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高中数学 第二章 2.1.2 第一课时 指数函数的图像及性质课件 新人教A版必修1



第 二 章
2.1

2.1. 2

第 一 课 时 指 数 函 数 的 图 像 及 性 质

课前 预习 ·巧 设计

读教材·填要点 小问题·大思维

基 本 初 等 函 数
(I )

指 数 函 数

指 数 函

数 及 其 性 质

考点一
名师 课堂 ·一 点通

考点二 考点三

解题高手
创新 演练 ·大 冲关

NO.1课堂强化 No.2课下检测

[读教材·填要点] 1.指数函数的定义
x 函数 y=a (a>0,且a≠1) 叫做指数函数,其中x是自

变量. 2.指数函数的图像与性质 a>1 0<a<1

图像

定义域 值域 性 质

R

(0,+∞)

过定点 过点 (0,1) ,即x= 0 时,y= 1 函数值 的变化 当x>0时, y>1 ; 当x>0时, 0<y<1 ; 当x<0时,0<y<1 . 当x<0时, y>1 . 减函数

单调性 是R上的 增函数 是R上的

[小问题·大思维] 1.下列函数中,哪些是指数函数?

①y=2-x;②y=2x+1;
③y=3· 2x;④y=-2x; ⑤y=(-2)x;⑥y=x2; ⑦y=(a-1)x(a>1且a≠2).
1x 提示:∵y=2 =(2) ,∴根据指数函数的定义可知,
-x

只有①⑦是指数函数.

1x 2.在同一坐标系中 y=a 和 y=(a) 的图像有什么关系?
x

提示:关于y轴对称. 3.指数函数具有奇偶性吗?

提示:指数函数既不是奇函数又不是偶函数.
4.同一坐标系中,不同底数的指数函数图像相对位置有 何关系? 提示:在y轴右侧,图像从上到下相应的底数由大变小; 在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小,即无

论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.

[研一题]
[例 1] 指出下列函数中,哪些是指数函数.

(1)y=πx;(2)y=(-4)x;(3)y=-4x;(4)y=x4; 1 - (5)y=(2a-1) (a>2,且 a≠1);(6)y=(a2+2) x;
x

(7)y=2· 3x+a(a≠0);(8)y=4x2.

[自主解答]

根据指数函数的定义,指数函数满足:

①前面系数为1;

②底数a>0,且a≠1;
③指数是自变量,所以, (1)y=πx,底数为π,满足π>0,且π≠1,前面系数为1, 且指数x为自变量,故它是指数函数; (2)y=(-4)x,底数-4<0,故它不是指数函数;

(3)y=-4x,前面系数为-1,故它不是指数函数;
(4)y=x4,指数为4而不是x,故它不是指数函数;

1 (5)y=(2a-1) ,因为 a> ,且 a≠1,所以 2a-1>0,且 2a 2
x

-1≠1,前面系数为 1,且指数为自变量 x,故它是指数函数; 1 x 1 1 (6)y=(a +2) =( 2 ) ,底数 2 ∈(0, ],前面系数 2 a +2 a +2
2
-x

为 1,指数为自变量 x,故它是指数函数; (7)y=2· 3x+a(a≠0),3x 前面系数为 2≠1,故它不是指数 函数; (8)y=4x2,底数是自变量,且前面系数为 4,故它不是指 数函数.故(1)(5)(6)为指数函数.

[悟一法] 指数函数是形式化的概念,形如y=ax(a>0,且a≠1)的函 数被称为指数函数,这里x是自变量,要判断一个函数是否 是指数函数,需抓住三点:①底数大于零且不等于1;②幂 指数有单一的自变量x;③系数为1,且没有其他的项.

[通一类] 1.下列函数中,哪些是指数函数? (1)y=10x;(2)y=10x+1;(3)y=-6x; (4)y=(10+a)x(a>-10,且a≠-9). 解:(1)y=10x符合定义,是指数函数; (2)y=10x+1是由y=10x和y=10这两个函数相乘得到 的复合函数,不是指数函数.

(3)y=-6x是由y=6x与y=-1这两个函数相乘得到的复合函 数,不是指数函数. (4)由于10+a>0,且10+a≠1,即底数是符合要求的常数,

故y=(10+a)x(a>-10,且a≠-9)是指数函数.
综上可知,(1)(4)是指数函数.

[研一题] [例2] 如图所示是下列指数函数的

图像,(1)y=ax;(2)y=bx;(3)y=cx;(4)y =dx.则a,b,c,d与1的大小关系是 ( A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c )

[自主解答]

可先分为两类,(3)(4)的底数一定大于1,

(1)(2)的底数一定小于1,然后再由(3)(4)比较c,d的大小, 由(1)(2)比较a,b的大小,当指数函数的底数大于1时,图

像上升,且当底数越大,图像向上越靠近y轴;当底数大
于0小于1时,图像下降,且当底数越小,图像越靠近x 轴. [答案] B

[悟一法]

指数函数的图像随底数变化的规律:
无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax的图像

与直线x=1相交于点(1,a),由图像可知:在y轴右侧,图
像从下到上相应的底数由小变大.

[通一类]

2.若0<a<1,b<-1,则函数f(x)=ax+b 的图像不经过
( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

解析:f(x)=ax(0<a<1)大致图像为:

而f(x)=a x+b(b<-1)则函数图像不经过第一象限. 答案:A

[研一题] [例 3] 求下列函数的定义域和值域.
(1)y=8
x-2

;(2)y=

1x 1-?2? .

[自主解答] (1)定义域为[2,+∞); ∵ x-2≥0,∴y=8 ∴值域为[1,+∞).
x-2

≥1.

1x (2)∵1-(2) ≥0, 1x 10 ∴(2) ≤1=(2) .即 x≥0. ∴函数 y= 1x 1-?2? 的定义域为[0,+∞);

1x 令 t=(2) ,∴0<t≤1. ∴0≤1-t<1,∴0≤ 1-t<1. ∴ y= 1 1-?2?x的值域为[0,1).

[悟一法] 对于y=af(x)这类函数:

(1)定义域是指只要使f(x)有意义的x的取值范围;
(2)值域问题,应分以下两步求解:

①由定义域求出 u=f(x)的值域;
②利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域.

[通一类]
3.求下列函数的定义域和值域. (1)y=3
1-x

;(2)y=5-x-1.
1- x

解:(1)要使函数 y=3

有意义,只需 1-x≥0,

即 x≤1,所以函数的定义域为{x|x≤1}. 设 y=3u,u= 1-x,则 u≥0,由函数 y=3u 在[0,+∞) 上是增函数,得 y≥30=1,所以函数的值域为[1,+∞)

(2)函数 y=5-x-1 对任意的 x∈R 都成立, 所以函数的定义 域为 R.因为 5-x>0,所以 5-x-1>-1, 所以函数的值域为(-1,+∞).

求k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有两解? [巧思] 可在同一直角坐标系下画出函数y=|3x-1|的图

像和直线y=k,通过观察图像交点的个数解决.

[妙解]

函数y=|3x-1|的图像是由函数y=3x的图像向下

平移一个单位后,再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴 上方得到,函数图像如图所示.

当k<0时,直线y=k与函数y=|3x-1|

的图像无交点,即方程无解;
当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y= |3x-1|的图像有唯一的交点,所以方程有一解; 当0<k<1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图像有两个 不同交点,所以方程有两解.



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