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大学文科数学第三章导数与微分


章 节 教

第三章 变量变化速度与局部改变 量的估值问题-----导数与微分

课 时

6

1.使学生准确掌握导数与微分的概念.明确其物理、几何意义,


2.熟悉导数与微分的运算性质和微分法则, 牢记基本初等函数的


导数公式,并熟练地进行初等函数的导数、微分运算;

的 教 学 重 点 及 突 出 方 法 教 学 难 点 及 突 破 方 法
1.教学难点是求复合函数的导数 2.突破方法是让学生首先记住什么是基本初等函数,然后将复合 函数拆成基本初等函数 1.教学重点是导数与微分的概念及其计算 2.解决方法为在几何意义的基础上理解函数导数的定义, 熟记公 式

相 关 内 容 素 材

第一节

函数的局部变化率--------导数

文艺复兴的火炬驱散了欧洲中世纪的漫漫黑暗,15 世纪之后的欧洲,资 本主义逐渐,出现的大量实际问题,给数学提出了前所未有的亟待解决的新 课题,其中三类问题导致了微分学的产生: (1)求变速运动的瞬时速度 (2)求曲线上一点的切线 (3)求极大值和极小值 1.1 抽象导数概念的两个现实原型 原型 I 求变速直线运动的速度 设一质点 M 从点 O 开始做变速直线运动,经过 T 秒到达 P 点,求该质点在

t0 ??0, T ? 时刻的瞬时速度.
以 O 为原点,沿质点运动的方向建立数轴---- s 轴,用 s 表示质点的运动 的路程,显然路程 s 是时间 t 的函数,记作 s ? f (t ), t ??0, T ? ,现求 t0 ??0, T ?



时刻的瞬时速度 v0 ? v(t0 ) . 如果质点做匀速直线运动,那么按照公式 速度=
路程 ,便可以求出 v0 ,但 时间



是现在要求质点做变速直线运动的速度,则在整个时间间隔 ? 0, T ? 内不能应



用上边的公式求 t 0 时刻的速度 v0 ,下面我们分三步来解决这一问题. (1)给 t 0 一个增量 ?t , 时间从 t 0 变到 t1 ? t0 ? ?t , 质点 M 从点 M 0 运动到点 M 1 ,



路程有了增量

?s ? f ?t1 ? ? f ?t0 ? ? f ?t0 ? ?t ? ? f ?t0 ?
(2)当 ?t 很小时,速度来不及有较大的变化,可以把质点在 ?t 间隔内的运动 看似匀速运动,这实质上是把变速运动近似的转化为匀速运动,下面求 ?t 内的平均速度
v? ?s f ? t0 ? ?t ? ? f ? t0 ? ? ?t ?t

(3)当 ?t 越来越小,平均速度就越来越接近于 t 0 时刻的瞬时速度 v0 ,即

第一节

函数的局部变化率--------导数
v0 ? lim v ? lim
?t ?0

f ? t0 ? ?t ? ? f ? t0 ? ?s ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

原型 II

求曲线切线的斜率

在初等数学中,我们知道曲线 y ? f ( x) 上的两点 M 0 ( x0 , y0 ) 和 M ? x, y ? 的连线 为曲线的割线,当点 M 沿着曲线无限的趋近于 M 0 时,其极限位置就是曲线 在点 M 0 处的切线,如何求曲线在 M 0 处的切线的斜率呢?我们分三步来解 决:(1)求增量 给 x0 一个增量 ?x ,自变量由 x0 变到 x0 ? ?x ,曲线上纵坐标



的相应增量为 ?y = f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) . (2)求增量比 曲线 y ? f ( x) 上的点从 M 0 ( x0 , y0 ) 变到 M ? x0 ? ?x, y0 ? ?y ? 时,



当 ?x 很小时,此时曲线上的纵坐标来不及有很大的变化,这时候割线的斜 率近似的等于切线的斜率,此时割线 M 0 M 的斜率为
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x ?x



(3) 取 极 限 当 Δx ? 0 时 , 点 M ? x0 ? ?x, y0 ? ?y ? 沿 着 曲 线 无 限 的 接 近

M 0 ( x0 , y0 ) ,割线 M 0 M 的斜率的极限就是切线的斜率,即



tan ? ? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ?? ? ? lim , 其中 ? ? ? ? ? ,是切线与 x 轴正向 ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x 2? ?

之间的夹角. 1.2 导数概念 定义 设函数 y ? f ?x ?在点 x0 的某邻域内有定义,当自变量 x 有一个增量 ?x 时 , 相 应 函 数 值 的 增 量 为 ?y = f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , 若 极 限
lim f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? 存在,则称函数 f 在点 x0 可导,并称该极限为函数 f ?x

?x ?0

第一节

函数的局部变化率--------导数

在点 x0 处的导数,记为

f ??x0 ? , y ?

x ? x0



dy dx

x ? x0



df dx

x ? x0

等.

若上述极限不存在,则称 f 在点 x0 不可导. 导数是函数增量 ?y 与自变量增量 ?x 之比
?y 的极限,这个增量比称为函数 ?x
x ? x0

关于自变量的平均变化率,而导数 f ??x0 ? = lim

f ?x ? ? f ?x0 ? 是函数在点 x0 处 x ? x0



的变化速度,称为函数 f 在点 x0 处的瞬时变化率. 导数的力学意义就是变速直线运动物体的瞬时速度 导数的几何意义就是曲线的切线斜率



例1

求函数 f ( x) ? x2 在点 x ? 2 处的导数

解:给 x ? 2 一个增量 ?x ,



f ?(2) ? lim

?x ?0

f (2 ? ?x) ? f (2) (2 ? ?x) 2 ? 4 ? lim ?x ?0 ?x ?x



4 ? 4?x ? ?x 2 ? 4 ?4 ? lim ?x ?0 ?x

如果函数 f 在区间 ( a, b) 内每一点都可导,则称 f 为区间 ( a, b) 上的可导函 数。此时对每一个 x ? (a, b) ,都有 f 的一个导数 f ?? x ? 与之对应,记作

f ?? x ? , y ? ,

dy df , dx dx

等. 即
f ?x ? ?x ? ? f ?x ? ?x

f ??x ? ? lim

?x ?0

这就是说:函数 f ?x ? 在点 x0 的导数 f ??x0 ? 是曲线 y ? f ?x ? 在点 x0 处的函数值

第一节
例2 求函数 y ?

函数的局部变化率--导数

1 在点 x ? 1 处的导数 x

1 1 ? f ( x ? ?x) ? f ( x) 1 ?1 ?? 2 解: f ?( x) ? lim ? lim x ? ?x x ? lim ?x ?0 ?x ?0 x ? x ? ?x ? ?x ?0 ?x x ?x
f ?(1) ? ?1

例3

求函数 x 的导数
f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? lim ? x ? 0 ?x ?x

解: f ?( x) ? lim

?x ?0



? lim

?x ?0

?x

?

?x x ? ?x ? x

?

?

1 2 x



综上面的例题,幂函数 x? 的导数 ? x? ?? ? ? x? ?1 例4 求常数函数 y ? C 的导数.



解 : (1)求增量:因为 y ? C ,即不论 x 取什么值, y 的值总等于 C , 所以 ?y ? 0 ;



(2)算比值:

?y ? 0; ?x

(3)取极限: y? ? lim 即常数函数的导数等于零. 例5

?y ? lim 0 ? 0 . ?x ? 0 ?x ?x ? 0

求函数 y ? sin x 的导数.

解 (1)求增量: ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? sin(x ? ?x) ? sin x , 由和差化积公式有: ?y ? 2 cos

( x ? ?x) ? x ( x ? ?x) ? x sin 2 2

第一节
?y ? ?x

函数的局部变化率---导数
?x ?x ?x ) sin sin 2 2 ? cos(x ? ?x ) 2 ?x . ?x 2 2

2 cos(x ?

(2)算比值:

?x dy ?y ?x 2 ? lim ? lim cos(x ? ) (3)取极限: ?x dx ?x?0 ?x ?x?0 2 2 sin
?x sin ?x 2 ? cos x ? lim cos( x ? ) lim ?x?0 2 ?x?0 ?x 2
即 (sin x)? ? cos x ,用类似的方法,可求得 (cos x)? ? ? sin x







? 1 我们同样可以利用导数定义去证明对数函数 ?log a x ? ? log a e , x 1 ? 特别地 ?ln x ? ? x 1.5 函数的可导性与连续性之间的关系

定理 2 1.6

若函数 f ?x ? 在 x 处可导,则函数 f ?x ? 在 x 处连续.

高阶导数的概念



函数 f ?x ? 的变化率是用它的导数 f ?( x ) 来表示的, 而导数 f ?( x ) 也是 x 的函数, 那么函数 f ?( x ) 的变化率也应该用它的导数 ? f ?( x) ?? 来表示,我们把它称为函 数 f ?x ? 的二阶导数,记作
f ???x ? ,

d2y dx 2

二阶导数的力学意义就是运动物体的加速度 设函数 f ?x ? 存在 n ? 1 阶导数,并且 n ? 1 阶导数可导,那么 y? n?1? ? f ? n?1? ? x ? 的导数称为函数 f ?x ? 的 n 阶导数记为 f
?n ?

?x ?

,y

?n ?

?x ?

dny , n dx

第一节

函数的局部变化率---导数

例 设 y ? x , y? ? x? ? 1, y?? ? 1? ? 0 设 y ? sin x , y? ? cos x , y?? ? ? sin x 课堂练习:

P78

3.(1)10.(3)

总结: 1、学习导数的基本定义及导数的几何意义 2、掌握函数导数的求法 作业:

P78

3.(2)









第二节

求导数的方法---法则和公式

2.1 求导法则 1.函数的和、差、积、商的求导法则 u x) ?( v x) (1) 设函数 u ? u(x) 与 v ? v(x) 在点 x 处可导 , 则函数 ( 也在 点 x 处可导,且有以下法则:
? x) ? x) [( u x) ?( v x) ]? ? u ( ?v (

例1 已知 y ? x3 ? sin x ? ln 2 解: y? ? ? x3 ? sin x ? ln 2 ?? ? ? x3 ?? ? ? sin x ?? ? (ln 2)? ? 3x2 ? cos x (2) 设函数 u ? u(x) 与 v ? v(x) 在点 x 处可导,则函数 u(x)v(x) 也 在点 x 处可导,且有以下法则:



[u( x)v( x)]? ? u?( x)v( x) ? u( x)v?( x)

证明:令 y ? u(x)v(x) ,



(1)求函数 y 的增量: 给 x 以增量 ?x , 相应地函数 u(x) , v(x) 各有增量
?u 与 ?v ,从而 y 有增量



?y ? u(x ? ?x)v(x ? ?x) ? u(x)v(x) ? [u(x ? ?x) ? u(x) ]v(x ? ?x) ? u(x) [v(x ? ?x) ? v(x) ] ? ?uv(x ? ?x) ? u(x)?v,
(2)算比值:
?y ?u ?u ? v(x ? ?x) ? u(x) ?x ?x ?x



,

(3)取极限:由于 u(x) 与 v(x) 均在 x 处可导,所以

?u ?v ? u?(x), lim ? v?(x) . ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x lim
又,函数 v(x) 在 x 处可导,就必在 x 处连续,因此 lim v( x ? ?x) ? v( x) ,
?x ? 0

从而根据和与乘积的极限运算法则有

?y ?u ?v ? lim lim v(x ? ?x) ? u(x) lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ' ? u?(x)v(x) ? u(x)v ( x) . lim

第二节

求导数的方法---法则和公式

这就是说, y ? u(x)v(x) 也在 x 处可导且有 . [u(x)v(x) ]? ? u?(x)v(x) ? u(x)v?(x) 特别的,当 u ? C,(Cv)? ? Cv? 例2 已知 y ? x2 ln x ? 2 x cos x ? ? 解: y? ? x 2 ln x ? 2 x cos x ? ?
? 2 x ln x ? x 2

?

?? ? ? x

2

ln x ?? ? 2

?

? x cos x ? ?? ??

?



1 1 ? 2( cos x- x sin x) x 2 x cos x ? 2 x sin x x

? 2 x ln x ? x ?





(3) 设 函 数 u ? u(x) 与 v ? v(x) 在 点 x 处 可 导 , 则 函 数 u(x) (v(x) ? 0) 也在点 x 处可导,且有以下法则: v(x) ? ? u(x)? ?(x) ? u(x) ? u?(x)?(x) ? (v( x) ? 0) 2 ? ? ?(x) ??(x) ?
v? ? u ?? 特别的,当 u ? 1, ? ? ? ? 2 v ?v?



例3

已知 y ? tan x ,求 y?
? cos x ? sin ( ? sin x (sin x) x cos x) ?? ) 2 cos x cos x

?? (tan x) ( 解: y? ?

?

cos2 x ? sin 2 x 1 ? ? sec2 x, 2 2 cos x cos x
? ? ? csc2 x (cot x) 同理可得

? ? sec2 x (tan x) 即

例4

已知 y ? sec x ,求 y? .

第二节

求导数的方法---法则和公式

? ? sin x 1 ? (cos x) ? ??? (sec x) ? sec x tan x 解: y? ? = ? ?? 2 cos x cos 2 x ? cos x ?

? ? ? csc x cot x 同理可得 (csc x)

2.复合函数的求导法则 设函数 y ? f ?? ( x)?是由函数 y ? f (u ) 和 u ? ? ( x) 复合而成的函数,并且设函 数 u ? ? ( x) 在点 x 处可导,y ? f (u ) 在对应的点 u ? ? ( x) 处可导, 则有复合函 数的求导法则:
dy dy du ? dx du dx



也可表示为 { f [? ( x)]}? ? f ?(u)? ?( x) 复合函数的导数等于函数对于中间变量的导数乘以中间变量对于自变量的 导数. 例5 求 y ? sin x 的导数





解: 函数 y ? sin x 可以看作由函数 y ? sin u 与 u ? x 复合而成. 因此 y? ? (sin u)?( x )? ? cosu

1 2 x

?

cos x 2 x



例6

y ? ln cos( x ) ,求 y?

解:函数是由 y ? ln u, u ? cos v, v ? x 复合而成,则
y? ? ? ln u ?? ? ? cos v ?? ?

? x ??

1 1 ? ? ? ? sin v ? u 2 x

?

1 1 ? sin x ? cos x 2 x

?

?

例7

y ? ln x ,求 y?

第二节

求导数的方法---法则和公式

?ln x, x ? 0 解: y ? ln x ? ? ?ln(? x), x ? 0
当 x ? 0 时, y ? ?
1 ; x

当 x ? 0 时,函数是由 y ? ln u, u ? ? x 复合而成
1 1 y? ? ? ln u ?? ? ? ? x ?? ? ? (?1) ? u x 3.用复合函数求导法则求隐函数的导数

如果方程 F ( x, y) ? 0 确定了 y 是 x 的函数,那么这样的函数叫做隐函数.


例8 方程 x2 ? y ? ln y ? 0 确定了 y 是 x 的函数,求 y? .
y? ?0 y



解:方程左右对 x 求导, 2 x ? y? ?
2 xy y ?1

y? ?


例9 求圆 x2 ? y 2 ? 4 上一点 M 0 (? 2, 2) 处的切线方程. 解:将方程左右关于 x 求导, 2 x ? 2 yy? ? 0


y? ? ? x ,则 k ? 1 ,从而切线方程为 y ? 2 ? x ? 2 y

2.2

基本初等函数的求导公式

1.任意指数的幂函数 y ? x? (? ? R) 的导数 解:左右取以 e 为底的对数, ln y ? ? ln x ,再对 x 求导,
y x? ?? ? ? x? ?1 x x

y? 1 ?? y x

y? ? ?

第二节

求导数的方法---法则和公式

2.指数函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的导数 解:左右取以 e 为底的对数, ln y ? x ln a ,再对 x 求导,
y? ? ln a y

y? ? a x ln a
特别的当 a ? e 时, ? e x ?? ? e x 3.反三角函数的导数



? arcsin x ?? ?
? arctan x ?? ?

1 1? x
2

; ? arccos x ?? ? ?

1 1 ? x2

1 1 ; arc cot x ?? ? ? 2 ? 1? x 1 ? x2



解:设 y ? arcsin x, x ? (?1,1), y ? (? 对

? ?

, ) ,则存在反函数 x ? sin y ,等式两边 2 2



x 求导, 1 ? cos y ? y? , y? ?
例 10

1 1 1 ? ? 2 cos y 1 ? sin y 1 ? x2

求下列函数在指定点处的导数



?? ? (1) f (t ) ? ln sin t ,求 f ? ? ? ?4?

解: f ?(t ) ?

cos t ? ?? ? ? tan t , f ? ? ? ? tan ? 1 sin t 4 ?4?

t 1 (2) f (t ) ? arcsin ? arctan ,求 f ? ?1? 2 t

1 2 1 1 1 1 ? , f ? ?1? ? f ?(t ) ? ? t ? ? 2 2 2 1 t ?1 3 2 4?t ? t ? 1? 2 1? ? ? t ?2? 1 2 ?

第二节
例 11

求导数的方法---法则和公式

质量为 m0 的放射性物质,经过时间 t 后,所剩的质量 m 与时间 t 的关

系为 m ? m0e?kt ( k 为正数,是该物质的衰减系数) ,求该物质的衰减率.
dm ? m0 e ? kt ? ?k ? ? ?km dt 例 12 求下列函数的 n 阶导数

解:

(1) y ? xn

(2) e x

(3) y ? sin x

解: (1) y? ? nxn?1 , y?? ? n(n ? 1) x n?2 , y??? ? n(n ?1) ? n ? 2? xn?3



显然 y ? n? ? ? x n ?

? n?

? n!

(2) y? ? e x , y?? ? ex , y??? ? ex ?? y?n? ? ex



(3) y? ? cos x, y?? ? ? sin x, y??? ? ? cos x, y? 4? ? sin x ,所以
y ? n ? ? sin( x ? n? ) 2


课堂练习:



P78

4.(1、2、5、6、9、10、3)5.(1、3、5、7、9)8.(1、3)

小结: 1、掌握函数的求导法则,会计算初等函数的导数 2、掌握复合函数导数的求法及高阶导数 作业:

P78

4(7、16) 5.(2、4、6、8、10)

8.(2、4)

第三节
3.1 微分

局部该变量的估值问题-----微分及其运算

1.微分的概念 定义 设函数 y ? f ( x) 在点 x 处有增量 ?x ,相应地函数值有改变量 ?y

可以表示为 ?y ? A?x ? ? (?x) ,其中 A 与 ?x 无关, A?x 为 ?y 的线性主部,
o(?x) 为比 ?x(?x ? 0) 高阶的无穷小量,则称函数 f ( x) 在点 x 处可微,并称

其线性主部 A?x 为函数 y ? f ( x) 在点 x 处的微分,记为 dy 或 df ( x) ,即



dy ? A?x 且有 A ? f ?( x) ,这样 dy ? f ?( x)?x .

一般来说一元函数 y ? f ( x) 在点 x 处可导与可微等价



2.微分的几何意义
y



T N
o( ? x )
dy



P

?y

y ? f ( x)
?
o

M
?x

x0

x0 ? ?x

x

第二节

求导数的方法---法则和公式

见上图,当 ?y 是曲线的纵坐标增量时, dy 就是切线纵坐标对应的增量. 当 ?x 很小时,在点 M 的附近,切线段 MP 可近似代替曲线段 MN . 3.2 微分公式和法则 1.导数公式和微分公式
? =0 (C) (1)

d ?C ? ? 0
d ( x? ) ? ? x? ?1dx
d (log a x ) ? 1 dx x ln a 1 d ? ln x ? ? dx x

(2) ( x? )? ? ? x? ?1 (3) (log a x )? ?
1 x ln a 1 ? ln x ?? ? x



(4) (a x )? ? a x ln a

d (a x ) ? a x ln adx d (e x ) ? e x dx
d (sin x) ? cos xdx d (cos x) ? ? sin xdx

(e x )? ? e x



(5) (sin x)? ? cos x (6) (cos x)? ? ? sin x



(7) (tan x)? ? sec2 x (8) (cot x)? ? ? csc2 x

d (tan x) ? sec2 xdx d (cot x) ? ? csc2 xdx
d (sec x) ? sec x tan xdx d (csc x) ? ? csc x cot xdx



(9) (sec x)? ? sec x tan x (10) (csc x)? ? ? csc x cot x
(11) (arcsin x)? ?

1 1? x
2

d (arcsin x) ?

1 1 ? x2 1 1 ? x2

dx

(12) (arccos x)? ? ?

1 1? x
2

d (arccos x) ? ?

dx

第二节
1 1 ? x2 1 (14) (arc cot x)? ? ? 1 ? x2
(13) (arctan x)? ? 2.导数法则和微分法则 (1) ? u ? v ?? ? u? ? v? (2) ? u ? v ?? ? u?v ? uv?

求导数的方法---法则和公式
d (arctan x) ? 1 dx 1 ? x2 1 d (arc cot x) ? ? dx 1 ? x2
d (u ? v) ? du ? dv

d (u ? v) ? vdu ? udv d (Cv) ? Cdv

? Cv ?? ? Cv?
(3) ?

? u ?? u ?v ? uv? ? ? v2 ?v?

? u ? vdu ? udv d? ?? v2 ?v?
dy x ? yu? ? u x?dx



(4) y x? ? yu? ? u x?


课堂练习: 11.(1、3、5、7、9)



小结: 掌握函数的微分运算法则,会计算复合函数的微分



作业: 11.(2、4、6、8、10)










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