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2007-2015年全国新课标卷数学分类汇编与解析-平面向量



5.平面向量 一.选择题: (15 新课标文 2) 4. 已知 a ? ?1, ?1? , b ? ? ?1, 2 ? ,则 (2a ? b) ? a ? ( A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2 )

【答案】C

考点:向量数量积.
2

试题分析:由题意可得 a 2 ? 2 , a ? b ? ?3,

所以 ? 2a ? b ? ? a ? 2a ? a ? b ? 4 ? 3 ? 1 .故选 C. (15 新课标理 1) (7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则(

??? ?

??? ?



???? ? 4 ???? 1 ??? (A) AD ? ? AB ? AC 3 3 ?????? ???? 4 ??? ? 1 (C) AD ? AB ? AC 3 3

???? 1 ??? ? 4 ???? (B) AD ? AB ? AC 3 3 ??????? ? ???? 4 ??? ? 1 (D) AD ? AB ? AC 3 3

【答案】A

考点:平面向量运算

???? ???? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? 1 ???? ??? ? ? 4 ???? 1 ??? 试题分析:由题知 AD ? AC ? CD ? AC ? BC ? AC ? ( AC ? AB ) ? = ? AB ? AC ,故选 A. 3 3 3 3 ??? ? ???? (15 新课标文 1) 2、已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ?
(A) (?7, ?4) 【答案】A (B) (7, 4) (C) (?1, 4) (D) (1, 4)

考点:向量运算

(14 新课标 2)设向量 a,b 满足 a ? b ? 10 , a ? b ? A.1 【答案】A 【解析】 B.2 C.3

6 ,则 a ? b = (
D.5

)

?| a ? b |? 10, | a - b |? 6,, ∴ a ? b ? 2ab ? 10, a ? b - 2ab ? 6, 联立方程解得 ab ? 1, 故选A.
(14 新课标 1 文)设 D, E , F 分别为 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 的中点,则 EB ? FC ? ( )

2

2

2

2

A.BC
【答案】:C

B.

1 ???? AD 2

C. AD

D.

1 BC 2

1

【解析】: EB ? FC ? EC ? BC ? FB ? BC ? EC ? FB =

??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ?

? ?

??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? ? ???? ???? AB ? AC ? AB ? AC ? AD ,选 D. 2 2 2

?

?

(11 新课标理)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

? 2? ? P1 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?
其中的真命题是(A) (A) P 1, P 4 (B) P 1, P 3

? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

(C) P2 , P 3

(D) P2 , P4

(10 新课标文)a,b 为平面向量,已知 a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于(C) (A)

8 65

(B) ?

8 65

(C)

16 65

(D) ?

16 65

(09 新课标理)已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且

PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的( C )
(A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心

(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)

由NA ? NB ? NC ? 0知,O为?ABC的重心 ; 解析:由 OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心;

? PA ? PB ? PB ? PC, ? PA ? PC ? PB ? 0, ? CA ? PB ? 0,? CA ? PB, 同理,AP ? BC ,? P为?ABC的垂心,选C.
(09 新课标文)已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为(A)

?

?

1 1 (D) 6 6 ? ? ? ? ? (08 新课标文)已知平面向量 a =(1,-3), b =(4,-2), ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是( A )
(A) ? (B) (C) ? A.-1 B.1 C.-2 D.2

1 7

1 7

,,b ? (1 , ? 1) ,则向量 (07 新课标)已知平面向量 a ? (11) ? 1) A. (?2, 1) B. (?2,

1 3 a ? b ? (D) 2 2

, 0) C. (?1
2

, 2) D. (?1

二.填空题: (15 新课标理 2) 13.设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? _________. 【答案】

?

?

? ?

?

?

1 2

考点:向量共线.

试题分析:因为向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,所以 ? a ? b ? ( ,则 ? k a ? 2b) (14 新课标 1 理)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若 AO ?

? ?

?

?

? ?

?

?

?? ? k, 1 所以 ? ? . 2 ?1 ? 2k ,

????

? ???? ? ??? ? ??? 1 ??? ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 900 2

→→ (13 新课标 2)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE?BD=2. 【解析】在正方形中, AE ? AD ?

? ??? ? ???? ???? ???? 1 ???? ??? DC , BD ? BA ? AD ? AD ? DC , 2 ??? ? ??? ? ???? 1 ???? ???? ???? ???? 2 1 ???? 2 1 2 2 所以 AE ? BD ? ( AD ? DC ) ? ( AD ? DC ) ? AD ? DC ? 2 ? ? 2 ? 2 。 2 2 2
??? ? ????

(13 新课标 1)已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60°, c ? ta ? (1 ? t )b .若 b ? c =0 则 t =__2_ (12 新课标)已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____ 【解析】 2a ? b ? 10 ? (2a ? b) ? 10 ? 4 ? b ? 4 b cos 45 ? 10 ? b ? 3 2
2

? ?

?

?

? ?

?

? ?

? ?

?2

?

?

?

(11 新课标文) 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a + b 与向量 k a - b 垂直,则 k=_1_. (08 新课标理)已知向量 a ? (0, ?1,1) , b ? (4,1,0) , | ? a ? b |? 29 且 ? ? 0 ,则 ? = 3 三.解答题:

?

?

? ?

3



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