 1 )
(2) (本小问 7 分)? f ( x) ? x ? 3x ? 9 x,
3 2

? ? (e x ? 2 x)dx ? (e x ? x 2 ) |1 0 ? (e ? 1) ? 1 ? e ????????????????4 分
0

1

? x 2 ? x, ( x ? 0, x ? 1) 2 (2) (本小问 6 分)? | x ? x |? ? 2 ? x ? x , (0 ? x ? 1)

??????????2 分

? f ?( x) ? 3 x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x 2 ? 2 x ? 3) ? 3( x ? 3)( x ? 1) f ?( x) ? 0 ? x ? 3或 ? 1 ??????????3 分 f ?( x) ? 0 ? x ? ?1或x ? 3; f ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 3,

当 x 变化时,f′( x )与 f(x )的变化情况如表 x f′(x) f(x) (-∞, -1) + ↗ -1 0 极大值 (-1,3) - ↘ 3 0 极小值 (3,+ ∞) + ↗

①当 a ? ? 时,

? 0 ? x ? ? ? x ? a ? 0, f ?( x) ? 0 ? ( x ? a ) ? cos x ? 0 ? cos x ? 0 ? 0 ? x ?
此时, f ( x) 的单调递减区间为 (0, ②当

?
2

?
2

)

????????????3 分

可知,当 x ? ?1 时,函数 f(x)有极大值,且 f (?1) ? 5 ; 当 x ? 3 时,函数 f(x)有极小值,且 f (3) ? ?27 。 ????????????4 分

?
2

? a ? ? 时,

f ?( x) ? 0 ? ( x ? a ) ? cos x ? 0 ? x?a ? x?a ?x ? a ? 0 ?x ? a ? 0 ? ? ?? 或? ? ?? 或? ? ?cos x ? 0 ?cos x ? 0 ? ? x ? ? ?0 ? x ? ?2 ? 2 ?0? x?

20.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? a)sin x ? cos x, x ?[0, ? ] ,a 为实数. (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)当 a ?

?
2

时,求 f ( x) 的单调递减区间.

?
2

解: (1) (本小问 6 分) f ?( x) ? sin x ? ( x ? a) cos x ? sin x ? ( x ? a) cos x 当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ? cos x, x ?[0, ? ] ?????????????????1 分

, 或a ? x ? ?

此时, f ( x) 的单调递减区间为 (0,

?
2

), 和(a, ? )

???????????3 分

? f ?( x) ? 0 ? x ? cos x ? 0 ? 0 ? x ? f ?( x) ? 0 ? x ? cos x ? 0 ?
所以,函数 f ( x) 在 (0,

?
2

21.(本题满分 12 分)水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,

;

根据历年数据,某水库的蓄水量 V(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为:
1 t ? ?(?t 2 ? 1 4 t? 4e 04) ? 5 0? , t( ? 0 ) 10 V (t ) ? ? ? ? 4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50,(10 ? t ? 12)

?
2

? x ??

?

) 上单调递增;在 ( , ? ) 上单调递减。??????????3 分 2 2

?

(Ⅰ)该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期,以 t 表示第 t 月份(t=1,2,3,…,12), 问:同一年内哪些月份是枯水期?(说明: (e )? ? k ? e ,k 为常数)
kx kx

当 x 变化时,f′( x )与 f(x )的变化情况如表: x f′(x) f(x) 0 +

(0, ) 2
+ ↗

?

? 2
0 极大值 当x?

( ,? ) 2


?

?
-

(Ⅱ)求一年内哪个月份该水库的蓄水量最大,并求最大蓄水量. 解: (1) (本小问 6 分) ① 当 0< t ≤10 时, V(t) = (-t2+14t-40) , +50 < 50,化简得 t2 - 14t + 40>0, ????????????2 分

当 x ? 0 时, f (0) ? 1 , 当 x ? ? 时, f (? ) ? ?1 ,

?
2

时, f ( x) max ? f ( ) ?

?

?
2

2

所以 t < 4 或 t >10,又 0< t ≤10,故 0< t < 4.

②当 10 < t ≤ 12 时,V(t )= 4(t-10)(3t - 41)+50 < 5 0,化简得(t-10)(3t - 41) < 0,

所以,函数 f ( x) 的值域为 [ ?1,

?
2

] 。 ???????????????????2 分

所以 10< t <

, 又 10 < t ≤ 12,故 10 < t ≤12.

????????2 分

(2) (本小问 6 分) f ?( x) ? sin x ? ( x ? a) cos x ? sin x ? ( x ? a) cos x, x ?[0, ? ]

综上得,0 < t < 4 或 10< t ≤ 12. 故,可知枯水期为 1 月,2 月,3 月,11 月,12 月共 5 个月. ????????2 分

(2) (本小问 6 分)由(1)可知 V (t )的最大值只能在[4,10]内达到. 由 V′( t ) = 令 V′( t )= 0 得 t=8 或 t=-2(舍去). 当 t 变化时,V′( t )与 V (t )的变化情况如表 t V′( t ) V (t ) [4,8) + ↗ 8 0 8e2+50
2

?????1 分 ????????2 分

=-

(t + 2) (t – 8 ).

1 1 f ?( x) ? 0 ? 1 ? ln x ? 0 ? x ? ; f ?( x) ? 0 ? 1 ? ln x ? 0 ? 0 ? x ? e e 1 1 可知,函数 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增。 ???????1 分 e e
①当 0< t < t+2 < 时,此时 t 不存在,没有最小值; 时,

(8,10] ↘

②当 0 < t <

< t+2 时, 即 0 < t <

此时,f(x)在[t, ]上单调递减,f(x)在[ ,t+2]上单调递增。 f (x)min = f ③当 = - ; 时, ?????????????????????1 分

由上表可知,当 t=8 时,V(t )取得最大值 8e +50(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是(8e2+50)亿立方米. ????????3 分 ≤ t < t+2 时,即 t ≥

22.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 . (Ⅰ)对一切 x∈(0,+∞),2 f (x) ≥ g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (x)在[t,t+2] (t > 0)上的最小值; (Ⅲ)证明:对一切 x∈(0,+∞),都有 ln x ? 解: (1) (本小问 4 分) 因 2 f (x) ≥ g(x)恒成立,即 2 x lnx ≥ -x + a x -3 在 (0,+∞)上恒成立, 则 a ≤ 2lnx +x + 在 (0,+∞)上恒成立, ( x > 0 ), . ????????????1 分 ????????1 分
2

此时,f(x)在[t,t+2]上单调递增, f (x)min = f( t ) = tlnt.

综上,所以 f ( x) min

1 2 ? 成立. e x ex

1 ? 1 ? , (0 ? t ? ) ? ? e e ?? 1 ? t ? ln t , (t ? ) ? e ?

??????????????????2 分

(3) (本小问 4 分) 对一切 x∈(0,+∞),都有 ln x ? 等价于证明: x ? ln x ?

1 2 ? 成立, e x ex

设 h ( x ) = 2lnx+x+ 则 h′(x) =

① x∈(0,1),h′( x ) < 0, h ( x )单调递减; ② x∈(1,+∞),h′ ( x ) > 0,h ( x )单调递增。 所以 h ( x ) min = h (1 ) = 4,对一切 x∈(0,+∞),2f( x ) ≥ g( x )恒成立. 所以 a ≤ h (x )min = 4, 即 a 的取值范围是(-∞,4]. (2) (本小问 4 分)f(x)的定义域为 (0, ??) ,f ′ (x)=lnx+1, ????????????2 分

x 2 ? , ( x ? 0) , ??????????????????1 分 ex e 1 1 由(2)可知,函数 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增。 e e 1 1 1 此时,当 x ? 时,函数 f ( x ) 有最小值,且等于 f ( x) min ? f ( ) ? ? ; ????1 分 e e e x 2 1? x 设 m( x) ? x ? , ( x ? 0) ,则 m?( x) ? x , e e e 1? x 1? x ? m?( x) ? x ? 0 ? 0 ? x ? 1; m?( x) ? x ? 0 ? x ? 1 e e
所以,函数 m( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减 可知, 当 x ? 1 时,函数 m( x) 有最大值,且等于 m( x) max ? m(1) ? ? 从而对一切 x∈(0,+∞),都有 ln x ?

1 e

1 2 ? 成立. e x ex

?????????????2 分



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