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4-1 不定积分的概念和性质



第四章 不定积分
微分和积分是高等数学中的两大基本运算. 微分的基本问题是:已知一个函数,求它的导数. 但是,在许多实际问题中往往会遇到反问题:已知一个函 数的导数,求原来的函数.由此产生了积分学. 积分学包括不定积分和定积分两大部分.

第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法 第四节 有理

函数的积分 第五节 积分表的使用

第一节

不定积分

学习重点

原函数的概念及不定积分的概念 不定积分的计算

已知物体运动的位置函数 s = s(t), 求时刻 t 的瞬时速度 v = v(t)。

—— 微分学解决的问题
已知物体运动的速度函数 v = v(t), 求运动的位置函数 s = s(t)。

—— 积分学解决的问题
一般,已知函数 f (x), 要找另一个 函数 F(x), 使 F ’(x) = f (x)。

—— 积分学的任务

一、原函数与不定积分的概念
定义1:已知 f (x)是一个定义在区间I上的函数,
如果存在函数F (x), 使在 I 内的任一点都有
F ?( x ) ? f ( x )



d F ( x) ? f ( x) d x ,

则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。 如: ( x 2 )? ? 2 x , 所以 x2 是 2x 的原函数; d sin x ? cos xd x , 所以 sin x 是 cos x 的原函数;
s?( t ) ? v ( t ) , 所以 s(t) 是 v(t) 的原函数。

有关原函数的几个问题
1. 在什么条件下, f (x) 一定存在原函数?
原函数存在定理: 若 f (x) 在区间I 上连续,

则在 I 上必存在原函数。

2. 如果 f (x) 有原函数,那么共有几个?
设 F (x) 为 f (x) 的原函数,则 F ?( x ) ? f ( x ),
且 ( F ( x ) ? C )? ? f ( x ), C 为任意常数。

所以 f (x) 如有原函数,就有无穷多个。

3. 如果 f (x) 有一个原函数 F (x) ,
那么 F (x) + C 是否包含了 f (x) 的所有 原函数?
设 ? ( x )是 f ( x )的任一个原函数,
则 ? ?( x ) ? f ( x )

? [? ( x) ? F ( x)]? ? f ( x) ? f ( x) ? 0
? ? ( x ) ? F ( x ) ? C (C是常数 )
? ? ( x) ? F ( x) ? C

∴F (x) + C 包含了 f (x) 的所有原函数。

定义2:在区间I 内, 函数 f ( x ) 的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 内的
不定积分,记为? f ( x )dx .

积 被 分 积 号 函 数

? f ( x )dx ? F ( x ) ? C
被 积 表 达 式 积 分 变 量

任 意 常 数

为求不定积分,只须求出被积函数的一个原函数 再加上积分常数即可

不定积分的几何意义:
f (x) 的一个原函数 F (x) 的图形称为 f (x)

的一条积分曲线,方程为 y = F (x).


? f ( x) d x ? F ( x) ? C
它们相互平行,

就表示了一族积分曲线 y
y ? F ( x)

y = F (x) + C.

即在横坐标相同的 点处有相同的切线 斜率。 0 x x

由不定积分的定义,
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数, 则有

?? f ( x)dx?? ? [F ( x) ? C ]? ? f ( x ) , 或 d ?? f ( x ) d x ? ? f ( x ) d x ,
先积分后微分的作用相互抵消。 又

? F ?( x )d x ? ? f ( x )d x ? F ( x) ? C ,



? d F ( x) ? F ( x) ? C ,

(? F ?( x )dx ? dF ( x ))

先微分后积分的作用抵消后加任意常数C。

1 dx 例 题 1、求 ? 2 1? x 1 , 解 由于 (arctan x) ' ? 2 1? x

dx 故 ? ? arctan x ? C 2 1? x 1 2、求 ? dx x 解 因为 ? ln | x | ?? ? 1 x

1 所以 arctan x是 的一个原函数, 2 1? x

1 所以 ? x dx ? ln | x | ?C, (x ? 0).

例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.



设曲线方程为 y ? f ( x ),

dy 根据题意知 ? 2 x, dx 即 f ( x ) 是2 x 的一个原函数.
? ? 2 xdx ? x ? C ,
2

? f ( x) ? x2 ? C ,

由曲线通过点(1,2)? C ? 1,
2 y ? x ? 1. 所求曲线方程为

◆基本积分表 P94

(1) ? 0dx ? C (2) ? kdx ? kx ? C 1 ? ?1 ? x ?C (3) ? x dx ? ? ?1 ( ? ? ?1) 1 (4) ? dx ? ln x ? C x (5) ? e x dx ? e x ? C x a x (6) ? a dx ? ?C ln a

1 (7) ? dx ? arctan x ? C 2 1? x ? ? arc cot x ? C 1 (8) ? dx ? arcsin x ? C 1 ? x 2 ? ? arccos x ? C (9) ? sin xdx ? ? cos x ? C (10) ? cos xdx ? sin x ? C (11) ? sec xdx ? tan x ? C
2

(12) ? csc xdx ? ? cot x ? C
2

(13) ? sec x tan xdx ? sec x ? C (14) ? csc x cot xdx ? ? csc x ? C

◆不定积分的基本性质

?1? ? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? dx ? ? f ? x ? dx ? ? g ? x ? dx
? 2 ? ? k f ? x ? dx ? k ? f ? x ? dx( k 是常数)
◆不定积分的计算方法
直接积分法、换元积分法、分部积分法
第一类换元积分法

第二类换元积分法

◆直接积分法
例1

? ? x dx
?3

dx (1) ? 3 x
?3?1

(2)

2 x ? xdx

?

? 5x

5 2

dx

x ? ?C ?3 ? 1

x2 ? 5 ?C 2 ?1

?1

不能漏写 积分常数

1 ? ? 2 ?C 2x

2 ? x ?C 7

7 2

dx ? x2
1 ? ? ?C x

?x
? ?3x
?

1
3

x

dx

1 3

?C

例1(3)

1 ?? ? ? 1 ? 1 ? x x ? ?dx ? ? ? ? x 2 ?? ?

x x ?x

3 4



3 5 ? ? ? 1 原式 ? ? ?1 ? x 4 ? 2 ? x 4 ? dx ? ? x ? ?

4 1 ? x ? x ? ? 4x 7 x

7 4

?

1 4

?C

x x ? e ( e ? 3 sin x ) d x 例3. ? ? d x ? 3 ? sin x d x

? e x ? 3 cos x ? C .
例4. ?
4? 2 ? 3 dx ? ? x 2
x
x x

x ? ? 3? ? ? 4?? ? ? dx ? 2? ? ?

( 3 2) ? C. ? 4x ? ln(3 2)
x a x a ? d x ? ln a ? C .

? sin x d x ? ? cos x ? C ,

注意被积函数的恒等变形。

(5) ?

3 1 5 [ ? ? ? 3sin x]dx 2 2(1 ? x ) 3 1 ? x 2 x

3 1 1 1 1 ? ? dx ? ? dx ? 5? dx ? 3? sin xdx 2 2 1? x 3 x 1 ? x2

1 3 ? arctan x ? arcsin x ?5 ln | x | 3 2

?3cos x ?C

sin x 3 1 1 ( ? ? ) dx ? ? cos x ? 3 tan x ? cot x ? C ? 2 cos2 x sin 2 x 2

2 x 2 ? [ x ? ( 3 ) ? x ]dx
2

1 3 1 2 x ? x ? ( ) ? 2ln | x | ?C 3 ln 2 ? ln 3 3

(6)?
??

x dx 2 1? x
x4 ? 1 ? 1 dx 2 1? x

4

(7)

x?x ? 1 ? x2 dx
5

??
??

( x2 ? 1)( x2 ? 1) ? 1 dx 2 1? x
1 ( x ?1 ? )dx 2 1? x
2

x 1? x4 ?? 2 dx x ?1

?

?

??

x ?1 ? x 2 ??1 ? x 2 ? 1? x
2

dx

? ? x dx ? ? dx ? ?
2

1 dx 2 1? x

? ? ? x ? x 3 ? dx

1 3 ? x ? x ? arctan x ? C 3

x x ? ? ?C 2 4

2

4

(7)? tan xdx
2

1 dx. (8) ? 1 ? cos 2 x

1 ? 1 ? cos 2 x dx

? ? (sec x ?1)dx
2

? ? sec xdx ? ? dx
2

1 ?? dx 2 2 cos x
1 1 ? ? dx 2 2 cos x 1 ? tan x ? C . 2

? tan x ? x ? C
分项积分法

(9)

1 ? sin x ? sec x cos x dx

解 原式 ?

? sec x ? sec x ? tan x ? dx ? ? ? sec x ? sec x tan x ? dx
2

? tan x ? sec x ? C

1 (10) ? 2 2 dx sin x cos x

cos 2 x dx (11) ? 2 2 sin x cos x



1 ? sin2 x cos 2 xdx

cos x ? sin x ?? dx 2 2 sin x cos x
2 2

sin2 x ? cos 2 x ?? dx 2 2 sin x cos x 1 1 ? ?[ 2 ? 2 ]dx cos x sin x
? tan x ? cot x ? C

1 ? ? 1 ? ?? 2 ? ? dx 2 ? sin x cos x ?
? ? ? csc x ? sec x ? dx
2 2

? ? cot x ? tan x ? C

1 dx 例12 ? 2 x 2 x sin cos 2 2 1 4 解 ? 2 x 2 xdx ? ? 2 x 2 xdx sin cos 4 sin cos 2 2 2 2
1 ? 4 ? 2 dx ? ?4 cot x ? C sin x

说明: 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形,才能使用基本积分表.

说明
①求不定积分时一定要加上积分常数,它表明 一个函数的原函数有无穷多个,即要求的是全 体原函 数,若不加积分常数则表示只求出了一 个原函数

②写成分项积分后,积分常数可以只写一个
③积分的结果在形式上可能有所不同,但实质上 只相差一个常数

1. 求下列不定积分 p221

(1) ?

(2) ?

dx 2 x dx 2 x x

(3) ?

dh 2 gh

(4) ?

1? x 1? x

2 4

dx

1. 求下列不定积分 p221

(5) ? ( x ? 1) dx
2 2

(6) ?
(7 ) ?

1? x dx x
( x ? 1)( x ? 2) dx 2 x

(8) ?

1 ? ? ?1 ? 2 ? x x dx x ? ?

1. 求下列不定积分 p221

(9) ? (10) ?

x dx 2 1? x 3x 4 ? 3x 2 ? 1 dx 2 x ?1

2

(11) ?

? 3 2 ? ? 2 ?1? x 2 1 ? x ?
3 3

? ?dx ? ?

(12 ) ? (3 x ) dx

1. 求下列不定积分 p221

(13) ? e (1 ?
x

e

?x

x
x

)dx
x

(14) ? 3 (2 ? 3 ? 3 ? 2 )dx
?x

(15) ?

sin 2 x dx cos x

(16 ) ? sec x (sec x ? tan x )dx

1. 求下列不定积分 p221

(17 ) ? (18) ? (19 ) ? (20) ?

x cos dx 2
2

dx 1 ? cos 2 x cos 2 x dx cos x ? sin x cos 2 x dx 2 2 cos x sin x

2. 一曲线通过点 (e2 ,3) 且在任一点处的切线斜率 等于该点横坐标的倒数, 求该曲线方程. P222



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