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2.4.2 基本不等式及其应用 【杨高】



第二章 不等式

2.4.1 基本不等式及其应用

2.4.2 基本不等式及其应用

思考 已知正数 a , b ,满足 a b ? 1
a ? b 是否存在最大值或最小值?

已知正数 a , b ,满足 a ? b ? 1
a b 是否存在最大值或最小值?

/>回顾 基本不等式II 对于任意正数 a , b ,成立
a?b 2 ? ab

当且仅当 a ? b 时,等号成立.

例1.利用基本不等式II求最值:
?

(1)已知 a , b ? R ,且 a ? b ? 2 ,求 a b 的最大值;

(2)已知 a , b ? R ? ,且 ab ? 4 ,求 a ? b 的最小值;
解: (1) a , b ? R 且 a b ? (
?

a?b 2

) ?1
2

( 当且仅当 a ? b ? 1 时,a b ) m ax ? 1

(2) a , b ? R 且 a ? b ? 2 ab ? 4
( 当且仅当 a ? b ? 2 时 ,a ? b ) m in ? 4

?

基本不等式II与最值
已知 a ? 0, b ? 0 , 且 ab ? S (定值)
a 当 a ? b 时, ? b 最小,且 ( a ? b ) m in ? 2 S

已知 a ? 0, b ? 0 , 且 a ? b ? C (定值)
a 当 a ? b 时, b 最大,且 ( a b ) m ax ?
C 4
2

思考 下列所求最值是否正确?
(x ? 1 x ) m in ? 2
[ x ?2 ?
2

1 x ?2
2

] m in ? 2

例1.利用基本不等式II求最值: (3)已知 0 ? x ? 1 ,求 x (1 ? x ) 的最大值; (4)已知 x ? 0 ,求 x ? 解: (3) x ,1 ? x ? 0 且
2 x x (1 ? x ) ?

的最小值.
x ?1? x 2 ? 1 2 1 2

当且仅当 x ? 1 ? x ,即 x ? (4) x ,
2 x ? 0 且 x? 2 x
2 x ? 2 2

1 2

时 [ x (1 ? x ) ] m ax ?

当且仅当 x ?

,即 x ?

2 时( x ?

2 x

) m in ? 2 2

思考 下列所求最值是否正确?
已知 0 ? x ?
1 2 , x (1 ? 2 x ) ? x ? (1 ? 2 x ) 2

当且仅当 x ? 1 ? 2 x ,即 x ?
因此 [ x (1 ? 2 x ) ] m ax ?
2 2 ? 2 x (1 ? 2 x ) ? 2 2

1 3

时,等号成立,

1 3
? 2x ?1? 2x 2 1

?

2 4

当且仅当 2 x ? 1 ? 2 x ,即 x ?

4

时,等号成立.

基本不等式II与最值
已知 a ? 0 , b ? 0 , 且 ab ? S (定值)
a 当 a ? b 时, ? b 最小,且 ( a ? b ) m in ? 2 S

已知 a ? 0 , b ? 0 , 且 a ? b ? C (定值)
a 当 a ? b 时, b 最大,且 ( a b ) m ax ?
C 4
2

利用基本不等式II求最值需要满足:
①“正” ②“定” ③“相等”

例2. 利用基本不等式II求最值:
(1)已知 0 ? x ?
1 3

,求 x (1 ? 3 x ) 的最大值;
1 x?2

(2)已知 x ? 2 ,求 x ?

的最小值;

(3)已知 a , b ? R ? ,且 2 a ? 3 b ? 1 ,求 a b 的最大值;

例2. 利用基本不等式II求最值:
(1)已知 0 ? x ?
1 3

,求 x (1 ? 3 x ) 的最大值;
3 3 ? 3 x (1 ? 3 x )

解: (1)

x (1 ? 3 x ) ?

3 3x ? 1 ? 3x 3 ? ? ? 3 2 6 1 当且仅当 3 x ? 1 ? 3 x ,即 x ? 时,等号成立 6

因此 [ x (1 ? 3 x ) ] m ax ?

3 6

例2. 利用基本不等式II求最值:
(2)已知 x ? 2 ,求 x ?
1 x?2 1 1 解: (2) x ? ? x?2? ?2 x?2 x?2
? 2 ( x ? 2) ? ( 1 x?2

的最小值;

)?2 ? 4

当且仅当 x ? 2 ? 因此 ( x ?
1 x?2

1 x?2

,即 x ? 3 时,等号成立

) m in ? 4

例2. 利用基本不等式II求最值:
?

(3)已知 a , b ? R ,且 2 a ? 3 b ? 1 ,求 a b 的最大值;

解: (3) a b ?

1 6

( 2 a ) ? (3b ) ?

1 6

?(

2 a ? 3b 2

)

2

?

1 24

当且仅当 2 a ? 3 b ?

1 2

,即 a ?
1 24

1 4

,b ?

1 6

时,

等号成立,因此 ( a b ) m ax ?

解毕

(选用)例3. 利用基本不等式II求最值: (1)已知 ?
1 2 ? x? 1 3
x ?x?2
2

,求 ( 2 x ? 1)(1 ? 3 x ) 的最大值; 的最小值.
2 2

(2)已知 x ? 1 ,求
?

x ?1

(3)已知 a , b ? R 且 a ? b ? 1 ,求 a ? b 的最小值; (4)已知 x , y ? 0 且 x ? y ? 1 ,求
1 x ? 1 y

的最小值.

(选用)例3. 利用基本不等式II求最值: (1)已知 ?
1 2 ? x? 1 3
1 6 1 25 1 (6 x ? 3) ? ( 2 ? 6 x ) 2 (x ? ? ) [ ] ? 12 24 6 2 ? [( 2 x ? 1)(1 ? 3 x )] m ax ? 25 24 (6 x ? 3)( 2 ? 6 x ) ?

,求 ( 2 x ? 1)(1 ? 3 x ) 的最大值;

解: (1) ( 2 x ? 1)(1 ? 3 x ) ?

(选用)例3. 利用基本不等式II求最值: (2)已知 x ? 1 ,求 解: (2)
x ?x?2
2

x ?x?2
2

x ?1 2

的最小值.
2 x ?1 ?1

x ?1 x ?1 2 ? x ? 1 ? 0, ?0 x ?1 2 ? x ?1? ? 1 ? 2 2 ? 1 (x ? 1? x ?1 2 x ?x?2 ?( ) m in ? 2 2 ? 1 x ?1

? x?

? x ?1?

2)

(选用)例3. 利用基本不等式II求最值: (3)已知 a , b ? R ? 且 a ? b ? 1 ,求 a 2 ? b 2 的最小值;

解: (3) ? a b ? (
2 2

a?b 2

) ?
2

1 4

? a ? b ? ( a ? b ) ? 2 ab ?
2

1 2

(a ? b ?

1 2

)

? ( a ? b ) m in ?
2 2

1 2

(选用)例3. 利用基本不等式II求最值: (4)已知 x , y ? 0 且 x ? y ? 1 ,求 解: (4) ? xy ? (
? 1 x ?( 1 x ? ? 1 y 1 y ?
x? y 2 ) ?
2

1 x

?

1 y

的最小值.

1 4

且 xy ? 0
1 2 )

x? y xy

?

1 xy

? 4 (x ? y ?

) m in ? 4

解毕



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