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2015-2016学年山东省枣庄市第三中学高二6月学情调查数学(理)试题



绝密★启用前 枣庄三中 2015~2016 学年度高二年级第二学期 学情调查

数学试题(理)

2016.6

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页。 满分 150 分,考试用时 120 分钟。答题前,考 生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、 考号、 班级填写在答题纸和答题卡规定的位置。 考试结束后,将答题纸和答题卡一并交回。 参 考 公 式 :

P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544

P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974

第Ⅰ卷(共 60 分)
注意事项: 1. 第Ⅰ卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,在选涂其他答案标号。不涂在答题卡上,只答在试卷上不得分。

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题所给的四个选 项中只有一个选项符合题意)
1.复数 z ?

(2 ? i) 2 (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( 1? i
(B)第二象限
n

)(W) (D)第四象限

(A)第一象限

(C)第三象限

2. 若 n 为奇数,则 (1 ? 2 x) 的展开式中各项系数和为 (
n (A) 2

) (W) (D) 1

n ?1 (B) 2

(C) ?1

3.

?

2? 0

sin xdx =(

)(W)

(A) 0 (B) ? (C)2 ? (D)4 ? 4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下 统计数据表: 8.6 10.0 11.3 11.9 收入 x(万元)8.2 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 支出 y(万元) 根据上表可得回归直线方程 ,其中 C.12.0 万元 ,据此估计,该社区一户 D.12.2 万元

收入为 15 万元家庭年支出为( )(W) A.11.4 万元 B.11.8 万元

5.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是( ) (W) (A) 假设三内角都不大于 60 度 (B) 假设三内角都大于 60 度 (C) 假设三内角至多有一个大于 60 度 (D) 假设三内角至多有两个大于 60 度

6. 某人投篮一次投进的概率为

2 ,现在他连续投篮 6 次,且每次投篮相互之间没有影响, 3 2 3

那么他投进的次数 ? 服从参数为 6 , 的二项分布, 记为 ? ~ B (6, ( (A) ) (W)

2 计算 P(? ? 2) ? ), 3
4 27

20 243
5

(B)

8 243
2

(C)

4 729

(D)

7.已知 (1 ? ax)(1 ? x) 的展开式中 x 的系数为 5 ,则 a ? ( (A) ? 4 (B)

) (W) (D) ? 1

?3

(C) ? 2

8.掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出 6 点条件下, 则“掷出点数之和不小于 10”的概率 是( ) (Z) (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

5 6
)(Z) (D) 12cm

9.有一个圆锥,其母线长为 18cm ,要是体积最大,则该圆锥的高为( (A) 8cm (B) 8 3cm (C) 6 3cm

10.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球 3 次,一旦发球成功,则停 止发球,否则一直发到 3 次为止.设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0),发球次数为 X,若 X 的数学期望 E(X)>1.75,则 p 的取值范围是( A. (0, ) (Z) C. (0, )

7 ) 12

B. (

7 ,1) 12

1 2

D. ( ,1)

1 2

11.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列 表示不同信息.若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同 的信息个数为 ( A.10 ) (D) B.11 C.12 D.15

12.已知 f ( x)= x ? 3, g( x) ? m e , 若方程 f(x)=g(x)有三个不同的实根, 则 m 的取值范
2 x

围是( A. (0,

)(D)

6 ) e3

B. (?3,

6 ) e3

C. ( ?2 e,

6 ) e3

D. (0, 2 e)

第Ⅱ卷 (共 90 分)
注意事项: 1. 第Ⅱ卷共两大题,共 90 分。 2.考生用 0.5 毫米黑色签字笔将答案和计算步骤、 过程填写在答题纸相应位置, 直接在试卷 上作答的不得分。

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在题中的横 线上)
13.设 i 为虚数单位,则(1+i)5 的虚部为________.(X) 14.商场经营的某种包装大米的质量(单位:kg)服从正态分布 X~N(10,0.12),任选一袋这种 大米,质量在 9.8~10.2 kg 的概率是________.(X) 15.设函数 f ( x ) 的导数为 f ?( x ) ,且 f ( x) ? x2 ? 2 xf ?(1) ,则 f ?(2) ? 16. 将甲、 乙、 丙、 丁四个人平均分成两组, 则 “甲、 乙两人恰好在同一组” 的概率为 . (X) . (X)

a b c ? ? 17.已知结论: “在 ? ABC 中,各边和它所对角的正弦比相等,即 sin A sin B sin C ” ,
若把该结论推广到空间,则结论为: “在三棱锥 A ? BCD 中,侧棱 AB 与平面 ACD ,平面

BCD 所成的角为 ? , ? ,则有________.(X)
三、解答题,本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.

1 ? ?3 x ? ? ? (12 分)已知在 23 x ? ?
2

n

的展开式中,第 6 项为常数项.(W)

(1)求 n ; (2)求含 x 项的系数. 19. (12 分) 在对人们的休闲方式的一次调查中, 共调查了 124 人, 其中女性 70 人, 男性 54 人。女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视,另外 27 人主要的休闲方式是运动;男性中有

21 人主要的休闲方式是看电视,另外 33 人主要的休闲方式是运动。
(1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)是否有 97.5%的把握认为性别与休闲方式有关系?(X)

P( K 2 ? k )

0.05

0.025

0.010

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

k

3.841

5.024

6.635

20.(13 分)观察下列等式

1 ?1 2?3? 4 ? 9 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 25 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 49
照此规律下去 (Ⅰ)写出第 5 个等式;

第一个式子 第二个式子 第三个式子 第四个式子

(Ⅱ)你能做出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明猜想.(Z)

21. (14 分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现 一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音 乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得-200 分).设 每次击鼓出现音乐的概率为

1 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. 2

(Ⅰ)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列和数学期望 E ( x ) . (Ⅱ)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(D)

1 22. (14 分)已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ? R) . x
(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设函数 g ( x) ? ? 的取值范围.(W)

a .若至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a x

枣庄三中 2015~2016 学年度高二年级第二学期学情调查

数学(理) 答案
1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 6.A 7. D 8. B 9.C 10.C

2016.6

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
11.B 12.A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
13. -4 14. 0.9544 15. 0 16.

1 3

17.

S? BCD S? ACD ? sin ? sin ?

三、解答题,本大题共 5 小题,共 65 分.

r 18.(1)通项公式为 Tr ?1 ? Cn ?? ? x

? 1? ? 2?

r

n?2 r 3

∵第 6 项为常数项,

∴ r ? 5 时,有

n ? 10 ? 0 ,即 n ? 10 . ………… 6 分 3
2

10 ? 2r 1 ? 45 2 ? ? 2 ,得 r ? 2 ,∴所求的系数为 C10 (2)令 ? ? ? . ………… 12 分 ? 3 4 ? 2?
19.(1)2×2 的列联表 性别 休闲方式 女 男 总计 看电视 43 21 64 运动 27 33 60 总计 70 54 124 ………… 6 分 (2)假设“休闲方式与性别无关” 计算

k?

124 ? (43 ? 33 ? 27 ? 21)2 ? 6.201 70 ? 54 ? 64 ? 60

………… 10 分

因为 k ? 5.024 ,所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的, 即有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关” …………12 分 20. 解: (Ⅰ)第 5 个等式 5 ? 6 ? 7 ? ? ? 13 ? 81 …………………… 3 分
2

(Ⅱ)猜测第 n 个等式为 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ?1)

………… 6 分

证明: (1)当 n ? 1 时显然成立;…………………… 7 分 (2)假设 n ? k (k ? 1, k ? N ? ) 时也成立, 即有 k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ?(3k ? 2) ? (2k ? 1) 2 ………………… 8 分

那么当 n ? k ? 1 时左边 ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? (3k ? 2) ? (3k ? 1) ? (3k ) ? (3k ? 1)

? k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? (3k ? 2) ? (2k ? 1) ? 3k ? 3k ? 1 ? (2k ? 1) 2 ? (2k ? 1) ? (3k ) ? (3k ? 1) ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 8k ? (2k ? 1) 2 ? [2(k ? 1) ? 1]2
而右边 ? [2(k ? 1) ? 1]2 这就是说 n ? k ? 1 时等式也成立. …………………… 12 分 根据(1) (2)知,等式对任何 n ? N ? 都成立.…………………… 13 分 21. 解:(Ⅰ)X 可能的取值为 10,20,100,-200. …………………… 1 分 2 1?1 ? 1?2 3 1?1 3 2 ?1? ? ? 1 - 1 - 根据题意,有 P(X=10)=C1 × × = , P ( X = 20) = C × × 3 3 ?2? ? 2? 8 ?2? ? 2? =8, 3 0 0 3 0 ?1? ?1? ? 1? 1 ? 1? 1 P(X=100)=C3 P ( X =- 200) = C 3× 2 × 1-2 = , 3× 2 × 1-2 = .………… 5 分 ? ? ? ? 8 ? ? ? ? 8 所以 X 的分布列为: X P 10 3 8 20 3 8 100 1 8 -200 1 8 …………………… 7 分 3 3 1 1 5 X 的数学期望为 EX=10× +20× +100× -200× =- ………………… 9 分 8 8 8 8 4 (Ⅱ)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3),则 1 P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=P(X=-200)= .………………… 11 分 8 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1?3 1 511 1-P(A1A2A3)=1-? ?8? =1-512=512. 511 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 .…………………… 13 分 512 1?3 1 511 所以 “三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1-P(A1A2A3)=1-? ?8? =1-512=512. …………………… 11 分

511 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 .…………………… 14 分 512

22. 解:函数的定义域为 ? 0, ?? ? ,

f ?( x) ? a(1 ?

1 2 ax2 ? 2x ? a . ) ? ? x2 x x2

?????????????????1 分

1 (Ⅰ)当 a ? 2 时,函数 f ( x) ? 2( x ? ) ? 2ln x , f (1) ? 0 , f ?(1) ? 2 . x

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) , 即 2 x ? y ? 2 ? 0 .???????????????????????????4 分 (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) . (1)当 a ? 0 时, h( x) ? ax2 ? 2 x ? a ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立, 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递减. ?????5 分 (2)当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a 2 , (ⅰ)若 0 ? a ? 1 , 由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x ) ? 0 ,得 x ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? ; ??????6 分 a a

由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 .?????????7 分 ?x? a a
1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a
??????????????8 分

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 单调递减区间为 ( , ). a a

(ⅱ)若 a ? 1 , h( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立,则 f ?( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立,此时
f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递增. ????????????????????????

9分 (Ⅲ) )因为存在一个 x0 ? [1,e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , 则 ax0 ? 2ln x0 ,等价于 a ?

2 ln x0 .???????????????????11 分 x0

令 F ( x) ?

2 ln x ,等价于“当 x ? ?1,e? 时, a ? F ? x ?min ”. x
2(1 ? ln x) . x2
?????????????????12 分

对 F ( x) 求导, 得 F ?( x) ?

因为当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增. ?????13 分 所以 F ( x)min ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 .
????????????????14 分



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