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2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第十四讲 导数的概念及其运算



第十四讲
1.下列结论不正确的是( A.若 y=3,则 y′=0 B.若 y= 1 1 ,则 y′=- x 2 x )

导数的概念及其运算

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)

1 C.若 y=- x,则 y′=- 2 x D.若 y=3x,

则 y′=3 解析:∵y′=? ∴选 B. 答案:B 评析:简单函数的求导,关键是将函数关系式合理地转化为可以直接应用公式的基本函数的模式. 2. 已知奇函数 y=f(x)在区间(-∞, 0]上的解析式为 f(x)=x2+x, 则切点横坐标为 1 的切线方程是( A.x+y+1=0 C.3x-y-1=0 B.x+y-1=0 D.3x-y+1=0 ) 1? 1 1 -3 1 ′=(x- )′=- x 2=- , 2 2 ? x? 2 x3

解析:由题意得,x>0 时,-x<0,f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x. 又因为 f(x)为奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=-x2+x. 又函数 f(x)过(1,0),k=f′(1)=-1. 所以所求的切线方程为 y-0=-1×(x-1), 即 x+y-1=0. 答案:B 3.已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 切于点(1,3),则 b 的值为( A.3 B.-3 C.5 D.-5 解析:∵点(1,3)在直线 y=kx+1 上,∴k=2. ∴2=f′(1)=3×12+a?a=-1.∴f(x)=x3-x+b. ∵点(1,3)在曲线上,∴b=3.故选 A. 答案:A 评析:本题考查导数的几何意义和曲线方程求法的综合应用. 4.(2010· 江西)若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)=( ) )

A.-1 B.-2 C.2 D.0 解析:∵f′(x)=4ax3+2bx,∴f′(-x)=-4ax3-2bx=-f′(x),∴f′(-1)=-f′(1)=-2. 答案:B 5.(2010· 全国Ⅱ)若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 解析:求导得 y′=2x+a,因此曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线 l 的方程是 x-y+1=0,所以
? ? ?0+a=1 ?a=1 切线 l 的斜率 k=1=y′|x=0,且点(0,b)在切线 l 上,于是有? ,解得? . ?0-b+1=0 ?b=1 ? ?

)

答案:A 4 6. (2010· 辽宁)已知点 P 在曲线 y= x 上, 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, α 的取值范围是( α 则 e +1 π A.?0,4? ? ? π 3π C.?2, 4 ? ? ? π π B.?4,2? ? ? 3π D.? 4 ,π? ? ? 4ex 4ex 4t .设 t=ex∈(0,+∞),则 y′=- 2 =- 2=- 2x (e +1) e +2ex+1 t +2t+1 ?
x

)

解析:y′=-

4 ,∵t 1? t+ +2 ? t?

3π 1 + ≥2,∴y′∈[-1,0),α∈? 4 ,π?. ? ? t 答案:D 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.曲线 y=x2-2x+a 与直线 y=3x+1 相切时,常数 a 的值是________. 5 解析:y′=2x-2,令 y′=3 得 x= , 2 17 代入 y=3x+1 得 y= , 2 5 17 29 将?2, 2 ?代入 y=x2-2x+a 得 a= . ? ? 4 29 答案: 4 8.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=3x2+2xf′(2),则 f′(5)=________. 解析:对 f(x)=3x2+2xf′(2)求导数, 得 f′(x)=6x+2f′(2).

令 x=2,得 f′(2)=-12. 再令 x=5,得 f′(5)=6×5+2f′(2)=6. 答案:6 9.若曲线 f(x)=ax3+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 1 解析:f′(x)=3ax2+ , x 因为存在垂直于 y 轴的切线, 则 f′(x)=0 在 x>0 时有解, 1 即 3ax2+ =0 有解, x 1 即 3a=- 3, x 1 ∵- 3<0, x ∴当 3a<0,即 a<0 时,方程有解, 所以 a 的取值范围为(-∞,0). 答案:(-∞,0) 10. (2010· 江苏)函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak, 2)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1, ak 其中 k∈N*. 若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________. 解析: ∵y′=2x, ∴过点(ak, k )处的切线方程为 y-a2=2ak(x-ak), a2 又该切线与 x 轴的交点为(ak+1,0), k 1 1 所以 ak+1= ak,即数列{ak}是等比数列,首项 a1=16,其公比 q= ,∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21. 2 2 答案:21 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 解:(1)由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1, 由已知得 3x2+1=4, 解之得 x=± 1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4,

1 ∴直线 l 的斜率为- . 4 ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4), 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1),即 x+4y+17=0. 4 12.已知函数 f(x)=x3+x-16, (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 4 分析:首先要判断已知点是否在曲线上,再根据切线的斜率即导数值列方程解决问题. 解:(1)∵f(2)=23+2-16=-6, ∴点(2,-6)在曲线上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, ∴在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=3×22+1=13. ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6). 即 y=13x-32. (2)解法一:设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x2+1, 0 ∴直线 l 的方程为: y=(3x2+1)(x-x0)+x3+x0-16. 0 0 又∵直线 l 过点(0,0),
2 ∴0=(3x0+1)(-x0)+x3+x0-16, 0

整理得 x3=-8, 0 ∴x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26, ∴k=3(-2)2+1=13, ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). 解法二:设直线 l 的方程为 y=kx,切点为(x0,y0), y0-0 x3+x0-16 0 则 k= = . x0 x0-0 又∵k=f′(x0)=3x2+1, 0 ∴
3 x0+x0-16 =3x2+1,解得 x0=-2, 0 x0

∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). x (3)∵切线与直线 y=- +3 垂直, 4 ∴斜率 k=4,∴设切点为(x0,y0), 则 f′(x0)=3x2+1=4, 0
?x0=1 ?x0=-1 ? ? ∴x0=± 1,∴? 或? . ? ? ?y0=-14 ?y0=-18

即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18). 切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14. 评析:解题过程中,很容易把所给的点当作曲线上的点,错误原因是没有把点代入方程进行检验. 1 13.设函数 f(x)=ax+ (a,b∈Z),曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=3. x+b (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:函数 y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心; (3)证明:曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围的三角形的面积为定值,并求出此 定值. 解:(1)f′(x)=a- 1 1 . (x+b)2
?a=1, ? 解得? 或 ? ?b=-1

?2a+2+b=3, 于是? 1 a- ? (2+b) =0,
2

?a=4, ? 8 ?b=-3.
9

1 ∵a,b∈Z,∴f(x)=x+ . x-1 1 (2)证明:已知函数 y1=x,y2= 都是奇函数, x 1 1 ∴函数 g(x)=x+ 也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形.而 f(x)=x+ =(x-1)+ x x-1 1 +1, (x-1) 可知 f(x)的图象是由 g(x)的图象沿 x 轴正方向向右平移 1 个单位,再沿 y 轴正方向向上平移 1 个单位 得到的.故函数 f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.

1 (3)证明:在曲线上任取一点?x0,x0+x -1?, ? ? 0 1 由 f′(x0)=1- ,知过此点的切线方程为 (x0-1)2 y- 1 x2-x0+1 ? 0 = 1-(x -1)2?(x-x0). ? ? x0-1 0 x0+1 , x0-1

令 x=1,得 y=

? x0+1?. ∴切线与直线 x=1 交点为?1, ? ? x0-1?
令 y=x,得 x=2x0-1, ∴切线与直线 y=x 交点为(2x0-1,2x0-1). 直线 x=1 与 y=x 交点为(1,1). 从而所围的三角形的面积为 1?x0+1 ? 1 2 |2x ?x -1-1?· 0-1-1|=2?x -1?· 0-2|=2. 2? 0 ? 0 ? |2x ? ∴所围的三角形的面积为定值 2.



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