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第七章 微 分 方 程


第七章 微 分 方 程

2017年5月13日4时40分

1

在许多问题中,往往不能直接找出

所需要的函数关系,但根据问题所
提供的情况,有时可以列出含有要 找的函数及其导数的关系式.这样

的关系式就是微分方程
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第一节 微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 1 一曲 线通过 点 (1,2), 且在 该 曲线 上任一 点

M ( x , y ) 处的切线的斜率为2 x ,求这曲线的方程.


设所求曲线为 y ? y( x )

dy ? 2x dx
y ? ? 2 xdx
2017年5月13日4时40分

其中 x ? 1时, y ? 2
即 y ? x ? C,
2 2

求得C ? 1,
3

所求曲线方程为 y ? x ? 1 .

例 2 列车在平直的线路上以 20 米/ 秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度? 0.4 米/秒 2 , 问开始制动 后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内 行驶了多少路程?



设制动后t 秒钟行驶 s 米, s ? s(t )
ds d 2s t ? 0时, s ? 0, v ? ? 20, ? ?0.4 2 dt dt ds 2 s ? ?0.2t ? C1t ? C 2 v ? ? ?0.4t ? C1 dt

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4

代入条件后知

C1 ? 20, C 2 ? 0

ds v? ? ?0.4t ? 20, dt

故 s ? ?0.2t ? 20t ,
2

20 开始制动到列车完全停住共需 t ? ? 50(秒), 0 .4

列车在这段时间内行驶了
s ? ?0.2 ? 50 ? 20 ? 50 ? 500(米).
2
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二、微分方程的定义
微分方程:

凡含有未知函数的导数(偏导数)或微分的方程 叫微分方程. 例

y?? ? 2 y? ? 3 y ? e x , ?z 2 ? x ? y, ( t ? x )dt ? xdx ? 0, ?x
y? ? xy ,

实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
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分类1: 常微分方程, 偏常微分方程.

微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数称之微分方程的阶. 分类2: 一阶微分方程 F ( x , y, y?) ? 0,

y? ? f ( x , y );

高阶(n)微分方程 F ( x , y , y?,?, y ( n ) ) ? 0,

y
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( n)

( n?1 ) ? ? f ( x , y, y ,?, y ).

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分类3: 线性与非线性微分方程.

y? ? P ( x ) y ? Q( x ),

2 ? x( y ) ? 2 yy? ? x ? 0;

分类4: 单个微分方程与微分方程组.

? dy ? dx ? 3 y ? 2 z , ? ? dz ? 2 y ? z , ? dx

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三、主要问题-----求方程的解
微分方程的解:
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数 称之微分方程的解:.

设y ? ?( x )在区间 I 上有 n 阶导数,

F ( x, ?( x ), ??( x ),?, ?( n) ( x )) ? 0.
微分方程的解的分类:
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同.
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例 y? ? y ,
y?? ? y ? 0,
(2)特解:

通解 y ? ce x ;

通解 y ? c1 sin x ? c2 cos x;

确定了通解中任意常数以后的解.

解的图象:

微分方程的积分曲线.

通解的图象: 积分曲线族.

初始条件:

用来确定任意常数的条件.

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初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.

? y? ? f ( x , y ) 一阶: ? ? y x ? x0 ? y 0

过定点的积分曲线;

? y ?? ? f ( x , y , y ? ) 二阶: ? ? ? y ? y , y ? y 0 0 x ? x x ? x ? 0 0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.

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例 3 验证:函数 x ? C1 cos kt ? C 2 sin kt 是微分

d x 方程 2 ? k 2 x ? 0 的解. 并求满足初始条件 dt dx x t ? 0 ? A, ? 0 的特解. dt t ? 0 dx 解 ? ? ? kC1 sin kt ? kC2 cos kt , dt 2 d x 2 2 ? ? k C cos kt ? k C 2 sin kt , 1 2 dt 2 d x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
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2

? k 2 (C1 cos kt ? C 2 sin kt ) ? k 2 (C1 cos kt ? C 2 sin kt ) ? 0.

故 x ? C1 cos kt ? C2 sin kt 是原方程的解 .
? x t ?0 dx ? A, ? 0, dt t ?0

? C1 ? A, C2 ? 0.

所求特解为 x ? A cos kt . 补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法.

求解微分方程

求积分

(通解可用初等函数或积分表示出来)
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二、可分离变量的微分方程
g( y )dy ? f ( x )dx 可分离变量的微分方程. 4 4 ? dy 例如 ? 2 x 2 y 5 ? y 5 dy ? 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,

? g( y )dy ? ? f ( x )dx

分离变量法

设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G( y ) ? F ( x ) ? C 为微分方程的解.
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dy ? 2 xy 的通解. 例1 求解微分方程 dx dy 解 分离变量 ? 2 xdx , y dy ? ? 2 xdx , 两端积分 ? y

ln y ? x 2 ? C1
? y ? ce 为所求通解.
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x2

例: 求微分方程

2 ? 1? x y ? 1? y 2

的通解

解:分离变量

dy 1? y
2

?

dx 1? x
2

两端积分得

arcsin y ? arcsin x ? C

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例:求微分方程

y? sin x ? y cos x ? 0
2

y ? 3 ? 的特解 满足初值条件 x ?
解:原方程可化为 分离变量得

dy ? sin x ? y cos x dx

dy ? sin x ? y cos x dx
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积分
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?

1 cos x dy ? ? dx y sin x



lny=lnsinx+lnC

所以y=Csinx是原方程的通解;
由初始条件 y x ? ? ? 3 可得C=3
2

故所求特解为y=3sinx

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例:求微分方程
2 x sin ydx ? ( x 2 ? 3) cos ydy ? 0

满足初值条件 y / x ?1 ? 解:分离变量

?

6

的特解。

cos y 2x dy ? ? 2 dx, (sin y ? 0) sin y x ?3
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积分有
cos y 2x 2 dy ? ? dx ? ln sin y ? ? ln( x ? 3) ? ln C ? sin y ? x2 ? 3

从而有 ( x 2 ? 3) sin y ? C 将 y / x ?1 ?

?

代入上式得 C=2 6
2

所以隐式特解为

(x
2017年5月13日4时40分

? 3) sin y ? 2
20

例: 求微分方程

2 x? y ? y ? e , y / x?0 ? 0 的特解

解:分离变量

e dy ? e dx
y 2x

两端积分得
1 2x 1 e ? e ? C , ? y / x ?0 ? 0 ? C ? 2 2
y

所以

1 2x e ?1 e ? (e ? 1) ? y ? ln 2 2
2x y
21

2017年5月13日4时40分

例2:求解微分方程
dy x? y x? y ? cos ? cos . dx 2 2 dy x ? y x ? y 解: ? cos ? cos ? 0, dx 2 2 ??? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2 sin sin 2x 2 dy dy x y ? ? ? sin dx , ? 2 sin sin ? 0, ? y 2 dx 2 2 2 sin 2 x y y 两边积分,得解: ln csc ? cot ? 2 cos ? C , 2 2 2 ? csc xdx ? ln csc x ? ctgx ? c

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例3 求方程 f ( xy) ydx ? g ( xy) xdy ? 0 通解.
解 令u ? xy ,

则 du ? xdy ? ydx, du ? ydx f ( u) ydx ? g( u) x ? ? 0, x u [ f ( u) ? g( u)] dx ? g( u)du ? 0, x dx g ( u) ? du ? 0, x u[ f ( u) ? g( u)] g ( u) 通解为 ln | x | ? ? du ? C . u[ f ( u) ? g( u)]
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2017年5月13日4时40分

例 4 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成 正比 ,已知 M
t ?0

? M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量

M ( t ) 随时间 t 变化的规律.
解 衰变速度 , 由题设条件 dt dM ? ? ?M (? ? 0衰变系数) dt
dM ? M ? ? ? ?dt ,

dM

dM ? ? ?dt M

ln M ? ? ?t ? ln c , 即M ? ce ??t ,
衰变规律
24

代入M t ?0 ? M0 得 M 0 ? ce 0? C ,

? M ? M 0 e ? ?t

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例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时 间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为

dV Q? ? 0.62 ? S 2 gh , dt
流量系数
2017年5月13日4时40分

孔口截面面积

重力加速度
25

? S ? 1 cm ,
2

h

? dV ? 0.62 2 gh dt ,

(1)

h h ? dh

r

100 cm

设在微小的时间间隔 [t , t ? dt],

o

水面的高度由h降至 h ? dh , 则 dV ? ? ?r 2dh,

? r ? 100 2 ? (100 ? h)2 ? 200h ? h2 ,

? dV ? ? ?( 200h ? h )dh,
2

( 2)

2 ? ? ( 200 h ? h )dh ? 0.62 2 gh dt , 比较(1)和(2)得:

2017年5月13日4时40分

26

? ?( 200h ? h )dh ? 0.62 2 gh dt ,
2

即为未知函数的微分方程.

可分离变量

? dt ? ? ( 200 h ? h3 )dh, 0.62 2 g ? 400 3 2 5 t?? ( h ? h ) ? C, 0.62 2 g 3 5 ? 14 5 ? ? 10 , ? h |t ?0 ? 100, ? C ? 0.62 2 g 15 ? 所求规律为 t ? (7 ? 105 ? 103 h3 ? 3 h5 ). 4.65 2 g
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例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 0.1%的 CO2 , 为了降低车间内空气中 CO2 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 0.03%的 CO2的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 CO2的百分比降低到多少? 解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2的含量为 x( t )% 在 [t , t ? dt ]内,

CO2 的通入量 ? 2000 ? dt ? 0.03, CO2 的排出量 ? 2000 ? dt ? x( t ),
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CO2 的改变量 ? CO2 的通入量 ? CO2 的排出量
12000dx ? 2000? dt ? 0.03? 2000 ? dt ? x( t ),

dx 1 ? ? ( x ? 0.03), ? x ? 0.03 ? Ce dt 6
x |t ? 6 ? 0.03 ? 0.07e ?1 ? 0.056,

1 ? t 6

,
1 ? t 6

? x |t ?0 ? 0.1, ? C ? 0.07, ? x ? 0.03 ? 0.07e
6分钟后, 车间内 CO2的百分比降低到 0.056%.
2017年5月13日4时40分

,

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三、小结
分离变量法步骤: 1、分离变量;

2、两端积分-------隐式通解.

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三 齐次方程
一、齐次方程
dy y 1.定义 形如 ? f ( ) 的微分方程称为齐次方程. dx x y 2.解法 作变量代换 u ? , 即 y ? xu, x dy du ? ? u? x , dx dx du u ? x ? f ( u), 代入原式 dx du f ( u) ? u 可分离变量的方程 即 ? . dx x 31 2017年5月13日 4时40分

例 1 求解微分方程

y y ( x ? y cos )dx ? x cos dy ? 0. x x


y 令u ? , 则 dy ? xdu ? udx, x

( x ? ux cos u)dx ? x cos u( udx ? xdu) ? 0,

y 微分方程的解为 sin ? ? ln x ? C. x
2017年5月13日4时40分 32

dx cos udu ? ? , x

sin u ? ? ln x ? C ,

例:求微分方程
解:令

y u ? ? y ? ux x

dy y x ? y ln dx x

的通解



dy du ?u?x dx dx

则原方程成为

du u ? x u ln u dx

分离变量得

2017年5月13日4时40分

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du dx ? , ? ln(lnu ? 1) ? ln x ? ln C ? ln u ? 1 ? Cx u (ln u ? 1) x


y u? x

代入得通解

y ln ? Cx ? 1 x

2017年5月13日4时40分

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dx dy ? 2 . 例 2 求解微分方程 2 2 x ? xy ? y 2 y ? xy
y ? y? 2? ? ? 2 dy 2 y ? xy ? ? x ? x , ? 2 2 2 y ? y? dx x ? xy ? y 1? ? ? ? x ? x? y 令u ? , 则 dy ? xdu ? udx, x
2



2u ? u u ? xu? ? , 2 1? u? u
2
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1 1 1 2 1 dx [ ( ? )? ? ]du ? , 2 u? 2 u u? 2 u?1 x
3 1 ln(u ? 1) ? ln(u ? 2) ? ln u ? ln x ? ln C , 2 2 u?1 ? Cx. u ( u ? 2)
3 2

微分方程的解为 ( y ? x )2 ? Cy( y ? 2 x )3 .

2017年5月13日4时40分

36

利用变量代换求微分方程的解

dy 例7 求 ? ( x ? y ) 2的通解. dx dy du 解 令 x ? y ? u, ? ? 1 代入原方程 dx dx du ? 1 ? u2 解得 arctanu ? x ? C , dx

代回 u ? x ? y , 得 arctan( x ? y ) ? x ? C ,
原方程的通解为 y ? tan( x ? C ) ? x .
2017年5月13日4时40分 37

例 3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 设旋转轴 ox轴

y

T R

光源在(0,0), L : y ? y( x )
设M ( x , y)为L上任一点, M

MT为切线, 斜率为 y?,

o

x
N

? ?OMN ? ?NMR ,
2017年5月13日4时40分 38

1 MN为法线, 斜率为 ? , y?

L

? tan ?OMN ? tan ?NMR ,
y
M T
R

o

x
N

L

由夹 角正 切公 式得

1 y ? ? ? ? y? x ?tan ?OMN ? y ? 1? ? xy ? ? 1 ? tan ?NMR ? ? y? ?

得微分方程
x x 2 yy? ? 2 xy? ? y ? 0, 即 y? ? ? ? ( ) ? 1. y y
2
2017年5月13日4时40分 39

y du ? 1 ? 1 ? u 2 令u ? , 得 u ? x ? , x dx u

udu dx ?? , 分离变量 2 2 x (1 ? u ) ? 1 ? u
令 1 ? u 2 ? t 2,

tdt dx ?? , t ( t ? 1) x
C 即 u ? 1 ? ? 1, x
2
40

C 积分得 ln t ? 1 ? ln , x
2017年5月13日4时40分

平方化简得
y 代回 u ? , 得 x

2 C 2C 2 u ? 2? , x x

C y ? 2C ( x ? ) 2
2

抛物线

所求旋转轴为ox轴的旋转抛物面方程为

C y ? z ? 2C ( x ? ). 2
2 2

2017年5月13日4时40分

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四. 一阶线性微分方程
一、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:

dy ? P ( x ) y ? Q( x ) dx
当Q( x ) ? 0, 上方程称为齐次的.

当Q( x ) ? 0, 上方程称为非齐次的.
dy dx 2 例如 ? y? x , ? x sin t ? t 2 , 线性的; dx dt yy? ? 2 xy ? 3, y? ? cos y ? 1, 非线性的. 2017年5月13日4时40分

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一阶线性微分方程的解法

dy ? P ( x ) y ? 0. 1. 线性齐次方程 dx
(使用分离变量法)

dy ? ? P ( x )dx , y

dy ? y ? ? ? P ( x )dx ,

ln y ? ? ? P ( x )dx ? ln C ,
齐次方程的通解为 y ? Ce ?
2017年5月13日4时40分

? P ( x ) dx

.
43

dy ? P ( x ) y ? Q( x ). 2. 线性非齐次方程 dx dy ? Q( x ) ? ? P ( x )? dx, 讨论 ? ? ? y ? y ? Q( x ) dx ? ? P ( x )dx , 两边积分 ln y ? ? y Q( x ) 设? dx为v ( x ), ? ln y ? v ( x ) ? ? P ( x )dx , y
即 y ? e v ( x ) e ? ? P ( x ) dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: C ? u( x )
2017年5月13日4时40分 44

常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换.

新未知函数 u( x ) ? 原未知函数 y( x ),
作变换

y ? u( x )e
? P ( x ) dx

? ? P ( x ) dx

y? ? u?( x )e ?
2017年5月13日4时40分

P ( x ) dx ? ? u( x )[? P ( x )]e ,

45

? ? ? u ( x ) e 将y和y 代入原方程得

? P ( x ) dx

? Q( x ),

P ( x ) dx ? dx ? C , 积分得 u( x ) ? ? Q( x )e

一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x ) dx ? ? P ( x ) dx ? y ? [ ? Q( x )e dx ? C ]e

? Ce ?

? P ( x ) dx

?e ?

? P ( x ) dx

对应齐次 方程通解
2017年5月13日4时40分

非齐次方程特解

P ( x ) dx ? ? ? Q( x )e dx

46

1 sin x 例1 求方程 y? ? y ? 的通解. x x sin x 1 Q( x ) ? , 解 P( x) ? , x x

? y?e C? ? ? ? ? ln x ? sin x ln x ?e ? e dx ? C ? ?? ? x ? 1 1 ? ?? sin xdx ? C ? ? ?? cos x ? C ?. x x
??

1 dx ? x ?

sin x ?? x ?

1 ? dx ? e x dx ?

2017年5月13日4时40分

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2 例2:求微分方程 y ? ? ? ( x ? 1) x ?1

5 2

满足初值条件 解:

y x ?0 ? 1
5 2

的特解。

y?e

?

2 dx x ?1

[?

( x ? 1) e ?e
2 ln( x ?1)

?

?2 dx x ?1

dx
5 2 ? 2 ln( x ?1)

[ ? ( x ? 1) e

dx
48

2017年5月13日4时40分

2 ? ( x ? 1) [ ( x ? 1) 3
2

3 2

? C]



y / x?0 ? 1
=

1 代入上式得C= 3
2 3 2

2 所以特解为y=( x ? 1) [ ( x ? 1) 3

1 ? ] 3

2017年5月13日4时40分

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例3、求方程 (1 ? y 2 ) ydx ? 2(2 xy 2 ? 1)dy ? 0的通解。
dx 4y 2 解 ? x? 2 dy 1 ? y y(1 ? y 2 )

x?e

??

4y 1? y
2

dy

[?

e y(1 ? y 2 )

2

?

4y 1? y
2

dy

dy ? c ]

?

1 (1 ? y 2 )

2 ( 2 ln y ? y ? c ) 2
50

2017年5月13日4时40分

例4、若连续函数f ( x)满足关系式 2x t f ( x) ? ? f ( )dt ? ln 2,求f ( x). 0 2
解:f ?( x ) ? f ( x ) ? 2
y? ? 2 y y? ? 2 y ? 0
y ? f ( x ) ? ce
? f (0) ? ln 2
? 2 dx

? ce 2 x

? c ? ln 2

则f ( x ) ? ln 2 ? e 2 x
2017年5月13日4时40分 51

例5 如图所示,平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y ? f ( x )与 y ? x ( x ? 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).


?0

x

f ( x )dx ? ( x ? y ) ,
3 2

y

?0

x

ydx ? x 3 ? y,
2

Q

y ? x3

两边求导得 y? ? y ? 3 x ,
解此微分方程
2017年5月13日4时40分

P

y ? f ( x)

o

x

x

52

y? ? y ? 3 x 2
2 ? dx ? ? y?e C ? ? 3 x e dx ? ? ? ? ? ? dx

? Ce ? x ? 3 x 2 ? 6 x ? 6,

由 y | x?0 ? 0,
所求曲线为

得 C ? ?6,

y ? 3( ?2e ? x ? x 2 ? 2 x ? 2).

2017年5月13日4时40分

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二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式

dy n ? P ( x ) y ? Q( x ) y dx

( n ? 0,1)

当n ? 0,1时, 方程为线性微分方程. 当n ? 0,1时, 方程为非线性微分方程.
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
2017年5月13日4时40分 54

dy 1? n ? P ( x ) y ? Q( x ), 两端除以y ,得 y dx dz ? n dy 1? n , 令z ? y , 则 ? (1 ? n) y dx dx dz ? (1 ? n) P ( x ) z ? (1 ? n)Q( x ), 代入上式 dx
n
?n

1? n z ? y 求出通解后,将 代入即得

?y

1? n

?z
( 1? n ) P ( x ) dx ? ( ? Q ( x )(1 ? n)e dx ? C ).
55

?e ?

? ( 1? n ) P ( x ) dx

2017年5月13日4时40分

dy 4 2 ? y ? x y 的通解. 例 3 求方程 dx x
解 两端除以 y,得
1 dy 4 ? y ? x2 , y dx x
dz 1 ? 1 dy dz 1 dy ? y 2? ?2 ? dx 2 dx dx y dx

令z?

y,
2

dz 4 2 ? z ? x2 , dx x

?x ? 即 y ? x4 ? x ? C ? . ? ? 解得 z ? x ? ? C ? , ?2 ? ?2 ?

2

2017年5月13日4时40分

56

例4 用适当的变量代换解下列微分方程:

1. 2 yy? ? 2 xy ? xe
2

? x2

;

1 ? x 2 ?1 y? ? xy ? xe y , 解 2 dz dy 1?( ?1) 2 令z? y ? y , 则 dx ? 2 y dx ,
? ? 2 xdx 2 xdx dz ?x ? x2 ? [ ? xe e dx ? C ] ? ? 2 xz ? xe , z ? e dx 2 x 2 ?x 所求通解为 y ? e ( ? C ). 2
2
2

2017年5月13日4时40分

57

dy 1 y 2. ? ? ; 2 dx x sin ( xy ) x dz dy 解 令 z ? xy , 则 ? y? x , dx dx dz 1 y 1 ? y ? x( ? )? , 2 2 dx x sin ( xy ) x sin z
分离变量法得 2 z ? sin 2 z ? 4 x ? C ,
将 z ? xy 代回,

所求通解为 2 xy ? sin(2 xy ) ? 4 x ? C .
2017年5月13日4时40分 58

dy du 解 令 x ? y ? u, 则 ? ? 1, dx dx du 1 ?1? , 代入原式 dx u 分离变量法得 u ? ln(u ? 1) ? x ? C ,
将 u ? x ? y 代回, 所求通解为

dy 1 3. ? ; dx x ? y

y ? ln( x ? y ? 1) ? C ,

或 x ? C 1e y ? y ? 1

dx 另解 方程变形为 ? x ? y. dy
2017年5月13日4时40分 59

第七节 可降阶的高阶微分方程
本节考虑n阶微分方程
( n) ? F ( x, y, y ,?, y ) ? 0

中的如下的三种特殊类型:

? y(n)=f(x)
? y ( n ) ? f ( x, y ( k ) ,?, y ( n?1) )
特点:不显含未知函数y及 y?,?, y( k ?1) .

? y( n) ? f ( y, y?,?, y( n?1) )
2017年5月13日4时40分

特点: 右端不显含自变量 x .

60

特例:

一 y
解法:

(n)

? f ( x)

视 y ( n ) ? [ y ( n ?1) ]? , 积分1次 y ( n ?1) ? ? f ( x )dx ? C

共积分n次 y ? ? ?? f ( x )dx ?dx ? C1 x n ?1 ? C 2 x n ? 2 ? ? ? C n
例1

y( 4) ? sin x ? x
降低了方程的阶数

二 y?? ? f ( x, y?)
解法: 令 y? ? p, 则 y?? ?

dp dp 代入原方程 ? f ( x , p) dx dx 这是关于p的一阶微分方程, 若能求出
2017年5月13日4时40分

p ? ?( x , c1 ), 则 y ? ? ?( x , c1 )dx ? c2

61

例2

(1 ? x 2 ) y?? ? ( y?)2 ? 1

三 y?? ? f ( y, y?)
解法:
降低了方程的阶数

dp dy dp dp 令 y? ? p, 则 y?? ? ? p 代入原方程 p ? f ( y , p ) dy dx dy dy
这是关于p的一阶微分方程, 若能求出

1 p ? ?( y , c1 ), 则 ? dy ? x ? c2 是所求通解 ?( y , c1 )
例3

1 ? ( y? ) 2 y?? ? 2y
62

2017年5月13日4时40分

2 例4 已知曲线,它的方程y=f(x)满足微分方程 yy?? ? y? ? 1

并且与另一条曲线y=ex 相切于点(0,1), 求此曲线的方程.
解 ∵ 曲线满足初值问题

yy?? ? y? 2 ? 1, y x ? 0 ? 1, y? x ? 0 ? ?1
dp dp 令 y? ? p , y?? ? p , 则 yp ? p 2 ? 1 . 分离变量、积分 dy dy

1 1 2 ? ln( 1 ? p ) ? ln y ? ln c1 , 即 ? yc1 , p ? ?1 2 2 1? p
∵ 上式中无满足初始条件的解, ∴考虑 p ? ?1, 即
2017年5月13日4时40分

满足初始条件的解为
y=1-x

dy ? ?1, dx

y ? ?x ? c
63

更一般的情况, 如
1、 y
( n)

? f ( x, y ,?, y
(k )

( n?1 )

)型

特点: 不显含未知函数y及 y?,?, y( k ?1) . 解法: 令 y ( k ) ? P ( x )

则 y ( k ?1 ) ? P ? , y ( n ) ? P ( n ? k ) .
代入原方程, 得 P(x)的(n-k)阶方程

P ( n?k ) ? f ( x, P ( x ),?, P ( n?k ?1) ( x )). 求得 P ( x ),
2017年5月13日4时40分

将y

(k )

? P ( x ) 连续积分k次, 可得通解.

64

例 5 求方程 xy ( 5 ) ? y ( 4 ) ? 0 的通解.



设 y ( 4 ) ? P ( x ),

y

(5)

? P ?( x )

代入原方程

xP ? ? P ? 0, (P ? 0)

解线性方程, 得 P ? C1 x 即 y ( 4 ) ? C1 x , 1 2 ? ? ? 两端积分,得 y ? C1 x ? C 2 , ? ?, 2 C1 5 C 2 3 C 3 2 y? x ? x ? x ? C4 x ? C5 , 120 6 2
原方程通解为 y ? d 1 x ? d 2 x ? d 3 x ? d 4 x ? d 5
5 3 2
2017年5月13日4时40分 65

2、 y

( n)

? f ( x, y ,?, y
(k )

( n?1 )

)型

特点: 右端不显含自变量x . 解法: 设 y? ? p( y )
2 2

d P dP 2 y??? ? P ? P ( ) , ? ?, 2 dy dy

dp dy dP 则 y?? ? ? ? p , dy dx dy

代入原方程得到新函数P ( y )的( n ? 1)阶方程,

dy ? P ( y ) ? ?( y , C1 , ?, C n?1 ), 求得其解为 dx dy ? x ? Cn , 原方程通解为 ? ? ( y , C1 , ? , C n ?1 )
2017年5月13日4时40分 66

例 6 求方程 yy?? ? y? 2 ? 0 的通解. 解 设 y? ? p( y ),
dP 则 y?? ? p , dy

dP dP 2 ? P ? 0, 即 P ( y ? 代入原方程得 y ? P ? P ) ? 0, dy dy dP 由 y? ? P ? 0, 可得 P ? C1 y , dy
dy ? ? C1 y , dx
2017年5月13日4时40分

原方程通解为 y ? C 2e

c1 x

.
67

附1)

恰当导数方程
d 对x的导数, 即 ?( x , y , y?,?, y ( n?1) ) ? 0. dx

特点 左端恰为某一函数?( x , y , y?,?, y ( n?1) )

解法: 类似于全微分方程可降低一阶

?( x, y, y?,?, y( n?1) ) ? C ,
再设法求解这个方程.
2017年5月13日4时40分 68

2 ? ? ? 例 7 求方程 yy ? y ? 0 的通解.

d 解 将方程写成 ( yy?) ? 0, dx
故有 yy? ? C1 ,
即 ydy ? C1dx,

2 积分后得通解 y ? C1 x ? C2 .

注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.

2017年5月13日4时40分

69

附2) 齐次方程
特点: F ( x, ty, ty?,?, ty ( n ) ) ? t k F ( x, y, y?,?, y ( n ) )
zdx ? 解法: 可通过变换 y ? e

k次齐次函数

将其降阶, 得新未知函数z( x ). zdx zdx 2 ? ? ? y? ? ze , y?? ? ( z ? ? z )e , ? ?,
y
(n)

? ?( z , z?,?, z

( n ?1 )

zdx ? )e ,

代入原方程并消去 e ?
2017年5月13日4时40分

k zdx

,
70

得新函数z( x )的(n ? 1)阶方程
f ( x, z, z?,?, z ( n?1) ) ? 0.
例 8 求方程 x 2 yy?? ? ( y ? xy? ) 2 的通解.

2 1 zdx ? 解 设 y ? e , 代入原方程,得 z ? ? z ? 2 , x x
1 C1 解其通解为 z ? ? 2 , x x

原方程通解为 y ? e
2017年5月13日4时40分

?

1 C1 ( ? 2 ) dx x x

? C 2 xe

?

C1 x

.
71

解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解. 小结
2 例 9 求方程 yy?? ? y? ? 0 的通解. 1 解 两端同乘不为零因子 2 , y

yy?? ? y? 2 d y? ? ( ) ? 0, 2 y dx y

故 y? ? C1 y,

从而通解为 y ? C 2e C1 x .
2017年5月13日4时40分 72

另解

y ?? y ? ? , 原方程变为 y? y
C1 x

两边积分,得 ln y? ? ln y ? ln C1, 即 y? ? C1 y,
原方程通解为 y ? C 2e

.

补充题: 求方程 xyy?? ? xy? 2 ? yy? 的通解.

zdx ? 设 y ? e , 代入原方程,得 z ?x ? z,

解其通解为 z ? C x ,
Cxdx C x ? ? C 2e . 原方程通解为 y ? e
1 2

2017年5月13日4时40分

73

思考题
2 2 x y ? 3 已知 1 , y2 ? 3 ? x , y3 ? 3 ? x ? e

都是微分方程

?x

2

? 2 x ? y ?? ? ? x 2 ? 2 ? y ? ? ?2 x ? 2 ? y ? 6? x ? 1?

的解,求此方程所对应齐次方程的通解.

2017年5月13日4时40分

74



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