9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 高三数学 >>

广东省2012届高三全真模拟卷数学理1





广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 1
一、选择题 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1.已知全集 U , A ? B ,那么下列结论中可能不成立的是( (A)A I B = A 2.若 (B)A U B = B (C) ? A) I B ≠ ? (U ) (D) ? B ) I A = ? (U ) (D) ?

1 + 2i ,则 = a + b i ( a, b ∈ R, i 是虚数单位) a ? b 等于( 1 ? 2i 1 (B) ? (C) ?1 (A) ?7 5


7 5

3. a < 1 是不等式 | x ? 1| + | x |> a ( x ∈ R )恒成立的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

4.设向量 a = (1, ?3) , b = ( ?2, 4) , c = (?1, ?2) ,若表示向量 4a 、 4b ? 2c 、 2(a ? c ) 、

d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量 d 为(
(A) (2, 6) (B) ( ?2, 6)

) (D) ( ?2, ?6)

(C) (2, ?6)

5.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生 产能耗 y (吨标准煤)的几组对应数据.根据右表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归

? 方程为 y = 0.7 x + 0.35 ,那么表中的值为(

) 4 5 4 6 4.5 (D)4.5
2 2

x
y
(A)3 (B)3.15

3 2.5

(C)3.5

在 内角 A, B , C 的对边分别是 a , b, c . a ? b = 若 6. ?ABC 中, 则 A=( (A) 30o ) (B) 60o (C) 120 o

3bc ,sin C = 2 3 sin B ,

(D) 150 o )

7.下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象,其中一定错误的是(

第1页



(A)

(B)

(C)

(D)

8.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”,封闭区域边界曲线 的长度与区域直径之比称为区域的“周率”,下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到 右依次记为 τ 1 ,τ 2 ,τ 3 ,τ 4 ,则下列关系中正确的为( )

(A)τ 1 > τ 4 > τ 3

(B)τ 3 > τ 1 > τ 2

(C)τ 4 > τ 2 > τ 3

(D)τ 3 > τ 4 > τ 1

二、填空题 本大题共 6 小题, 每小题 5 分,满分 30 分.
(一)必做题(9~13 题) 必做题( 9.某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从 公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中,抽取 若干人组成调查小组,有关数据见下表.若从调查小组中 的公务员和教师中随机选 2 人撰写调查报告,则其中恰好 有人来自公务员的概率为 . .

10.若等比数列 {an } 的前 n 项和 S n = 2 n + a ,则 a = 10 11.直线 y = 11

1 x + b 是曲线 y = ln x 的一条切线,则实数 b = 2



n 2 3 n ? 12 . 若 (1 ? x ) = 1 + a1 x + a2 x + a3 x + L + an x ( n ∈ N ) , 且 a1 : a3 = 1: 7 , 则 a5 等





13.如图,已知 | AB |= 10 ,图中的一系列圆是圆心分别为 A、B 的两组同心圆,每组同心 13

第2页



圆的半径分别是 1, 2, 3,L , n,L .利用这两组同心圆可以画出以 A、B 为焦点的双曲线,若其 中 经 过 点 M 、 N 、 P 的 双 曲 线 的 离 心 率 分 别 记 为 eM , eN , eP , 则 它 们 的 大 小 关 系 是 (用“ < ”连接) .

考生只能从中选做一题) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 选做题(14、 14. 14 (坐标系与参数方程)在极坐标中,圆 ρ = 4 cos θ 的圆心 C 到直线 ρ sin(θ +

π
4

) = 2 2 的距离为



15. 15 (几何证明选讲)如图,直线 PC 与圆 O 相切于点 C ,割线

PAB 经过圆心 O ,弦 CD ⊥ AB 于点 E , PC = 4 , PB = 8 ,
则 CE = .

三、解答题 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
16. (本题满分 12)已知函数 f ( x) = sin(2 x + 16.

π
3

).

(Ⅰ)在给定的坐标系内,用“五点作图法”列表画出函数 y = f ( x ) 在一个周期内的图象; (Ⅱ)若 f ( x ) = ?

3 π , x ∈ (0, ) ,求 sin 2x 的值. 5 2

17. (本题满分 12)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若 17. 干次预赛成绩中随机抽取 8 次.记录如下:

第3页



甲:82 81 79 78 95 88

93

84 乙:92 95 80

75

83

80

90

85

(Ⅰ)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数; (Ⅱ)现要从中选派一人参加数学竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位学生 参加合适?请说明理由; (Ⅲ)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中 高于 80 分的次数为 ξ ,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ . 18. (本题满分 14)如图, ?ABC 的外接圆 18. 中 AB 为圆直径. CD ⊥

O 的半径为 5 ,其

O 所在的平面, BE // CD , CD = 4 ,

BC = 2 ,且 BE = 1 .
(Ⅰ)求证:平面 ADC ⊥ 平面 BCDE ; (Ⅱ)试问线段 DE 上是否存在点 M ,使得直线 AM 与平面

2 ACD 所成角的正弦值为 ?若存在,确定点 M 的位置,若不存 7
在,请说明理由.

19. (本题满分 14)如图, A 地在 B 地东偏北 45° 方向相距 2 2 km 处, B 地与东西走向 19. 的高铁线(近似看成直线)相距 4 km .已知曲线形公路 PQ 上任意一点到 B 地的距离等于到 高铁线的距离,现要在公路旁建造一个变电房 M (变电房与公路之间的距离忽略不计)分别 向 A 地、 B 地送电. (Ⅰ)试建立适当的直角坐标系求环形公路 PQ 所在曲线的轨迹方程; (Ⅱ)问变电房 M 应建在相对 A 地的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所用电线 长度最短?并求出最短长度.

第4页



20. (本题满分 14)已知函数 f ( x) = x ? 1 , g ( x ) = a | x ? 1| . 20.
2

(Ⅰ)若关于 x 的方程 | f ( x ) |= g ( x ) 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 h ( x ) =| f ( x ) | + g ( x ) 在区间 [ ?2, 2] 上的最大值. 不等式 ( n + 1) an ≥ na2 n 对任意 n ∈ N* 21. (本题满分 14) 在单调递增数列 {a n } 中,a1 = 2 , 21. 都成立. (Ⅰ)求 a 2 的取值范围; (Ⅱ)判断数列 {a n } 能否为等比数列?说明理由; (Ⅲ)设 bn = (1 + 1)(1 + ) L (1 +

1 2

1 1 ) , c n = 6(1 ? n ) ,求证:对任意的 n ∈ N* , n 2 2

bn ? c n ≥ 0. a n ? 12

参考答案

第5页



一、选择题 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

C

B

C

D

A

A

C

C

二、填空题 本大题共 6 小题, 每小题 5 分,满分 30 分. 3 9. 10 . ?1 11 . ln 2 ? 1 12 . ?56 13 . eM < eP < eN 5 12 15. 15. 5

14 . 2

三、解答题 本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
16. (Ⅰ)列表: 16.解:

x
2x +

?

π
6

π
12

π
3

π
3

0 0

π

2

π
0

7π 12 3π 2
?1

5π 6

2π 0

f ( x)

描点, 连线, y = f ( x ) 在一个周期内的图象, 得 如右图所示 (列表 4 分, 画图 2 分) ……… . 6分 (Ⅲ)由已知得 sin(2 x + ∴π < 2x + ∴ cos(2 x +

π

π
3

<

4π , 3

3 π π π 4 ) = ? < 0 ,Q 0 < x < ,∴ < 2 x + < π , 3 5 2 3 3 3

π
3

) = ? 1 ? sin 2 (2 x +

π

3 4 ) = ? 1 ? (? ) 2 = ? , 3 5 5

∴ sin 2 x = sin[( 2 x +

π
3

)?

π
3

] = sin( 2 x +

π
3

) cos

π
3

? cos( 2 x +

π
3

) sin

π
3

= (? ) ×

3 5

1 4 3 4 3 ?3 + × = 2 5 2 10

………

…12 分 17. (1)茎叶图如下: 17.解: 甲 8 1 2 4 9 8 7 8 5 0 0 3 5 乙

3 5 9 0 2 5 学生乙成绩中位数为 84, …………………………………………………………4 分 (2)派甲参加比较合适,理由如下:

第6页



x甲 = 85 , x乙 = 85 ;
2 2 Q x甲 = x乙 , S甲 < S乙

2 2 S甲 = 35.5 , S乙 = 41

∴甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适 …………9 分

(3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A,则 P ( A) = 随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,且 ξ 服从 B( 3,

6 3 = …10 分 8 4

3 ) 4

3 1 3 ∴ P (ξ = k ) = C 3 ( ) 3 ? (1 ? ) 3? k , k=0,1,2,3 4 4 ξ 的分布列为: 1 9 27 27 9 ∴ Eξ = 0 × + 1× + 2× + 3× = 64 64 64 64 4 3 9 (或 Eξ = np = 3 × = ) …14 分 4 4
18. (Ⅰ)∵AB 是直径,∴AC⊥BC, 18.解: 又∵CD ⊥平面 ABC,∴CD⊥BC,故 BC⊥平面 ACD Q BC ? 平面 BCDE,∴平面 ADC ⊥ 平面 BCDE

ξ
P

0

1

2

3

1 64

9 64

27 64

27 64

D N

……

4分
M C

(Ⅱ)方法一:假设点 M 存在,过点 M 作 MN⊥CD 于 N,
E F

连结 AN,作 MF⊥CB 于 F,连结 AF

A
∵平面 ADC ⊥ 平面 BCDE,∴MN⊥平面 ACD, ∴ 角 ∠ MAN 为 MA 与 平 …… 面 8分 ACD 所 成 的

O

B

设 MN=x,计算易得,DN=

3 3 x ,MF= 4 ? x 2 2

……

10 分

故 AM =

3 AF 2 + MF 2 = AC 2 + CF 2 + MF 2 = 16 + x 2 + (4 ? x) 2 2
MN = AM x 3 16 + x + (4 ? x) 2 2
2

sin ∠MAN =

=

2 7

……

12 分

解得: x = ? (舍去) x = 故 MN =

8 3

4 , 3

……

13 分

2 2 CB ,从而满足条件的点 M 存在,且 DM = DE 3 3

……

14 分

方法二:建立如图所示空间直角坐标系 C—xyz,则:

第7页



A(4,0,0) ,B(0,2,0) ,D(0,0,4) ,E(0,2,1) ,O(0,0,0) 则 DE = (0, 2, ?3)

uuur

………………………

6分

易知平面 ABC 的法向量为 OB = (0, 2, 0) ,………………… 假设 M 点存在,设 M ( a, b, c) ,则 DM = (a , b, c ? 4) , 再设 DM = λ DE , λ ∈ (0,1]

uuu r

7分

uuuu r

uuuu r

uuur

z D

?a = 0 ?a = 0 ? ? ∴ ?b = 2λ ? ?b = 2λ ,即 M (0, 2λ , 4 ? 3λ ) , ?c ? 4 = ?3λ ?c = 4 ? 3λ ? ?
从而 AM = ( ?4, 2λ , 4 ? 3λ ) ………………………… 设直线 BM 与平面 ABD 所成的角为 θ ,则:

M C E

uuuu r

11 分

x

A

O

B

y

uuuu uuu r r sin θ = cos AM , OB =
解得 λ = ? 或λ =

2λ × 2 2 16 + 4λ + (4 ? 3λ )
2 2

=

2 7

…………………………

12 分

4 2 , 3 3 4 2 其中 λ = ? ? (0,1] 应舍去,而 λ = ∈ (0,1] 3 3 4 故满足条件的点 M 存在,且点 M 的坐标为 (0, , 2) . 3

…………………………

13 分

…………………………

14 分

19. (Ⅰ)如图,取经过点 B 且垂直的直线为 y 轴,垂足为 K , 19.解: 并使原点与线段 BK 的中点重合,建立直角坐标系 xOy ,…2 分 则 B (0, 2) , A (2, 4) ………………………………3 分 因为环形公路 PQ 上任意一点到 B 地的距离 等于到直线的距离,所以 PQ 所在的曲线是以 B (0, 2) 为

第8页



焦点,为准线的抛物线………………………………5 分 设抛物线方程为 x 2 = 2 py ( p > 0) ,则 p = 4 ∴环形公路 PQ 所在曲线的轨迹方程为 x = 8 y .……………………………………7 分
2

(Ⅱ) 要使架设电线长度最短, | MA | + | MB | 最小, ………………………………………8 即 分 过 M 作 MH ⊥ l ,垂足为 H ,依题意 | MB |=| MH | ……………………………10 分 ∴ | MA | + | MB |=| MA | + | MH | , 当 A 、M 、H 三 点 共 线 时 , | MA | + | MH | 取 得 最 小 值 , 即 | MA | + | MB | 取 得 最 小 值,……12 分 此 时 M (2, ) , 位 于 A 地 正 南 方 且 与 A 地 相 距

1 2

7 km , 所 用 电 线 最 短 长 度 为 2

6 km .…………14 分
20. (Ⅰ)方程 | f ( x ) |= g ( x ) ,即 | x 2 ? 1|= a | x ? 1| ,变形得 | x ? 1| (| x + 1| ? a ) = 0 , 20.解: 显然, x = 1 已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程 | x + 1|= a , 有且仅有一个等于 1 的解或无解 , 结合图形得 a < 0 . ………………4 分

? x 2 + ax ? a ? 1, ( x ≥ 1), ? (Ⅱ) 因为 h( x ) =| f ( x ) | + g ( x ) =| x 2 ? 1| + a | x ? 1| = ? ? x 2 ? ax + a + 1, ( ?1 ≤ x < 1), …10 ? x 2 ? ax + a ? 1, ( x < ?1). ?
分 ① 当

a > 1 , 即 a > 2 时 , 结 合 图 形 可 知 h( x ) 在 [ ?2,1] 上 递 减 , 在 [1, 2] 上 递 增 , 且 2 h( ?2) = 3a + 3 , h(2) = a + 3 ,经比较,此时 h( x ) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a + 3 . a a ② 当 0 ≤ ≤ 1 , 即 0 ≤ a ≤ 2 时 , 结 合 图 形可 知 h( x ) 在 [ ?2, ?1] , [ ? ,1] 上 递 减 , 在 2 2 2 a a a + a +1 , [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h( ?2) = 3a + 3 , h(2) = a + 3 , h(? ) = 2 2 4 经比较,知此时 h( x ) 在 [ ?2, 2] 上的最大值为 3a + 3 . a a ③当 ?1 ≤ < 0 ,即 ?2 ≤ a < 0 时,结合图形可知 h( x ) 在 [?2, ?1] , [? ,1] 上递减,在 2 2 2 a a a [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h ( ?2) = 3a + 3 , h (2) = a + 3 , h( ? ) = + a +1 , 2 2 4

第9页



经比较,知此时 h( x ) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a + 3 . ④当 ?

3 a a a ≤ < ?1 ,即 ?3 ≤ a < ?2 时,结合图形可知 h( x ) 在 [?2, ] , [1, ? ] 上递减,在 2 2 2 2

a a [ ,1] , [ ? , 2] 上递增,且 h( ?2) = 3a + 3 < 0 , h(2) = a + 3 ≥ 0 , 2 2 经比较,知此时 h( x ) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a + 3 .

a 3 < ? ,即 a < ?3 时,结合图形可知 h( x ) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 2 故此时 h( x ) 在 [?2, 2] 上的最大值为 h(1) = 0 . 综上所述,当 a ≥ 0 时, h( x ) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a + 3 ; 当 ?3 ≤ a < 0 时, h( x ) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a + 3 ;
⑤当 当 a < ?3 时, h( x ) 在 [?2, 2] 上的最大值为 0.……………………………………14 分 21. (Ⅰ)因为 {a n } 是单调递增数列,所以 a 2 > a1 , a 2 > 2 . 21.解: 令 n = 1 , 2a1 ≥ a 2 , a 2 ≤ 4 ,所以 a 2 ∈ (2, 4] . (Ⅱ)证明:数列 {a n } 不能为等比数列.用反证法证明: 假设数列 {a n } 是公比为 q 的等比数列, a1 = 2 > 0 , a n = 2q n ?1 . 因为 {a n } 单调递增,所以 q > 1 . 因为 n ∈ N* , ( n + 1) a n ≥ na 2 n 都成立.所以 n ∈ N* , 1 + 因为 q > 1 ,所以 ?n 0 ∈ N* ,使得当 n ≥ n0 时, q n > 2 . 因为 1 + 成立. ………………9 分 (Ⅲ) 证明: 观察: b1 = c1 = 3 , 2 = b 用数学归纳法证明: (1)当 n = 1 时, b1 = 3 ≤ c1 = 3 成立; (2)假设当 n = k 时, bk ≤ ck 成立; 那么当 n = k + 1 时, ………………4 分

1 ≥ qn n



1 1 ≤ 2 (n ∈ N* ) .所以 ?n 0 ∈ N* ,当 n ≥ n0 时, q n > 1 + ,与①矛盾,故假设不 n n

15 9 135 21 …, b < c2 = , 3 = b < c3 = , 猜想: n ≤ c n . 4 2 32 4

bk +1 = bk (1 +

1 2
k +1

) ≤ c k (1 +

1 2
k +1

) = 6(1 ?

1 1 ) (1 + k +1 ) k 2 2

第 10 页



= 6(1 +

1 2
k +1

?

1 1 1 1 1 ? 2 k +1 ) = 6(1 ? k +1 ? 2 k +1 ) < 6(1 ? k +1 ) k 2 2 2 2 2

所以 bk +1 ≤ c k +1 . 根据(1) (2)可知,对任意 n ∈ N* ,都有 bn ≤ c n ,即 bn ? c n ≤ 0 . 由已知得, a 2 n ≤ (1 + 所以当 n ≥ 2 时, a

1 1 1 1 )a n .所以 a n ≤ (1 + n ?1 )a n ?1 ≤ L ≤ (1 + n ?1 ) L (1 + )(1 + 1)a1 . 2 2 n 2 2 2 ≤ 2bn ?1 ≤ 2c n ?1 = 12(1 ?
*

1 2 n ?1

2n

) < 12 .

因为 a 2 < a 4 < 12 .所以对任意 n ∈ N , a

2n

< 12 .

对任意 n ∈ N* ,存在 m ∈ N* ,使得 n < 2 m , 因为数列{ a n }单调递增,所以 a n < a 因为 bn ? c n ≤ 0 ,所以
2m

< 12 , a n ? 12 < 0 .
………………14 分

bn ? c n ≥ 0. a n ? 12

第 11 页



更多相关文章:
广东省2012届高三全真模拟卷数学理18._图文
广东省2012届高三全真模拟卷数学理18._数学_高中教育_教育专区。广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 18 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 ...
广东省2012届高三全真模拟卷数学理科18
广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 18 一、 选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合...
广东省2012届高三全真模拟卷数学理科18
广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 18 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的...
广东省2012届高三全真模拟卷数学理12._图文
广东省2012届高三全真模拟卷数学理12._数学_高中教育_教育专区。广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 12 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 ...
广东省2012届高三全真模拟卷数学理13.
广东省2012届高三全真模拟卷数学理13._数学_高中教育_教育专区。广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 13 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 ...
广东省2012届高三全真模拟卷数学理科18
广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 18 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的...
广东省2012届高三全真模拟卷数学理科18
广东省2012届高三全真模拟卷数学理科18_专业资料。广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 18 一、 选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 满分 40 分....
广东省2012届高三全真模拟卷数学理科18
广东省2012届高三全真模拟卷数学理科18_专业资料。广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 18 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小...
广东省2012届高三数学(理科)全真模拟卷2
广东省2012届高三数学(理科)全真模拟卷2_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 2 一、选择题:本大题共 8 小题,每小...
广东省2012届高三数学(理科)全真模拟卷9
广东省2012届高三数学(理科)全真模拟卷9_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 9 一、选择题:本大题共 8 小题,每小...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图