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高一数学必修4三角函数重点题型复习题及解析2013、3


高一数学必修 4 三角函数重点题型复习题及解析(2013、3)
一.选择题 1. cos ? ? ? A ?

3 12 ?? ? , ? ? ? , ? ? , sin ? ? ? , ? 是第三象限角,则 cos(? ? ? ) ? (A ) 5 13 ?2 ?
B

33 65

63 65

C

56 65

D ?

16 65
( B )

2. x ? ( ? A ?

3? ? 3 ?? ? , ) 且 cos ? ? x ? ? ? 则 cos2x 的值是 4 4 5 ?4 ? 7 25
B ?

24 25

C

24 25

D

7 25
( C )

3. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于

4 ,则这个三角形底角的正弦值为 5
C

A

10 10

B

?

10 10

3 10 10

D

?

3 10 10


4.若 ? 是△ ABC 的一个内角,且 sin ? cos ? ? ? A. ?

1 ,则 sin ? ? cos ? 的值为( D 8
D. )

3 2

B.

3 2

C. ?

5 2

5 2

5.函数 y ? sin(

?
3

? 2 x ) 的单调递减区间是( D

A. ?? k? ?

? ?

?
6

,?k? ?

2? ? k ? Z; 3 ? ?

B. ?2k? ?

? ?

?
12

,2k? ?

5? ? k ? Z; 12 ? ?

C. ?k? ? 6.若 f ( x ) cos A. sin

? ?

?
6

, k? ?

??

k ? Z; 3? ?

D. ?k? ?

? ?

?
12

, k? ?

5? ? k ? Z; 12 ? ?

?x
2

是周期为 2 的奇函数,则 f(x)可以是 A B. cos

?x
2

?x 2

C.sinπx

D.cosπx

7.设 △ ABC 中, cos A ? A.

56 65

3 5 , sin B ? , 则 cos C 的值为 B 5 13 16 16 56 16 B. ? C. D. 或? 65 65 65 65
6 2

8.已知 ? , ? 均为锐角, sin ? ? cos ? ? 6 , sin ? ? cos? ? 2 ,则 cos(? ? ? ) 的值是 D

2 A. 3

5 B. ? 3

C.

5 3

D. ? 3

5

9. 设 A、B 是△ABC 的内角,并且 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ,则 A+B 等于 A A.
π 4

B.

3π 4

C.

5π 4

D.kπ + )

π (k∈Z) 4

10. 下列各式中值等于

1 的是( A 2

A、

tan 22.5 1 ? tan 2 22.5?

?

B、 sin15? cos15?

C、 cos

2

?
12

? sin 2

?
12

1 ? cos
D、

?
3

2

11. 若点 P(sin ? ? cos ? , tan ? ) 在第一象限,则在 [0, 2? ) 内 ? 的取值范围是( B )

5? ) 2 4 4 ? 3? 5? 3? )?( , ) C. ( , 2 4 4 2 3 ? cos 20 ? 12. =( C ) 2 ? cos 2 10 ?
A. (

? 3?
,

) ? (? ,

5? , ) ? (? , ) 4 2 4 ? 3? 3? ) ? ( ,? ) D. ( , 2 4 4
B. (

? ?

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.

3 2

13.已知 sinα +sinβ +sinγ =0,cosα +cosβ -cosγ =0,则 cos(α -β )的值 是 A.-1 B.1 1 C.-2 1 D.2

10 1 14.已知 sin(α -β )= 10 ,α -β 是第一象限角,tanβ =2,β 是第三象限角, 则 cosα 的值等于 7 2 A. 10 7 2 B.- 10 2 C. 2 2 D.- 2

14. 要得到函数 y ? 2sin 2 x 的图像,只需将 y ? 3 sin 2x ? cos2x 的图像(D )

? ? 个单位 B、向右平移 个单位 12 6 ? ? C、向左平移 个单位 D、向左平移 个单位 12 6 x ? x 15.要得到函数 y=cos( ? )的图象,只需将 y=sin 的图象 2 4 2 ? ? A.向左平移 个单位 B.同右平移 个单位 2 2
A、向右平移

( A



C.向左平移

16.在 0 ? x ? 2? 范围内,方程 cos 2 x ? cos x(sin x? | sin x | )的解的个数是( D A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 B )

? 个单位 4

D.向右平移

? 个单位 4



17. 若 x 是一个三角形的最小内角,则函数 y ? sin x ? cos x 的值域是( A [? 2, 2] B (?1,

3 ?1 ] 2

C [?1,

3 ?1 ] 2

D (?1,

3 ?1 ) 2
)

18. 在 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B ,则 C 等于( A A

? 3
? 3

B

2? 3
? 3

C

? 6

D

? 4

19.已知 f ( x) ? sin[ ( x ? 1)] ? 3 cos[ ( x ? 1)] ,则 f (1)+f (2)+??+f (2005)+f (2006)=( A ) A. 2 3 B. 3 C.1 D.0

20.若函数 f (x)=sinax+cosax(a>0)的最小正周期为 1,则它的图像的一个对称中心为( C )

? B.(0,0) ,0) 8 ? ? ? ? 21. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ?
A. (? A
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C.( ?

1 ,0 ) 8
) D
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D. ( ,0)

1 8

( B C
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?

1 2

B

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?

3 2

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3 2

22. 若

cos 2?

sin(? ? ) 4
A .?
1 2

?

??

2 ,则 log 2 (sin ? ? cos? ) 的值为( C ) 2

B.1

2

C . ?2

D .2

cos 2 ? ? sin 2 ? 1 2 ,∴ sin ? ? cos ? ? . ? 2(cos ? ? sin ? ) ? ? ? 2 2 2 sin(? ? ) (sin ? ? cos ? ) 4 2 1 log 2 (sin ? ? cos ? ) ? log 2 ? ?2 . 2 ?
24. 已 知 函 数 f (x) 对 任 意 实 数

cos 2?

x 均 有 f (? x) ? ? f ( x), f (? ? x) ? f ( x) 成 立 , 当
)

? ?? ?3 ? x ? ?0, ? 时, f ( x) ? cos x ? 1 .则当 x ? ? ? ,2? ? 时, 函数 f (x) 的表达式为( D ? 2? ?2 ?
A. cos x ? 1 B. cos x ? 1 C. ? cos x ? 1 D. ? cos x ? 1

25. f ?x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在 ?? 1,0? 上为增函数, ? , ? 是锐角三角形的两个内 角,则( B )

A .

f ?cos ? ? ? f ?cos ? ?

B .

f ?cos ? ? ? f ?sin ? ?

C .

f ?sin ? ? ? f ?sin ? ?

D. f ?sin? ? ? f ?cos ? ? 26.已知函数 f ( x) ? f (? ? x), 且当 x ? (?

? ?

, )时, f ( x) ? x ? sin x, 设a ? f (1), 2 2

b ? f (2), c ? f (3) ,则( A
A.c<a<b 二.填空题 27. 下面有四个命题: (1) 函数 y ? sin ? B.b<c<a

) C.c<b<a D.a<b<c

?? ?2 x ? ? 是偶函数 2? ?3
? ?

(2) 函数 f ? x ? ?| 2cos x ?1| 的最小正周期是 ? ;
2

(3)函数 f ? x ? ? sin ? x ?

??

? ? ?? ? 在 ? ? , ? 上是增函数; 4 ? ? 2 2?

(4)函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x 的图像的一条对称轴为直线 x ? 正确命题的序号是 ①④ 。

?
4

,则 a ? b ? 0 ,其中

28.北京市标志性建筑之一的北京朝阳公园“朝天轮”是迄今为止世界 上最大的摩天轮.已知在“朝天轮”上一点 P 从最低点随轮运动的过程中, 点 P 离地面的高度 h(单位:m)随时间 t(单位:min)的变化满足函数:

h(t ) ? ?100 cos

?
10

t ? 110 ,则

①“朝天轮”运行一周需要 20 min ②“朝天轮”的最低点距地面 110 m ③“朝天轮”的直径为 100 m ④“朝天轮”的最高点距地面 210 m 以上关于“朝天轮”的说法正确的有 . (填序号)

O

h(t) H
地面

三.解答题 1. 化简 [2 sin 500 ? sin 100 (1 ? 3 tan100 )] 1 ? cos200 解:原式=

[2 sin 500 ? sin 100 (1 ? 3

sin 100 )] 2 cos2 100 cos100 cos100 ? 3 sin 100 ? [2 sin 500 ? sin 100 ? ] ? 2 cos100 0 cos10 2 sin 400 ? 2[2 sin 500 ? sin 100 ? ] ? cos100 0 cos10 0 0 ? 2[2 sin 50 cos10 ? 2 sin 100 sin 400 ] ? 2 2[cos400 cos100 ? sin 400 sin 100 ] ? 2 2 cos(400 ?100 ) ? 2 2 ? cos300 ? 6

2.已知 cos(x ?

?
4

)?

2 ? 3? ,x?( , ) 10 2 4
(2)求 sin( 2 x ?

(1)求 sin x 的值;

?
3

) 的值.

解: (1)? x ? (

? 3?
2 , 4

)?x ? )?

?

? ? ? ? 7 2 ? ( , )于是sin(x ? ) ? 1 ? cos2 ( x ? ) ? 4 4 2 4 4 10
?
4 ) cos

sin x ? sin[( x ?
(2)? x ? (

?
4

?
4

] ? sin( x ?

?
4

? cos( x ?

?
4

) sin

?
4

sin

?
4

?

4 5

? 3?
2 ,

4 3 ) ,故 cos x ? ? 1 ? sin 2 x ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? 4 5 5

24 7 cos 2 x ? 2 cos2 x ? 1 ? ? 25 25 ? ? ? ? 24 ? 7 3 ? sin(2 x ? ) ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? ??? 9分 3 3 3 50 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? ?
3、已知 sin ? ? cos ? ?

7 ? ,且 0 ? ? ? . 5 4

(Ⅰ)求 sin ? cos ? 、sin ? ? cos ? 的值; 解(1)∵ sin ? ? cos ? ?

sin 3 ? sin ? ? cos3 ? ? (Ⅱ)求 的值. 1 ? tan ? sin ? ? cos ?
49 25
∴ sin ? cos ? =

7 5

两边平方得 1+2 sin ? cos ? =

12 25

2 ∵ (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ?

1 25

又∵ 0 ? ? ?

?
4

∴ sin ? ? cos ? = ?

1 5

(2)

sin 3 ? sin ? ? cos3 ? 12 ? = sin ? cos ? ( sin ? ? cos ? )= ? 125 1 ? tan ? sin ? ? cos ?
?
4 ?? ? 3? 3 3? 5 ? ? , 0<β < , cos( -α )= , sin( +β )= , 求 sin(α +β ) 4 5 4 13 4 4

4、已知 的值. 解:∵

3? ? ? ? +β -( -α )= +(α +β ),∴ sin(α +β )=-cos[ +(α +β )] 4 4 2 2
3? 3? 3? ? ? ? +β )-( -α )]=-[cos( +β )cos( -α )+sin( +β )sin( - 4 4 4 4 4 4

=-cos[( α )] ∵

3? ? <α < 4 4

? ?

3? ? ? ? <-α < ? ? ? < -α <0, 4 4 2 4

3? 3? ? ? ? < +β <π . ∴ sin( - 4 4 4 4 ? 3 4 α )= ? 1 ? cos 2 ( ? ? ) = ? 1 ? ( ) 2 = ? , 4 5 5

0<β <

cos(

3? 5 3? 12 +β )= ? 1 ? sin 2 ( ? ? ) = ? 1 ? ( )2 = ? . 4 13 4 13

由(1)得: sin(α +β )=-[ ?

4 12 3 5 56 × + ×( ? )]= . 5 13 5 13 65

2 5、已知 ?、? ? ?0, ? ? ,且 tan?、 ? 是方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根. tan

①求 ? ? ? 的值.

②求 cos?? ? ? ? 的值.

解析:①. 由根与系数的关系得:

?tan? ? tan ? ? 5? (1) ? ?tan? tan ? ? 6? (2) tan? ? tan ? ? tan( ? ? ) ? ? 1 ? tan? tan ?

?tan? ? tan ? ? 5? (1) ? ?tan? tan ? ? 6? (2) tan? ? tan ? 5 5 ? ? tan( ? ? ) ? ? ? ?1. ? ? ?1. 1 ? tan? tan ? 1 ? 6 1? 6
?

又 t an? ? 0, t an ? ? 0, 且? , ? ? (0, ? ),? ? , ? ? (0, ),? ? ? ? (0, ? ), 2 3? 所以? ? ? ? . 4

②. 由(1)得 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

2 ?(3) 2

? 3 2 ?sin ? sin ? ? ? 5 由(2)得 sin ? sin ? ? 6 cos? cos ? ? (4)联立(3)(4)得? ?cos? cos ? ? 2 ? 10 ?

? cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin ? sin ? ?

7 2 10

6、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0,0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,且最 大值与最小值间的横坐标最小距离为 ? ,其图像经过点 M ? , ? . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)设 f (? ) ?

?π 1? ? 3 2?

2 5 ? 10 ? ? , f (? ? ) ? ? , ? ? (0, ), ? ?(0, ) ,求角 ? ? ? 的大小. 5 2 10 2 2

解 : 1 ) 依 题 意 有 A ?1 , 最 大 值 与 最 小 值 间 的 横 坐 标 最 小 距 离 为 (

T ? 1 ? 1 ? ? , T ? 2? , ? ? 1 ,则 f ( x) ? sin(x ? ? ),将点 M ( , ) 代入得 sin( ? ? ) ? ,而 2 3 2 3 2 ? 5 ? ? 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2

?

,则

(2) f (? ) ? cos ? ?

2 5 ? 10 10 , f ( ? ? ) ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? , 5 2 10 10

? ? 5 3 10 ? ? (0, ), ? ? (0, ) ?sin ? ? , ?? cos ,
2 2 5 10 ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

? ? ? ? (0, ? ), ?? ? ? ?
7.已知 tan ? 和 tan(

?
4

.

?
4

? ? ) 是关于 x 的一元二次方程 x2 ? kx ? 2k ? 5 ? 0 的两个跟,其中

? ? (0, )
2
(1)求 k 的值及方程的两个跟:

?

5sin 2
(2)求

?
2

? 8sin

?
2

? cos

?
2

? 11cos 2

?
2

?8
的值。

2 sin(? ? ) 4

?

20.如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为

形的内接矩形.记 ?COP ? ? ,求当角 ? 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出 这个最大面积. 解:在 Rt?OBC 中, OB ? cos? , BC ? sin ? ,

? 的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇 3

DA ? tan60? ? 3, OA 3 3 3 所以OA ? DA ? BC ? sin ? , 3 3 3 3 所以AB ? OB ? OA ? cos? ? sin ? . 3 在Rt?OAD中,
设矩形 ABCD 的面积为 S,则

?? 2分

S ? AB ? BC ? ( c o? ? s

3 3 2 s i n )s i n ? s i n c o ? ? ? ? ? s si n? 3 3

? (

1 3 1 3 3 1 sin? ? 2 (1 ? c o 2? ) ? s i n ? ? s 2 c o 2? ? s ? 2 6 2 6 6 3

3 1 3 1 ? 3 s i n ? ? c o 2? ) ? 2 s ? s i n2( ? ) ? ? . ??? 5分 2 2 6 6 6 3 ? ? ? 5? . 由 0 ? ? ? , 得 ? 2? ? ? 3 6 6 6 ? ? 所以当 2? ? ? , 6 2
即? ?

?
6

时, S 最大 ?

1 3

?

3 3 ? . 6 6

????????8 分

因此,当 ? ?

?
6

时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为

3 . 6


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