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2014年广州市高二数学水平测试(附答案)



2014 年广州市高中二年级数学水平测试(附答案) 数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1、已知集合 M ? {1, 2, 4,8} , N ? {2, 4,6,8} ,则 M

N?(

).
D. {1, 2,4,6, 8}<

br />
A. {2,4}

8} B. {2,4,

C. {1,6}
).

2、下列函数中,与函数 y ?

1 定义域相同的函数为 ( x

A. y ?

1 x

B. y ? x

C. y ? x?2

D. y ? ln x

3、设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a5 ? 9 , S2 ? 4 ,则 a2 ? (

).

A. 1

B. 2

C.

3 D. 5
).

5
正视图

4
侧视图

4、某几何体的三视图及其尺寸如图所示,则这个几何体的体积是 (

A. 6 C. 18

B. 9
D. 36

? 5、将函数 y ? cos x 的图像向左平移 个单位,得到函数 y ? f ( x) 2
的图像,则下列说法正确的是 (

3
俯视图

).

A. y ? f ( x) 的最小正周期为 ?
? C. y ? f ( x) 的图像关于点 ( , 0) 对称
2
a b

B. y ? f ( x) 是偶函数
D. y ? f ( x) 在区间 [0, ] 上是减函数 2
).
1 3

?

6、已知 2 ? 2 ? 1 ,则下列不等关系式中正确的是 (

A. sin a ? sin b

B. log2 a ? log2 b

C . ( ) a ? ( )b

1 3

1 1 D. ( ) a ? ( )b 3 3
).

7、在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 5 , BC ? 6 ,则 AB BC ? (

A. 18

B. 36

C. ?18

D. ?36
)

? x ? y ? 6 ? 0, ? 8、设 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 2 ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ( ?3 x ? y ? 2 ? 0, ?

A. ? 10

B. ? 6
1

C. ? 1

D. 0

9、设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? a x?1 ? 3( a 为常数) ,则 f (?1) 的 值为 (

)

A. ? 6

B. ? 3

C. ? 2

D. 6

10、小李从甲地到乙地的平均速度为 a , 从乙地到甲地的平均速度为 b (a ? b ? 0) , 他往返 甲乙两地的平均速度为 v ,则 (

)

A. v ?

a?b 2

B. v ? ab

C. ab ? v ?

a?b 2

D. b ? v ? ab

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11、过点 (?3,0) 且与直线 x ? 4 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 ______ 12、如图,在半径为 1 的圆内随机撒 100 粒豆子,有 14 粒落在阴影部分, 据此估计阴影部分的面积为 ______ 13、执行如图所示的程序框图,则输出的 z 的值是 ______


开始

x ? 1, y ? 2

z ? x? y

z ? 20 ?

x? y

y?z

否 输出z 结束

14、在 ?ABC 中,已知 AB ? 6 , cosC ?

3 , A ? 2C ,则 BC 的长为 ______ 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15、 (本小题满分 12 分) 实验室某一天的温度(单位: oC )随时间 t (单位: h )的变化近似满足函数关系:

?? ?? f ?t ? ? 4 sin? t ? ?, t ? ?0,24?. ? 12 3 ?
(1)求实验室这一天上午 10 点的温度; (2)当 t 为何值时,这一天中实验室的温度最低.

2

16、 (本小题满分 12 分) 近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为“厨余垃圾” 、 “可回收垃 圾” 、 “有害垃圾”和“其他垃圾”等四类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃 圾的正确分类投放情况, 现随机抽取了该市四类垃圾箱总计 100 吨生活垃圾, 数据统计如下 (单位:吨) : “厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收垃圾 有害垃圾 其他垃圾 24 4 2 1 “可回收垃圾” 箱 4 19 2 5 “有害垃圾”箱 1 2 14 3 “其他垃圾”箱 2 3 1 13

(1)试估计“可回收垃圾”投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误 的概率. ..

17、 (本小题满分 14 分) 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平 面 ABCD , PA ? AB ,点 E 为 PB 的中点. 面 ACE ; (1)求证: PD // 平 面 ACE ? 平 面 PBC . (2)求证: 平

P

E A B C D

18、 (本小题满分 14 分) 已知直线 ax ? y ? 5 ? 0 与圆 C:x ? y ? 9 相交于不同两点 A , B .
2 2

(1)求实数 a 的取值范围

1? 的直线 l 垂直平分弦 AB ?若存在,求出 a 的 (2)是否存在实数 a ,使得过点 P?? 2,
3

值;若不存在,请说明理由.

19、 (本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ?的公差为 2 ,且 a1 , a1 ? a2 , 2?a1 ? a4 ? 成等比数列. (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设数列 ?

? an ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 6 . n ?1 ? ?2 ?

4

20、 (本小题满分 14 分) 已知 a ? R ,函数 f ?x? ? x x ? a . (1)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ?x ? 的单调递增区间; (2)求函数 g ?x? ? f ?x? ?1 的零点个数.

数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 C 5 D 6 D 7 C 8 B 9 A 10 D

二、填空题 11、 x ? 4 y ? 3 ? 0 三、解答题 15、解: (1)依题意 f (t ) ? 4sin( 12、 0.14? 13、 21 14、 2 2

t ? ), t ? [0, 24] 12 3

?

?

5

实 验 室 这 一 天 上 午 10 点 , 即 t ? 10 时 ,

P

f ( 1 0?)

4 s i? n( ? 10 ? 12 3

?

?

?
) 2

4 ? sin ,

4

所以上午 10 点时,温度为 4 C .

5? t? ? (2)因为 0 ? t ? 24 ,所以 ? ? , 3 12 3 3 A ? ? ? 5? t? 令 ? ? , 即 ? ?? ? , 所 以 12 3 3 3 B ? 5? y ? 4 s ?i ? n ? ?, [ , ] 3 3 3? 3? ? ?4 故当 ? ? 时,即 t ? 22 时, y 取得最小值, ymin ? 4sin 2 2
故当 t ? 22 时,这一天中实验室的温度最低。 16、解: (1)依题意得,“可回收垃圾”共有 4 ? 19 ? 2 ? 3 ? 28 (吨) 其中投放正确的,即投入了“可回收垃圾”箱的有 19 吨 设事件 A 为“可回收垃圾投放正确”

?

?

?

E

D O C

? 所以,可估计“可回收垃圾”投放正确的概率为 P(A)
(2)据数据统计,总共抽取了 100 吨生活垃圾

19 28

其中“厨余垃圾”,“可回收垃圾”,“有害垃圾”,“其他垃圾”投放正确的数量 分别为 24 吨,19 吨,14 吨,13 吨。 故生活垃圾投放正确的数量为 24 ? 19 ? 14 ? 13 ? 70 吨 所以,生活垃圾投放错误的总量为 100 ? 70 ? 30 吨 设事件 B “生活垃圾投放错误” 故可估计生活垃圾投放错误的概率为 P ( B ) ? 17、证明: (1)连 BD 交 AC 于 O ,连 EO ? ABCD 为矩形,? O 为 BD 中点

30 3 ? 100 10

? E为PB中点,? EO ∥ PD

? EO ? 面ACE

,

PD ? 面ACE



? PD





A

C ( E

2



? PA ? 面ABCD, BC ? 面ABCD ,? PA ? BC
? ABCD 为矩形,? BC ? AB
? PA ? AB ? A ,? BC ? 面PAB

6

? AE ? 面PAB,? BC ? AE
? AP ? AD , E 为 PB 中点,? AE ? PB

? BC ? PB ? B ,? AE ? 面PBC
? AE ? 面ACE ,?面ACE ? 面PBC

18、解: (1)圆 C 的圆心 C : (0,0) , r ? 3 , C 到直线 ax ? y ? 5 ? 0 距离为 d ?

5 a2 ?1

? 直线 ax ? y ? 5 ? 0 与圆 C 相交,? d ? r

?5 ? 3 a 2 ? 1 ,? a ?

4 4 或a ? ? 3 3

(2)? AB 为圆上的点,? AB 的垂直平分线过圆心,? lPC 与 ax ? y ? 5 ? 0 垂直

1 1 1 ? ? , k AB ? a ,? ? a ? ?1 ,? a ? 2 ?2 2 2 4 4 ? a ? 2 符合(1)中的 a ? 或 a ? ? 3 3
而 k PC ?

? 存在 a ? 2 ,使得过 P(?2,1) 的直线 l 垂直平分弦 AB
19、解: (1) {an } 为等差数列,? a2 ? a1 ? d ? a1 ? 2 , a4 ? a1 ? 3d ? a1 ? 6

? a1 , a1 ? a2 ,2(a1 ? a4 ) 成等比数列
?(a1 ? a2 )2 ? 2a1 (a1 ? a4 ) ,故有 (2a1 ? 2)2 ? 2a1 (2a1 ? 6) ,
解得 a1 ? 1 ,?an ? 1 ? 2 ? (n ?1) ? 2n ?1 . (2)

an 2n ? 1 ? n ?1 n ?1 2 2 1 3 5 2n ? 1 S n ? 0 ? 1 ? 2 ? ... ? n ?1 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 1 Sn ? ? 2 ? 3 ? . .? . 1 2 2 2 2 2n

?� ?�

1 1 (1 ? n ?1 ) 2n ? 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 2 ?é¨? ? ?é¨?得 S n ? 1 ? 2( 1 ? 2 ? 3 ? ... n ?1 ) ? ? 1? 2? 2 ? n n 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 1 2n ? 1 4 2n ? 1 2n ? 3 ? 1 ? 2 ? n?2 ? n ? 3 ? ( n ? n ) ? 3 ? 2 2 2 2 2n

7

2n ? 3 . 2n ?1 2n ? 3 2n ? 3 ? n ? N * , n ?1 ? 0 ,? S n ? 6 ? n ?1 ? 6 . 2 2 ? Sn ? 6 ?
20、解: (1)当 a ? 2 时, f ? x ? ? x x ? 2 当 x ? 2 时, f ? x ? ? x ? 2x , f ? x ? ? x ? 2x 的对称轴为 x ? 1
2 2

所以, f ? x ? ? x ? 2x 的单调递增区间为 ? 2, ?? ?
2

当 x ? 2 时, f ? x ? ? ?x ? 2x , f ? x ? ? ?x ? 2x 的对称轴为 x ? 1
2 2

所以, f ? x ? ? ?x ? 2x 的单调递增区间为 ? ??,1?
2
2 ? ? x ? ax , ? x ? a ? (2)令 g ( x) ? f ( x) ? 1 ? 0 ,即 f ( x) ? 1 , f ? x ? ? ? 2 ? ?? x ? ax , ? x ? a ?

求函数 g ( x) 的零点个数,即求 y ? f ( x) 与 y ? 1 的交点个数; 当 x ? a 时, f ? x ? ? x ? ax , f ? x ? ? x ? ax 的对称轴为 x ?
2 2

a 2 a 2

当 x ? a 时, f ? x ? ? ?x ? ax , f ? x ? ? ?x ? ax 的对称轴为 x ?
2 2

?é¨?当 a ? 0 时, f ? x ? ? x x , 故由图像可得,

y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在一个交点.
?é¨?当 a ? 0 时, 故由图像可得,

a ? a ,且 2

?a? a f ? ?? , ?2? 4

2

?a? a 1 当 a ? 2 时, f ? ? ? ?1, ?2? 4

2

y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在两个交点;
?a? a 2 当 0 ? a ? 2 时, f ? ? ? ?1, ?2? 4
2

y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在一个交点;

8

?a? a ?1, 3 当 a ? 2 时, f ? ? ? ?2? 4

2

y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在三个交点.
?é?当 a ? 0 时,

a ?a, 2

故由图像可得,

y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在一个交点.
综上所述:当 a ? 2 时, g ? x ? 存在三个零点; 当 a ? 2 时, g ? x ? 存在两个零点; 当 a ? 2 时, g ? x ? 存在一个零点.

9



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