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山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试 数学文



高三自主诊断试题

数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、 试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需

改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题
符合题目要求的. 1. 已知 A. 3

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

a ? 1 ? bi ,其中 a , b 是实数, i 是虚数单位,则 | a ? bi |? 1? i
B. 2 C. 5 D. 5

2. 已知集合 M ? {x | 2 x ? x2 ? 0} , N ? {x | x 2 ? y 2 ? 1} ,则 M ? N ? A. [?1, 2) B. (0,1) C. (0,1] D. ?

3. 某校共有高一、高二、高三学生 1290 人,其中高一 480 人,高二比高三多 30 人,为了解该校学 生健康状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有高一学生 96 人,则该样本中的高三 学生人数为 A. 84 B. 78 C. 81 D. 96 4. 函数 y ? 1 ? ( ) 的值域为
x

1 2

A. [0, ??)

B. (0,1)

C. [0,1)

D. [0,1]
开始

5. 已知 MOD 函数是一个求余函数,其格式为 MOD(n, m) , 其结果为 n 除以 m 的余数,例如 MOD(8,3) ? 2 .

输入 n

i?2

右面是一个算法的程序框图, 当输入的值为 25 时, 则输出的结果为 A. 4 C. 6 B. 5 D. 7

6. 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 0 与 x 轴相交于 A, B 两点,则弦 AB 所对的圆心角的大小为 A.

? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

7.“ 0 ? m ? 1 ”是“函数 f ( x) ? sin x ? m ?1 有零点”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8. 已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ?)(| ? | ? A. ( ?

?
2

) 的图象过点 (0, 3) ,则 f ( x) 的图象的一个对称中心是
C. (

?
3

, 0)

B. ( ?

?
6

, 0)

?
6

, 0)

D. (

?
4

, 0)

?x ? 2 ? 9. 设 x , y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 1 ,则下列不等式恒成立的是 ? y ? x ?1 ?
A. x ? 3 B. y ? 4 C. x ? 2 y ? 8 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

10. 如果函数 y ? f ( x) 在区间 I 上是增函数,而函数 y ?

f ( x) 在区间 I 上是减函数,那么称函数 x 1 2 3 y ? f ( x) 是区间 I 上的“缓增函数”, 区间 I 叫做“缓增区间”, 若函 f ( x ) ? x ? x ? 是区间 I 2 2
B. [0, 3]

上的“缓增函数”,则其“缓增区间” I 为

, ? ?) A. [1

1] C. [0,

D. [1, 3]

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已知不共线的平面向量 a , b 满足 a ? (?2, 2) , (a ? b) ? (a ? b) ,那么 | b |?

?

?

?

? ?

? ?

?



?2x , x ? 0, 12. 已知函数 f ( x) ? ? 则 f ( f (?1)) ? ?| log 2 x |, x ? 0,
13. 已知实数 x , y 满足 2 ? 2 ? 1 ,则 x ? y 的最大值是
x y



; ;

14. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是

4 4

4

6
侧(左)视图

正(主)视图

4

4

6

第 14 题图

俯视图

15. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过 F 作斜率为 ?1 的直线交双曲线的渐近 a 2 b2

a 2 ? b2 线于点 P ,点 P 在第一象限, O 为坐标原点,若 ?OFP 的面积为 ,则该双曲线的离心率 8
为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 某区工商局、消费者协会在 3 月 15 号举行了以“携手共治,畅享消费”为主题的大型宣传咨询 服务活动,着力提升消费者维权意识.组织方从参加活动的群众中随机抽取 120 名群众,按他们的年 龄分组:第 1 组 [20,30) ,第 2 组 [30, 40) ,第 3 组 [40,50) ,第 4 组 [50,60) ,第 5 组 [60,70] ,得到 的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若电视台记者要从抽取的群众中选 1 人进行采访,求被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率; (Ⅱ)已知第 1 组群众中男性有 2 人, 组织方要从第 1 组中随机抽取 3 名群 众组成维权志愿者服务队,求至少 有两名女性的概率. 频率 — 组距

m
0.03 0.02 0.01 0.005

17. (本小题满分 12 分) 已 知 向 量 a ? ( k sin

?

? x x x , cos 2 ) , b ? (cos , ?k ) , 实 数 k 为 大 于 零 的 常 数 , 函 数 3 3 3

? ? 2 ?1 . f ( x) ? a ? b , x ? R ,且函数 f ( x) 的最大值为 2
(Ⅰ)求 k 的值; ( Ⅱ ) 在 ?ABC 中 , a , b, c 分 别 为 内 角 A, B, C 所 对 的 边 , 若

?
2

? A ? ? , f ( A) ? 0 , 且

??? ? ??? ? b ? 2 2 , a ? 2 10 ,求 AB ? AC 的值.

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在正四棱台 ABCD ? A1B1C1D1 中,A1B1 ? a ,AB ? 2a ,AA 1 ?

2a ,E 、F 分别是 AD 、

AB 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 EFB1D1 ∥平面 BDC1 ; (Ⅱ)求证: AC ? 平面 BDC1 . 1 注:底面为正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心,这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平 行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥,底面与截面之间的部分叫做正四棱台.

D1

C1 B1

A1

D E A F B

C

19. (本小题满分 12 分) 设 {an } 是 等 差 数 列 , {bn } 是 各 项 都 为 正 整 数 的 等 比 数 列 , 且 a1 ? b1 ? 1 , a13b2 ? 50 ,

a8 ? b2 ? a3 ? a4 ? 5 , n ? N* .
(Ⅰ)求 {an } , {bn }的通项公式; (Ⅱ)若数列 {dn } 满足 d n d n ?1 ? ( ) 项和 S 2 n .

1 2

?8 ? log 2 bn?1

(n?N ) ,且 d1 ? 16 ,试求 {dn } 的通项公式及其前 2 n
*

20. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 C1 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 抛物线上存在一点 G 到焦点的距离为 3 , 且点 G 在圆 C : x 2 ? y 2 ? 9 上. (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程;

1 x2 y 2 (Ⅱ) 已知椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1 (m ? n ? 0) 的一个焦点与抛物线 C1 的焦点重合, 且离心率为 . 直 2 m n
线 l : y ? kx ? 4 交椭圆 C2 于 A 、 B 两个不同的点,若原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部,求 k 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)

a ? ln x ( a ? R ) . x 1 1 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的图象在点 ( , f ( )) 处的切线方程; 2 2 1 2 a (Ⅱ)当 a ? 0 时,记函数 ?( x) ? ax ? (1 ? 2a) x ? ? 1 ? f ( x) ,试求 ?( x) 的单调递减区间; 2 x
已知函数 f ( x ) ? 1 ?

(Ⅲ)设函数 h(a) ? 3?a ? 2a2 (其中 ? 为常数) ,若函数 f ( x) 在区间 (0, 2) 上不存在极值,求 h(a) 的最大值.

高三自主诊断试题

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. DCBCB CABCD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 13. ?2

11. 2 2

12. 1

14. 32

15.

10 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设第 2 组 [30, 40) 的频率为 f 2

f2 ? 1 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ? 0.03) ?10 ? 0.35 ; ………………………………………3 分
第 4 组的频率为 0.02 ? 10 ? 0.2 所以被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率为

P 1 ? 0.35 ? 0.2 ? 0.55

……………………………………………………………………6 分 ……………………7 分

(Ⅱ)设第 1 组 [30, 40) 的频数 n1 ,则 n1 ? 120 ? 0.005 ?10 ? 6 记第 1 组中的男性为 x1 , x2 , ,女性为 y1 , y2 , y3 , y4

随机抽取 3 名群众的基本事件是: ( x1 , x2 , y1 ) , ( x1 , x2 , y2 ) , ( x1 , x2 , y3 ) , ( x1 , x2 , y4 )

( x1 , y2 , y1 ) , ( x1 , y3 , y2 ) , ( x1 , y1 , y3 ) , ( x1 , y4 , y1 ) , ( x1 , y2 , y4 ) , ( x1 , y3 , y4 ) , ( x2 , y2 , y1 ) , ( x2 , y3 , y2 ) , ( x2 , y1 , y3 ) , ( x2 , y4 , y1 ) , ( x2 , y2 , y4 ) , ( x2 , y3 , y4 ) , ……………………10 分 ( y1 , y2 , y3 ) , ( y1 , y2 , y4 ) , ( y2 , y3 , y4 ) , ( y1 , y3 , y4 ) 共 20 种 其中至少有两名女性的基本事件是:( x1 , y2 , y1 ) ,( x1 , y3 , y2 ) ,( x1 , y1 , y3 ) ,( x1 , y4 , y1 ) ,( x1 , y2 , y4 ) , ( x1 , y3 , y4 ) , ( x2 , y2 , y1 ) , ( x2 , y3 , y2 ) , ( x2 , y1 , y3 ) , ( x2 , y4 , y1 ) , ( x2 , y2 , y4 ) , ( x2 , y3 , y4 ) , ( y1 , y2 , y3 ) , ( y1 , y2 , y4 ) , ( y2 , y3 , y4 ) , ( y1 , y3 , y4 ) 共16 种 16 4 ? ………………………………………………12 分 所以至少有两名女性的概率为 P2 ? 20 5
17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知 f ( x) ? a ? b ? (k sin

? ?

x x x , cos 2 ) ? (cos , ?k ) 3 3 3

2x x x x 1 2x 3 ? k (sin 2 x ? cos 2 x ) ? k ? k sin cos ? k cos 2 ? k sin ? k 3 3 3 2 3 2 2 3 3 2 2k 2 2x 2 2x k 2k 2x ? k ………………………5 分 ? ( sin ? cos ) ? ? sin( ? ) ? 2 2 3 2 3 2 2 3 4 2 ( 2 ? 1)k 2 ?1 因为 x ? R ,所以 f ( x) 的最大值为 ,则 k ? 1 …………………6 分 ? 2 2 1 ? cos
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ?

2 2x ? 1 2 2A ? 1 sin( ? ) ? ,所以 f ( A) ? sin( ? )? ?0 2 3 4 2 2 3 4 2

2A ? 2 ? )? 3 4 2 ? 2 A ? 5? ? ? ? ? 因为 ? A ? ? ,所以 12 3 4 12 2 2A ? ? 3? ? ? ,解得 A ? 则 ……………………………………………………………8 分 4 3 4 4 2 b2 ? c 2 ? a 2 8 ? c 2 ? 40 所以 cos A ? ? ? ? 2 2bc 2 ? 2 2c 2 化简得 c ? 4c ? 32 ? 0 ,则 c ? 4 …………………………………………………………10 分 ??? ? ???? ??? ? ???? 3? 2 所以 AB ? AC ? AB AC cos ? 4 ? 2 2 ? (? ) ? ?8 ……………………………12 分 4 2
化简得 sin( 18. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连接 AC 1 1 , AC ,分别交 B 1D 1 , EF , BD 于 M , N , P ,连接 MN , C1 P 由题意, BD ∥ B1D1 因为 BD ? 平面 EFB1D1 , B1 D1 ? 平面 EFB1D1 ,所以 BD ∥平面 EFB1D1 …………3 分又因为

A1B1 ? a, AB ? 2a ,所以 MC1 ?

1 2 A1C1 ? a 2 2 1 2 AC ? a 2 D1 4 C1 M B1

又因为 E 、 F 分别是 AD 、 AB 的中点,所以 NP ? 所以 MC1 ? NP 又因为 AC ∥ AC 1 1 ,所以 MC1 ∥ NP 所以四边形 MC1PN 为平行四边形

A1

D

C

E
A
N

P

F

B

所以 PC1 ∥ MN 因为 PC1 ? 平面 EFB1D1 , MN ? 平面 EFB1D1 ,所以 PC1 ∥平面 EFB1D1 因为 PC1 I BD ? P ,所以平面 EFB1D1 ∥平面 BDC1 (Ⅱ)连接 A 1P ,因为 AC 1 1 ∥ PC , AC 1 1 = PC ? 所以四边形 AC 1 1CP 为平行四边形 因为 CC1 ? AA 1 1CP 为菱形 1 ? PC ? 2a ,所以四边形 AC 所以 AC ? PC1 1 ………………………………………………………………………9 分 因为 MP ? 平面 ABCD , MP ? 平面 AC 1 1CA …………………………………6 分

2a ,

ABCD , 所以平面 AC 1 1CA ? 平面
因为 BD ? AC ,所以 BD ? 平面 AC 1 1CA 因为 AC ? 平面 AC 1 1 1CA ,所以 BD ? AC 1 因为 PC1 I BD ? P ,所以 AC ? 平面 BDC1 . 1 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且? ………………………………………12 分

?(1 ? 12d )q ? 50 ?(1 ? 7d ) ? q ? (1 ? 2d ) ? (1 ? 3d ) ? 5

11 ? d ? ? ?d ? 2 ?(1 ? 12d )q ? 50 ? 12 即? 解得: ? ,或 ? , ?q ? 2 ? 2d ? q ? 6 ? q ? 25 ? 6 ? ?d ? 2 由于 {bn }是各项都为正整数的等比数列,所以 ? ……………………………………3 分 ?q ? 2 从而 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? qn?1 ? 2n?1 . ……………………………………5 分
(Ⅱ)? bn ? 2n?1 ? log 2 bn?1 ? n

1 1 ? d n d n ?1 ? ( ) ?8? n , d n ?1d n ? 2 ? ( ) ?7 ? n 2 2
两式相除:

dn?2 1 ? , dn 2
1 2
?8 ?1

由 d1 ? 16 , d1d 2 ? ( )

? 128 可得: d2 ? 8

1 1 ? d1 , d3 , d5 ,?是以 d1 ? 16 为首项,以 为公比的等比数列;d2 , d4 , d6 ,? 是以 d2 ? 8 为首项,以 2 2
为公比的等比数列, …………………………………………………………7 分

?1 1 n 2 n ) ?当 n 为偶数时, dn ? 8 ? ( ) 2 ? 16( 2 2 1 n?1?1 2 n 当 n 为奇数时, d n ? 16 ? ( ) 2 ? 16 2( ) 2 2

? 2 n ? 16( ) , n 为偶数 ? 2 综上, d n ? ? …………………………………………………………9 分 ?16 2( 2 ) n , 为奇数 n ? 2 ?

? S2n ? (d1 ? d3 ? ? ? d2n?1 ) ? (d2 ? d4 ? ? ? d2n ) 1 1 16 ? [1 ? ( )n ] 8 ? [1 ? ( ) n ] 2 ? 2 ? 32[1 ? ( 1 )n ] ? 16[1 ? ( 1 )n ] ? 48 ? 48( 1 ) n ………………12 分 ? 1 1 2 2 2 1? 1? 2 2
20. (本小题满分 13 分)

p ? ? x0 ? 2 ? 3 ? 2 2 解: (Ⅰ)设点 G 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,由题意可知 ? x0 ? y0 ? 9 ………………………2 分 ? y 2 ? 2 px 0 ? 0 ?
解得: x0 ? 1, y0 ? ?2 2, p ? 4, 所以抛物线 C1 的方程为: y ? 8x ………………………………………………………4 分
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线 C1 的焦点 F (2, 0)

? 椭圆 C2 的一个焦点与抛物线 C1 的焦点重合
? 椭圆 C2 半焦距 c ? 2, m2 ? n2 ? c2 ? 4
1 2 1 ? 椭圆 C2 的离心率为 ,? ? ? m ? 4 , n ? 2 3 2 m 2 2 2 x y ? 1 …………………………………………………………6 分 ? 椭圆 C2 的方程为: ? 16 12 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,

? y ? kx ? 4 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 (4k ? 3) x ? 32kx ? 16 ? 0 ?1 ? ? ?16 12 32k 16 由韦达定理得: x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 4k ? 3 4k 2 ? 3

………………………………8 分

由 ? ? 0 ? (?32k )2 ? 4 ?16(4k 2 ? 3) ? 0

1 1 或k ? ? ………………①……………………………………………………10 分 2 2 ??? ? ??? ? ∵原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部,则 OA ? OB ? 0 , ??? ? ??? ? ? OA? OB ? ( x1, y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? y1 y2 ? x1x2 ?k?

? (kx1 ? 4) ? (kx2 ? 4) ? x1x2 ? (k 2 ?1) x1x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ?16
16 32k 16(4 ? 3k 2 ) ? 4 k ? ? 16 ? ?0 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 2 3 2 3 ………………② ?? ?k? 3 3 2 3 1 1 2 3 由①、②得实数 k 的范围是 ? ?k ?? 或 ?k ? 3 2 2 3 ? (k 2 ? 1) ?
21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x ) ? 1 ?

………………………13 分

1 ? ln x , x

f ?( x) ? 1 2

1 1 ? , x2 x

1 2 1 1 1 ? 函数 f ( x) 的图象在点 ( , f ( )) 的切线方程为: y ? (ln 2 ? 1) ? 2( x ? ) , 2 2 2 即 2 x ? y ? ln 2 ? 2 ? 0 …………………………………………………………………4 分 a 1 2 (Ⅱ)? f ( x ) ? 1 ? ? ln x ,??( x) ? ax ? (1 ? 2a ) x ? ln x ( x ? 0) , x 2 2 1 ax ? (2a ? 1) x ? 1 ??( x) ? ax ? (1 ? 2a) ? ? x x x ?1 ①当 a ? 0 时, ??( x ) ? x x ?1 ? 0 及 x ? 0 可得: 0 ? x ? 1 ,??( x) 的单调递减区间为 (0,1] ………6 分 由 ??( x ) ? x ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ②当 a ? 0 时, ??( x) ? x 2 2 2 由 ax ? (2a ? 1) x ? 1 ? 0 可得: ? ? (2a ?1) ? 4a ? 4a ? 1 ? 0 1 设其两根为 x1 , x2 ,因为 x1 x2 ? ? ? 0 ,所以 x1 , x2 一正一负 a
则 f ?( ) ? 4 ? 2 ? 2 , f ( ) ? 1 ? 2 ? ln 2 ? ln 2 ? 1

2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 2a 2 ax ? (2a ? 1) x ? 1 2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 ? ? 0 及 x ? 0 可得: 0 ? x ? 由 ? ( x) ? x 2a
设其正根为 x2 ,则 x2 ?

??( x) 的单调递减区间为 (0,

2a ? 1 ? 4 a 2 ? 1 ] …………………………………………8 分 2a a 1 a?x (Ⅲ) f ?( x) ? 2 ? ? ,由 f ?( x) ? 0 ? x ? a x x x2 由于函数 f ( x) 在区间 (0, 2) 上不存在极值,所以 a ? 0 或 a ? 2 ………………………10 分对于 3 h(a) ? 3?a ? 2a2 ,对称轴 a ? ? 4 3? 3? 8 3 9 ? 0或 ? 2 ,即 ? ? 0 或 ? ? 时, h( a ) max ? h( ? ) ? ? 2 ; 当 4 4 3 4 8 3? 4 ? 1 ,即 0 ? ? ? 时, h(a)max ? h(0) ? 0 ; 当0 ? 4 3 3? 4 8 ? 2 ,即 ? ? ? 时, h(a)max ? h(2) ? 6? ? 8 ; 当1 ? 4 3 3 8 ?9 2 ? 8 ? , ? ? 0或? ? 3 ? 4 ? 0?? ? 综上可知: h( a ) max ? ? 0, ……………………………………………14 分 3 ? 4 8 ? ? 6? ? 8, 3 ? ? ? 3 ?



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