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选修4-5 基本不等式(习题课)



习题课

不等式定理及其重要变形:

(定理)重要不等式

a ? b ? 2ab(a, b ? R)
2 2

(推论)基本不等式(又叫均值不等式)
a?b ? ab 2

( a, b ? R )

?

?

/>
ab

a?b 2 ?( ) 2

代数意义:
a?b 如果把 看做是两正数a、b 2 的等差中项, ab 看做是两正数a、b 的
等比中项, 那么均值不等式可叙述为: 两

个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

几何意义:
ab

均值不等式的几何解释是: 半径不小于半弦.

a

b

结构特点: 均值不等式的左式为和结
构, 右式为积的形式, 该不等式表明两正 数的和与两正数的积之间的大小关系, 运 用该不等式可作和与积之间的不等变换.

二、公式的拓展

a ? b ? 2ab(a, b ? R)
2 2

2(a ? b ) ? (a ? b)
2 2

2

(a ? b) ? 4ab
2

2ab ? a?b

ab

?

a?b a ?b ? 2 2
2

2

当且仅当a=b时“=”成立

(a, b ? R )

?

三、公式的应用(一)—证明不等式
(以下各式中的字母都表示正数)

( 1)

(a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 8abc

(2) 已知

a ? b ? c ?1

1 1 1 求证 ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8 a b c

?3?。已知: a ? b ? c ? 1
1 求证: ab ? bc ? ca ? 3

证明: ?a ? b ? c

? a ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2ca
2 2 2

(a ? b ? c)

2

?1

?1 2 2 a ? b ? 2ab 2 2 b ? c ? 2bc 2 2 c ? a ? 2ca

a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

1 ? a ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2ca
2 2 2

? 3ab ? 3bc ? 3ca

1 ? ab ? bc ? ca ? 3
注意:本题条件a,b,c为实数

△法解不等式
求证:a +ac+c +3b(a+b+c) ≥0 证明: 原式=a +(c+3b)a+(c +3b +3bc) ≥0 设f(a)= a +(c+3b)a+(c +3b +3bc)


△ = (c+3b) -4(c +3b +3bc)

=-3(c+b) ∴ f(a) ≥0 (当且仅当-b=c=a取等号)

四、公式的应用(二)—求函数的最值
(1) 已知 x, y 是正数,x ? y ? P(定值), 求 xy 的最大值;

(2) 已知 x, y 是正数, xy 求 x ? y 的最小值;

?S (定值),
一正二 定三相 等

和定积最大 积定和最小

1 ( 3) 已知 0 ? x ? ,求函数 y ? x(1 ? 3x) 的最大值; 3

创造条件
(4)已知

x, y 是正数,满足 2 x ? y ? 1




1 1 ? x y

的最小值;

注意取等号的条件

1 (3 )已知:0<x< ,求函数y=x(1-3x)的最大值 3 配凑成和成 2+x, y=-3x 分析一、 原函数式可化为: 定值 利用二次函数求某一区间的最值

分析二、 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值,且0<x<1 则1-3x>0; 3 1 可用均值不等式法 ∵0<x< ,∴1-3x>0 3 1 1 3 x ? 1 ? 3 x 1? 2 ∴y=x(1-3x)= 3x(1-3x)≤ ( ) ? 3 12 当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y

3

2

6

1 max= 12

1 1 (4)已知正数x、y满足2x+y=1,求 ? 的最小值 x y

解:?1 ? 2x ? y ? 2 2xy
1 ? xy ? 即 ?2 2 xy 2 2 1

错因:
过程中两次运用了

1 1 1 ? ? ?2 ? 2? 2 2 ? 4 2 x y xy
1 1 即 ? 的最小值为 4 x y

均值不等式中取“=”
号过渡,而这两次取

2

“=”号的条件是不同的,
故结果错。

1 1 (4)已知正数x、y满足2x+y=1,求 ? 的最小值 x y

正解: ? 1 ? 1 ? 2 x ? y ? 2 x ? y
x y

x

y

y 2x ? 3? ? x y ? 3? 2 2
当且仅当

“1”代换法

y 2 x 即: y ? 2 x 时取“=”号 ? x y
即此时

1 ? ? y ? 2x x? ? 而? ? ? 2? 2 ? ?2 x ? y ? 1 2 ?y ? ? 2? 2 ?

ymin ? 3 ? 2 2

特别警示:
用均值不等式求最值时,要注意检验最值存在的 条件,特别地,如果多次运用均值不等式求 最值,则要考虑多次“≥”(或者“≤”)中取 “ =” 成立的诸条件是否相容。

(5)错题辨析
阅读下题的各种解法是否正确,若有错,指出有错误的地方。

1 1 解法一: ? a, b ? R ,? a ? ? 2, 2b ? ? 2 2 a b 1 1 1 1 ? ( a ? 2b) ? ( ? ) ? 2 ? 2 2 ,? ? ? 2 2 ? 1 a b a b 1 1 1 ? 1 解法二:由a ? 2b ? 1及a、b ? R , ? ? (a ? 2b)( ? ) a b a b
?

1 1 1.已知a,b ? R ,且a ? 2b ? 1,求 ? 的最小值. a b
?

1 1 1 ? 2 2ab ? 2 ,? ? 的最小值为 4 2. ab a b

1 1 已知a,b ? R ,且a ? 2b ? 1,求 ? 的最小值. a b 1 1 1 解法三: ? ? ?2 ,当且仅当a ? b时" ?"成立, a b ab
?

1 1 1 1 又 ? a ? 2b ? 1,? a ? b ? ,? ? ? 2 ? 6. 1 3 a b 9
正确解法一 “1”代换法

1 1 (5)已知正数a、b满足a+2b=1,求 ? 的最小值 a b 正解: ? 1 ? 1 ? a ? 2b a ? 2b
a b

a

?

b

2b a ? 3? ? ? 3? 2 2 a b
当且仅当

2b a 即: a ? 2b 时取“=”号 ? a b
即此时

1 ? ? a ? 2b b? ? 而? ?? 2? 2 ? ?a ? 2b ? 1 2 ?a ? ? 2? 2 ?

zmin ? 3 ? 2 2

2

1? ? 1? ? 求 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 4, ? a ? ? ? ? b ? ? 的最小值. a? ? b? ?

2

2

解:由 a ? b ? 4, ,得 a 2 ? b 2 ? (a ? b) 2 ? 2ab ? 16 ? 2ab. 又 a 2 ? b 2 ? 2ab, 得 16 ? 2ab ? 2ab ,即 ab ? 4 .

4? 4? 1 1? ? ? ? 4 ? 4 ? a ? ? b ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 1 ab 4 a b ? ? ? ? ? ?? ? ? 25 . ? ?? ?? a ? ? ? ?b ? ? ? ? 4 2 2 a? ? b? 2 ?


2

2

2

1? ? 1? ? ? a ? ? ? ?b ? ? a? ? b? ?
2 2

2

2


2




2





25 2


2




2



? ? 1? ? 1? 1? 1? 1? 1? ? ? ? ? ? ? ?? a ? ? ? ? b ? ? ? 2 a ? ? 2 b ? ? ? 4 ? 4 ? 8 ,故 ? a ? ? ? ? b ? ? 的最 ? ? a? b? a? b? a? ? b? ? ? ? ? ? ? ?
小值是 8.错误的原因是,在两次用到重要不等式当等号成立时,有 a ? 1 和 b ? 1 ,但在

时,b ? 3 ) a ? b ? 4 的条件下,这两个式子不会同时取等号( a ? 1 .排除错误的办法是

“1”的代换
9 3、已知 x、 y∈ R ,且 1 ? ?1, x y
+

求 x ? y 的最小值

五:公式应用(三)—解决实际问题 例3. 如图,教室的墙壁上挂着一块黑 板,它的上、下边缘分别在学生的 水平视线上方a米和b米,问学生距 离墙壁多远时看黑板的视角最大?

例3.如图,教室的墙壁上挂着一块黑板,它的上、下
边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米,问学 A 生距离墙壁多远时看黑板的视角最大?
解 : 设学生P距黑板x米, 黑板上, 下边缘与学生的 水平视线PH的夹角分别为?APH ? ? , ?BPH ? ? , 其中? ? ? , 则学生看黑板的视角为? ? ? P

B

b

a

H a b 由 tan ? ? , tan ? ? ,由此可得 , x x a b ? tan ? ? tan ? a ?b x x tan ?? ? ? ? ? ? ? ab ab 1 ? tan ? tan ? 1 ? x ? x2 x ab ab 因为x ? ? 2 x? ? 2 ab,当且仅当x ? ab时, tan?? ? ? ?最大, x x

由于? ? ?为锐角 , ?此时? ? ?最大,

即学生距墙壁 ab时看黑板的视角最大.

问题与思考

4。某种商品准备两次提价, 有三种方案:
A.第一次提价 m%, 第二次提价 n% ; B.第一次提价 n%, 第二次提价 m% ; m?n C.两次均提价 %. 2 试问哪种方案提价后的价格高?

设原价为M元, 令a = m%, b = n%, 则 按三种方案提价后的价格分别为:
A. (1+a)· (1+b)· M =(1+a+b+ab)· M B. (1+b)· (1+a)· M =(1+a+b+ab)· M
a?b 2 a?b 2 ) ]· C. (1+ ) · M =[1+a+b+ ( M 2 2 a?b 2 ) 的大小. 只需比较 ab 与 ( 2
2 2

a?b 2 a ? 2ab ? b 易知 ( ) ? ab ? ?0 2 4

问题与思考
5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其 3 容积为 4800 m ,深为3m,如果池底每平方 米的造价为150元,池壁每平方米的造价为 120元,问怎样设计水池才能使造价最低, 最低造价是多少元?

4800 则另一边的长度为 3x
ù ????? ?

??? è ??? ×??± ? ?? ¤ ?? m????× ?? ì ?? l ??

x

1600 , ±??± ? ? x? x ? ? ? 40? ±? ? l? ? × ? ? ? ? ? 297600
???? ò ±???? ×??± ?? ¤ ?40m??· ??? ±???? ?? × ì ?× ???× ??× ?? ì ?? 297600?.

反思研究
2、解应用题思路 实际问题 抽象概括 引入变量 建立目标函数 数学模型 均 值 不 等 式

推 演 理 算 还原 实际问题的解 数学模型的解 说明

4 2。 1、设 a, b ? R 且a+b=3,求2a+2b的最小值___
2 b 3 2。 2、设 a ? 0, b ? 0, a 2 ? ? 1,则 a 1 ? b 2 的最大值为_____ 2 4

3、设x, y 满足 x ? 4 y ? 40 ,且 x ? 0, y ? 0 则 lg x ? lg y

的最大值是( A、40



) C、4 D、2

B、10

1、应用均值不等式须注意以下三点:
(1)各项或各因式为正 (2)和或积为定值 (3)各项或各因式能取得相等的值,必要时作适当变形, 以满足上述前提,即“一正二定三相等” 2、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转 化为“和式”的放缩功能; 创设应用均值不等式的条件,合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧,而拆与凑的成因在于使等号能够成立; 3、均值不等式在实际生活中应用时,也应注意取值范围和能取到 等号的前提条件。

设 a, b ? R , a ? b ? 1
1 你能给出几个含有 0 ? ab ? 1 1 4 ? ?4 字母a和b的不等式 a b 1 2 2 1? a ?b ? 2 倒数
乘积

?

1 1 25 ( a ? )( b ? ) ? a b 4

平方

1 1 (1 ? )(1 ? ) ? 9 a其他 b



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