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河北省容城中学2014-2015学年高二升级考试数学(文)试题



高二年级升级考试数学试题(文科)
(考试时间:120 分钟 分值:150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.) 1、 设集合 U ? {1, 2,3, 4,5, 6} , 则 CU A ? A ? {x ? N |1 ? x ? 3}, A.U 2 ( 、 ) B. ?x ? R

,sin x ? 1 D. ?x ? R,sin x ? 1 B.{1,2,3} 已 知 C.{4,5,6} 命 题 D.{1,3,4,5,6} 则
?p





p : ?x ? R,sin x ? 1,



A. ?x ? R,sin x ? 1 C. ?x ? R,sin x ? 1

3、下列函数中,在区间 (0, ??) 上存在最小值的是 ( ) B. y ? x C. y ? 2 x D. y ? log2 x

A. y ? ( x ?1)2

4、 记函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) , 若 f ( x) 对应的曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方 程 ( ) B. f ?( x0 )=1 C. f ?( x0 ) ? 0 D. f ?( x0 )= ?1 ( ) 为
y ? ?x ?1





A. f ?( x0 )=2

5、已知函数 f ( x) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ex ,则 f (?1) ? A.

1 1 B. ? C. e D. ?e e e 6、 若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点与双曲线 x 2 ? y 2 ? 2 的右焦点重合, 则 p 的值

为 (

) A. 2 B. 2 C. 4
3 3

D. 2 2 ”的 ( )

7、设 a ? ?1 ,b ? 2log3 m ,那么“ a ? b ”是“ m ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8 、 函 数 f ( x) = - x3 + 3x2 - 4 的 图 象 在 x ? 1 处 的 切 线 方 程 为 ( ) A. x + 3 y + 5 = 0 C. 3 x + y - 1 = 0 B. 3 x - y - 5 = 0 D. x - 3 y - 7 = 0
π 6 π 6

9 、 函 数 f ( x) ? 2sin( x ? )cos( x ? ) 图 象 的 一 条 对 称 轴 方 程 是 ( )
π 6 π 3 5π 12 2π 3

A. x ?

B.

x?

C. x ?

D. x ?
1 1 1 1 1

10、 一个几何体的三视图如图 所示,则该几何体的体积的是 ( ) A. 7 B. 15
2

2

正(主)视图 1 1 2 2 俯视图

侧(左)视图

C. 23
3

D. 47
6

x3 y? x 2 ? 1 的图像大致是 11、 函数





12 、已知定义域为 R 的奇函数 y ? f ? x ? 的导函数为 y ? f ? ? x ? ,当 x ? 0 时,
f ?? x? ?
a? 1 2

f ? x? ?0 x




5 3

y
(4 ,5)

l
y ? f ( x)

?1? ? 1? f ? ? , b ? ?2 f ? ?2 ? , c ? ? ln ? ?2? ? 2?

? 1? f ? ln ? , 则 a, b, c 的 ? 2?

O

4

大 (

小 )













x

A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. a ? c ? b

D. c ? a ? b

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) a?i 13、若复数 z ? ,且 z ? R ,则实数 a =_____. i 14、 已知平面向量 a , b 满足 a ? (1, ?1) , (a ? b) ? (a ? b) ,那么 | b |= ____.
?y ? x ? 15 、已知 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值与最小值的比 ?x ? 2 ?



.

16、如图, y ? f ( x) 是可导函数,直线 l 是曲线 y ? f ( x) 在 x ? 4 处的切线,令
g ( x) ? f ( x) ,则 g ?(4) ? x



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 17、 (本小题满分 10 分)在科普知识竞赛前的培训活动中,将甲、乙两名学生

的 6 次培训成绩(百分制)制成如图所示的茎叶图: (1)若从甲、乙两名学生中选择 1 人参加该知识竞赛,你会选哪位?请运用统计 学的知识说明理由; (2)若从学生甲的 6 次培训成绩中随机选择 2 个,求选到的分数中至少有一个大 于 85 分的概率.

18、(本小题满分 12 分)已知向量 m ? ( 3sin x ,1 ? 3 cos x) ,n ? (1 ? sin x,cos x ) ,函 数 f ( x) ? m ? n + 3 . (1)求函数 f ( x) 的零点; (2)若 f (? ) ? ,且 ? ? ( , π) ,求 cos? 的值.
8 5 π 2

19、 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,

AE ? 平面 CDE ,已知 AE ? DE ? 2 , F 为线段 DE 的中点.
(1)求证: BE // 平面 ACF ; (2)求四棱锥 E ? ABCD 的体积.
B A

C

E
F

D

20、 (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 ,且 a1 ,

a3 , a11 成等比数列.
(1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)若 bn ? an ? 2n ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ex ? ax ? b? ? x2 ? 4x ,曲线 y=f(x)在点 (0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)若对任意实数 m ? (0,??) ,不等式 f ( x) ? 4e x ( x ? 1) ? m( x 2 ? 2) ? 2x 恒成立, 求 x 的取值范围.

22、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? a (其中 a ? R ,e 是自然对数的 底数,e=2.71828?) . (1)当 a ? e 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

高二年级升级考试数学参考答案(文科)
一、1、C 2、B C 3、A 4、D 5、D 6、C 7、C 8、B 9、C 10、 D 11、C 12、

二、13、0.

14、 2

15、 2 : 1

16、 ?

3 16

三、17、解:(1)学生甲的平均成绩 x甲 ?

68 ? 76 ? 79 ? 86 ? 88 ? 95 ? 82 , 6 71 ? 75 ? 82 ? 84 ? 86 ? 94 学生乙的平均成绩 x乙 ? ? 82 , 6

又 s2甲 ? [(68 ? 82)2 ? (76 ? 82)2 ? (79 ? 82)2 ? (86 ? 82)2 ? (88 ? 82)2 ? (95 ? 82)2 ] ? 77 ,
1 167 , s2乙 ? [(71 ? 82)2 ? (75 ? 82)2 ? (82 ? 82)2 ? (84 ? 82)2 ? (86 ? 82)2 ? (94 ? 82) 2 ] ? 6 3

1 6

则 x甲 ? x乙 , s2甲 ? s2乙 , 说明甲、乙的平均水平一样,但乙的方差小,则乙 发挥更稳定,故应选择学生乙参加知识竞赛.5 分 注:(1)由茎叶图的分布可知应选择乙同学.(可给 2 分) (2)由茎叶图可以看到甲的平均成绩在 80 分左右,其分布对称,乙的平均 成绩在 80 分左右,但总体成绩稳定性较好,故应选择乙同学.(可给 4 分) (2) 从学生甲的成绩中随机选择 2 个,其基本事件有(68,76),(68,79), (68,86),(68,88),(68,95),(76,79),(76,86),(76,88),(76,95),(79,86), (79,88),(79,95),(86,88),(86,95),(88,95),共有 15 个,其中选到的分 数中至少有一个大于 85 分的事件有 12 个,故所求的概率 P ? 分 18、 .解: (1) f ( x) ? m ? n + 3 ? 3sin x ? 3sin 2 x ? cos x ? 3 cos2 x ? 3
π ? 3sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) ,????(3 分) 6
12 4 ? . · 15 5

10

由 2sin( x ? ) ? 0 ,得 x ? ? kπ (k ? Z) ,所以 x ? kπ ? (k ? Z) ,
π 6 π 8 π 4 (1)由(2)知 f (? ) ? 2sin(? ? ) ? ,所以 sin(? ? ) ? ,??(8 分) 6 5 6 5 2π π 7π π 3 π 因为 ? ? ( , π) ,所以 ? ? ? ? ,则 cos(? ? ) ? ? ,???(10 分) 3 6 6 6 5 2 π π π π π π 所以 cos? ? cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? )cos ? sin(? ? )sin 6 6 6 6 6 6 3 3 4 1 4?3 3 ?? ? ? ? ? . ????(12 分) 5 2 5 2 10 19、证明: (1) 连结 BD 和 AC 交于 O ,连结 OF ,?????????1 分

π 6

π 6

π 6

所以函数 f ( x) 的零点为 x ? kπ ? (k ? Z) .??????(6 分)

? ABCD 为正方形,? O 为 BD 中点,? F 为 DE 中点, B ???4 分 ? OF // BE , ? BE ? 平面 ACF , OF ? 平面 ACF ? BE // 平面 ACF .???????????5 分 O (2) 作 EG ? AD 于 G ? AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,? AE ? CD , ? ABCD 为 正 方 形 , ? CD ? AD , C ? AE ? AD ? A, AD, AE ? 平面 DAE , D ? CD ? 平面 DAE ,?????7 分 ? CD ? EG ,? AD ? CD ? D , ? EG ? 平面 ABCD ???8 分 ? AE ? 平面 CDE , DE ? 平面 CDE ,? AE ? DE ,? AE ? DE ? 2 ,

A

G

E F

?10 分 1 1 8 2 ??? ? 四棱锥 E ? ABCD 的体积 V ? S? ABCD ? EG ? ? (2 2)2 ? 2 ? 3 3 3 12 分 20、解: (1)因为数列 ?an ? 是等差数列,设公差为 d , 所以 a3 ? a1 ? 2d ? 2 ? 2d . a11 ? 2 ? 10d. ???? 2 分 因为 a1 , a3 , a11 成等比数列,所以 a32 ? a1 ? a11.
2

? AD ? 2 2 , EG ? 2

??????

3分 ???? 4

即 ? 2 ? 2d ? ? 2 ? ? 2 ? 10d ? . 所以 d 2 ? 3d ? 0. 所以 d ? 0 ,或 d ? 3. 分 因为 d ? 0 ,所以 d ? 3. 分 (2) 因为 bn ? an ? 2n ?
1 3 ,所以 bn ? 3n ? 2n ? . 2 2

5 分

所以 an ? 2 ? 3? n ?1? ? 3n ?1.

????

6

????

7分

3? ? 3? 3? ? ? 所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 3 ? 2 ? ? ? ? 6 ? 22 ? ? ? ? ? ? 3n ? 2n ? ? 2? ? 2? 2? ? ?
3 ? ? 3 ? 6 ? ? ? 3n ? ? ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? ? n 2

?????

10 分

? 3n2 ? 3n ? 3 3 2 n ?1 n ?1 ?? ? ? ? 2 ? 2 ? ? n ? 2 n ? 2 ? 2. 2 2 ? ?
3 2 n ? 2n ?1 ? 2. ????? 12 分 2 21、解:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.?????????????2 分

所以数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ?

由已知得 f(0)=4,f′(0)=4. 从而 a=4,b=4.

故 b=4,a+b=8.

???4 分

?????????????6 分

(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, 所以 4ex(x+1)-x2-4x ? 4e x ( x ? 1) ? m( x 2 ? 2) ? 2x , 即 m( x 2 ? 2) ? x 2 ? 2x ? 0 对任意实数 m ? (0,??) 恒成立.?? 7 分 令 g (m) ? ( x 2 ? 2)m ? x 2 ? 2x ,则函数 g ( m) 是关于 m 的一次函数,?8 分 由 x 2 ? 2 ? 0 ,故 g ( x) 在 (0,??) 上为增函数.只需 g (0) ? ? x 2 ? 2x ? 0, ?10 分

得 ? 2 ? x ? 0 ,故使原不等式恒成立的 x 的取值范围是 ?? 2,0? .????12 分

22、解:(1) 当 a ? e 时, f ( x) ? ex ? ex ? e , f ?( x) ? e x ? e , 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以函数 f ( x) 在 (??,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, 所以函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?e ,函数 f ( x) 无极大值. ··· 5 分 (2)由 f ( x) ? e x ? ax ? a , f ?( x) ? e x ? a , 若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,当 x 趋近于负无穷大时, f ( x) 趋近于 负无穷大;当 x 趋近于正无穷大时, f ( x) 趋近于正无穷大,故函数 f ( x) 存在唯 一零点 x0 ,当 x ? x0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? x0 时, f ( x) ? 0 .故 a ? 0 不满足条件. ······························· 8 分 若 a ? 0 , f ( x) ? ex ? 0 恒成立,满足条件. ············· 9 分 若 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln a ,当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 (??,ln a) 上单调递减,在 (ln a, ??) 上单调递增,所以函数 f ( x) 在

x ? ln a 处取得极小值 f (ln a) ? eln a ? a ? ln a ? a ? ?a ? ln a ,由 f (ln a) ? 0 得 ? a ? ln a ? 0 ,

解得 0 ? a ? 1 . 综上,满足 f ( x) ? 0 恒成立时实数 a 的取值范围是 [0,1] . ······· 12 分

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