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4.6两角和与差的正弦、余弦、正切公式



两角和与差的三角函数

学习目标:
1、两角和、差余弦公式的推导过程

2、两角和、差余弦和正弦公式的简单运用

Y
P3
P2

α+β

o

α

P1


P4

/>
X

两角和的余弦公式
COS(? +?)=COS ? COS ?–Sin ? Sin ?

两角和的余弦公式

Cα+β

COS(? +?)=COS ? COS ?–Sin ? Sin ? 在上式中,若将β替换成-β,则可得:
COS(? -(-?))=COS ? COS (-?)+sin ?sin(-?)

即:

两角差的余弦公式

Cα-β

两角和的正弦公式
?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?

?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ?? ?2 ?

?? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ? ?? ? ?? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?

? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

S ? ? ? ? ? : sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

两角差的正弦公式
S ? ? ? ? ? : sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
用 ? ? 代替 ? 得到

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos( ? ? ) ? cos ? sin( ? ? )

S ? ? ? ? ? : sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

两角和的正切公式
tan ( α ? β ) ? sin ( α ? β ) co s( α ? β )

Tα+β
(这 里 有 什 么 要 求 ? )

?

sin α cos β ? cos α sin β 提问:能否化简? cos α cos β ? sin α sin β
sin α cos β cos α cos β cos α cos β cos α cos β ? ? cos α sin β cos α cos β sin α sin β cos α cos β

?

(又有什么要求?)

?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

两角差的正切公式

Tα-β

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

公式成立的条件是: α ? β ? kπ ? ,α ? kπ ? , β ? kπ ? 2 2 2

π

π

π

co 例1.利用差角余弦公式求 s 1 5°的值

分析: cos15 ? cos ? 45 ? 30
? ?

cos15 ? cos ? 60
?

?

? ? 45 ?
?
?

COS15°=COS(45°-30°) = COS45°COS30°+sin45°sin30°
√2 √3 √2

1

2

2

2 2

√6 + √2 4

例2、

已知 sin ? ?

?? ,? ? ? ,? 5 ? 2 3

5 3 ? ? ? , cos ? ? ? , ? ? ? ? , ? ?, ? 13 2 ? ? ?

求 cos( ? ? ? )的值 .

?? ? sin ? ? , ? ? ? ,? 5 ? 2 3 5

4 ? ? ,? cos ? ? ? 5 ?

3 12 ? ? ? cos ? ? ? , ? ? ? ? , ? ? ,? sin ? ? ? 13 2 13 ? ? ? cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

3 . 已 知 一 元 二 次 方 程 a x ? b x ? c ? 0 ? a ? 0且 a ? c ?
2

的 两 个 根 为 tan α , tan β , 求 tan ? α ? β ? 的 值 .
解:由 a ? 0 和一元二次方程根与系 数的关系,可知

b ? ? tan ? ? tan ? ? ? a , ? ? ? tan ? tan ? ? c , ? a ?
tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

且 a ? c , 所以
? ? 1? b a ? ? b ? b c a?c c?a a

小结:
以-β 代β
S(α +β )



?
2

? ?代?

S(α -β ) C(α -β ) 相 除 T(α -β )

C(α +β )
相 除

以-β 代β
以-β 代β

T(α +β )



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