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2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数的奇偶性及周期性(含解析)


2016 届高考数学一轮复习教学案 函数的奇偶性及周期性

[知识能否忆起] 一、函数的奇偶性 奇偶性 定 义 图象特点

偶函数

如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x), 那么函数 f(x)是奇函数

关于 y 轴对称

奇函数

关于原点对称

二、周期性 1.周期函数 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有

f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期.
2.最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期. [小题能否全取] 1.(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是( A.y=sin x C.y=ex B.y=x3 D.y=ln )

x2+1

解析:选 D 四个选项中的函数的定义域都是 R.y=sin x 为奇函数.幂函数 y=x3 也为

奇函数. 指数函数 y=ex 为非奇非偶函数. 令 f(x)=ln =ln

x2+1, 得 f(-x)=ln

-x

2+1

x2+1=f(x).所以 y=ln x2+1为偶函数.
2.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( 1 A.- 3 1 C. 2 1 B. 3 1 D.- 2 )

解析:选 B ∵f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 1 ∴a-1+2a=0,∴a= .又 f(-x)=f(x), 3 1 ∴b=0,∴a+b= . 3 3. (教材习题改编)已知定义在 R 上的奇函数 f(x), 满足 f(x+4)=f(x), 则 f(8)的值为( A.-1 C.1 B.0 D.2 )

解析:选 B ∵f(x)为奇函数且 f(x+4)=f(x), ∴f(0)=0,T=4. ∴f(8)=f(0)=0. 4.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析:法一:∵f(-x)=f(x)对于 x∈R 恒成立,∴|-x+a|=|x+a|对于 x∈R 恒成立,两 边平方整理得 ax=0,对于 x∈R 恒成立,故 a=0. 法二:由 f(-1)=f(1), 得|a-1|=|a+1|,故 a=0. 答案:0 5.(2011·广东高考)设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 解析:观察可知,y=x3cos x 为奇函数,且 f(a)=a3cos a+1=11,故 a3cos a=10. 则 f(-a)=-a3cos a+1=-10+1=-9.

答案:-9

1.奇、偶函数的有关性质: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件; (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反之亦然; (3)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0; (4)利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数在原点两侧的对称区间上的单调 性相同; 利用偶函数的图象关于 y 轴对称可知, 偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相 反. 2.若函数满足 f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知 T 是函数的一个周期;应 注意 nT(n∈Z 且 n≠0)也是函数的周期.

函数奇偶性的判断

典题导入

?1,x∈Q, ex-1 ? [例 1] (2012·福州质检)设 Q 为有理数集, 函数 f(x)=? g(x)= x , e +1 ? ?-1,x∈?RQ,
则函数 h(x)=f(x)·g(x)( )

A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数也是偶函数

D.既不是偶函数也不是奇函数 [自主解答] ∵当 x∈Q 时,-x∈Q,∴f(-x)=f(x)=1;当 x∈?RQ 时,-x∈?RQ,∴

f(-x)=f(x)=-1.综上,对任意 x∈R,都有 f(-x)=f(x),故函数 f(x)为偶函数.∵g(-x)
= e-x-1 e-x+1 = 1-ex 1+ex =- ex-1 1+ex =- g(x) ,∴函数 g(x) 为奇函数.∴ h( - x) = f( - x)·g( - x) = e-1 , e+1

f(x)·[-g(x)]=-f(x)g(x)=-h(x), ∴函数 h(x)=f(x)·g(x)是奇函数. ∴h(1)=f(1)·g(1)=
e-1-1 1-e h(-1)=f(-1)·g(-1)=1× -1 = ,h(-1)≠h(1),∴函数 h(x)不是偶函数. e +1 1+e [答案] A 由题悟法 利用定义判断函数奇偶性的方法

(1)首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件; (2)如果函数的定义域关于原点对称, 可进一步判断 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是否对 定义域内的每一个 x 恒成立(恒成立要给予证明,否则要举出反例). [注意] 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(-x)与 f(x)的关系, 只有对各段上的 x 都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.

以题试法 1.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 1-x2+

x2-1;

(2)f(x)=3x-3-x; 4-x2 (3)f(x)= ; |x+3|-3

x +2,x>0, ? ? (4)f(x)=?0,x=0, ? ?-x -2,x<0.
2 2

? ?x2-1≥0, 解:(1)∵由? 得 x=±1, ?1-x2≥0, ?
∴f(x)的定义域为{-1,1}. 又 f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, 即 f(x)=±f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)∵f(x)的定义域为 R, ∴f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x), 所以 f(x)为奇函数.

? ?4-x2≥0, (3)∵由? 得-2≤x≤2 且 x≠0. ?|x+3|-3≠0, ?
∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2], ∴f(x)= = |x+3|-3 4-x2 4-x2 = -3 4-x2 ,

x+

x

∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. (4)f(x)的定义域为 R,关于原点对称,当 x>0 时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-

f(x);
当 x<0 时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当 x=0 时,f(0)=0,也满足 f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数.

函数奇偶性的应用

典题导入 [例 2] (1)(2012·上海高考)已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2, 则 g(-1)=________. (2)(2012·烟台调研 ) 设偶函数 f(x) 在 (0 ,+∞)上为减函数,且 f(2) = 0 ,则不等式

f x +f -x x

>0 的解集为(

) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2)

A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

[自主解答] (1)∵y=f(x)+x2 是奇函数,且 x=1 时,y=2,∴当 x=-1 时,y=-2, 即 f(-1)+(-1)2=-2, 得 f(-1)=-3,所以 g(-1)=f(-1)+2=-1. (2)∵f(x)为偶函数, ∴

f x +f -x x



2f x

x

>0.

∴xf(x)>0.

∴?

? ?x>0, ?f x ?

或?

? ?x<0, ?f x ?

又 f(-2)=f(2)=0,f(x)在(0,+∞)上为减函数, 故 x∈(0,2)或 x∈(-∞,-2). [答案] (1)-1 (2)B

本例(2)的条件不变,若 n≥2 且 n∈N*,试比较 f(-n),f(1-n),f(n-1),f(n+1)的 大小. 解:∵f(x)为偶函数,所以 f(-n)=f(n),

f(1-n)=f(n-1).
又∵函数 y=f(x)在(0,+∞)为减函数,且 0<n-1<n<n+1, ∴f(n+1)<f(n)<f(n-1). ∴f(n+1)<f(-n)<f(n-1)=f(1-n).

由题悟法 函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式. 利用奇偶性构造关于 f(x)的方程,从而可得 f(x)的解析式. (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数. 常常采用待定系数法:利用 f(x)±f(-x)=0 产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可 得知字母的值. (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函 数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 以题试法

?x2+x,x≤0, ? 2. (1)(2012·徐州模拟)已知函数 f(x)=? 为奇函数, 则 a+b=________. ? ?ax2+bx,x>0
(2)已知定义在 R 上的奇函数满足 f(x)=x2+2x(x≥0),若 f(3-a2)>f(2a),则实数 a 的 取值范围是________. 解析:(1)当 x<0 时,则-x>0, 所以 f(x)=x2+x,f(-x)=ax2-bx, 而 f(-x)=-f(x), 即-x2-x=ax2-bx, 所以 a=-1,b=1,故 a+b=0. (2)因为 f(x)=x2+2x 在[0,+∞)上是增函数,又因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以函数

f(x)是 R 上的增函数,要使 f(3-a2)>f(2a),只需 3-a2>2a,解得-3<a<1.
答案:(1)0 (2)(-3,1)

函数的周期性及其应用

典题导入 [例 3] (2012·浙江高考)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数, 当 x∈[0,1]时,

f(x)=x+1,则 f? ?=________.

?3? ?2?

?3? ? 1? ?1? 1 3 [自主解答] 依题意得,f(2+x)=f(x),f(-x)=f(x),则 f? ?=f?- ?=f? ?= +1= . 2 ?2? ? 2? ?2? 2
[答案] 3 2 由题悟法 1.周期性常用的结论: 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; (2)若 f(x+a)= 1 ,则 T=2a; 1

f x

(3)若 f(x+a)=-

f x

,则 T=2a.

2.周期性与奇偶性相结合的综合问题中,周期性起到转换自变量值的作用,奇偶性起 到调节符号作用. 以题试法 3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2] 时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式. 解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. 又∵f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

1.下列函数中,既是奇函数又是减函数的是( A.y=-x3 C.y=x 答案:A B.y=sin x

)

?1? D.y=? ?x ?2?

? 5? 2. (2012·考感统考)设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时, f(x)=2x(1-x), 则 f?- ? ? 2?
=( ) 1 A.- 2 1 C. 4 1 B.- 4 1 D. 2

? 1 ? 1?? ? 5? ?5? ?5 ? ?1? 1 解析:选 A 由题意得 f?- ?=-f? ?=-f? -2?=-f? ?=-?2× ×?1- ??=- . 2 ? 2? ?2? ?2 ? ?2? ? 2 ? 2??
3.(2012·北京海淀区期末)已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( )

A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0) 解析:选 C 将 函 数 f(x) = x|x| - 2x 去 掉 绝 对 值 得 f(x) =

? ?x2-2x,x≥0, ? 画出函数 f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数 ?-x2-2x,x<0, ?
f(x)的图象关于原点对称,故函数 f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.

? ?-x2+x,x>0, 4. (2013·吉林模拟)已知函数 f(x)=|x+a|-|x-a|(a≠0), h(x)=? ?x2+x,x≤0, ?
f(x),h(x)的奇偶性依次为(
A.偶函数,奇函数 C.偶函数,偶函数 ) B.奇函数,偶函数 D.奇函数,奇函数



解析:选 D f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-f(x),故 f(x)为奇函数. 画出 h(x)的图象可观察到它关于原点对称或当 x>0 时,-x<0,则 h(-x)=x2-x=- (-x2+x)=-h(x),当 x<0 时-x>0,则 h(-x)=-x2-x=-(x2+x)=-h(x).

x=0 时,h(0)=0,故 h(x)为奇函数.
5.(2013·杭州月考)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+

m(m 为常数),则 f(-1)的值为(
A.-3 C.1

) B.-1 D.3

解析:选 A 函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 则 f(0)=0,即 f(0)=20+m=0,解得 m=-1. 则 f(x)=2x+2x-1,f(1)=21+2×1-1=3,f(-1)=-f(1)=-3.

6.若函数 f(x)= 1 A. 2 3 C. 4

x x+ x-a
2 B. 3

为奇函数,则 a=(

)

D.1

解析:选 A ∵f(x)= ∴f(-1)=-f(1), ∴ -1 -2+ -1-a

x x+ x-a

是奇函数,

=-

1 + -a



1 ∴a+1=3(1-a),解得 a= . 2 7.(2013·孝感模拟)已知 f(x)是偶函数,当 x<0 时,f(x)=x2+x,则当 x>0 时,f(x) =________. 解析:x>0,-x<0,f(x)=f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x,故 x>0 时,f(x)=x2-x. 答案:x2-x 8.(2012·“江南十校”联考)定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在(0,2] 上的图象如图所示,则不等式 f(x)>x 的解集为________. 解析: 依题意,画出 y=f(x)与 y=x 的图象,如图所示,注意到 y=f(x)的图

?2 2? ? 2 2? 象与直线 y=x 的交点坐标是? , ?和?- ,- ?,结合图象可知,f(x)>x 3? ?3 3? ? 3 ? 2? ? 2? 的解集为?-2,- ?∪?0, ?. 3? ? 3? ? ? 2? ? 2? 答案:?-2,- ?∪?0, ? 3? ? 3? ? ? 3 ? 9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,其最小正周期为 3,且 x∈?- ,0?时,f(x) ? 2 ?

=log2(-3x+1),则 f(2 011)=________. 解析:f(2 011)=f(3×670+1) =f(1)=-f(-1) =-log2(3+1)=-2. 答案:-2 10.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R).

a x

(1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性. 解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2,

f(-x)=f(x),函数是偶函数.
当 a≠0 时,f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R),取 x=±1,得 f(-1)+f(1)=2≠0;

a x

f(-1)-f(1)=-2a≠0,
即 f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). 故函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)若 f(1)=2,即 1+a=2,解得 a=1, 1 这时 f(x)=x2+ .

x

任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2,

? 1? ? 1? 2+ ?-?x2+ ? 则 f(x1)-f(x2)=?x1 2 ?
x 1? ? x2? x2-x1 x 1x 2
1 ?

=(x1+x2)(x1-x2)+

=(x1-x2)?x1+x2-

? ?

x1x2?

?.

由于 x1≥2,x2≥2,且 x1<x2.

故 x1-x2<0,x1+x2> 所以 f(x1)<f(x2),

1

x 1x 2



故 f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数.

-x +2x,x>0, ? ? 11.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x +mx,x<0
2 2

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,

结合 f(x)的图象知?

? ?a-2>-1, ?a-2≤1, ?

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)=

x(0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式.

解:(1)证明:由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,得 f(x+1)=f(1-x), 即有 f(-x)=f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故有 f(-x)=-f(x).

故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0.

x∈[-1,0)时,-x∈(0,1], f(x)=-f(-x)=- -x,又 f(0)=0,
故 x∈[-1,0]时, f(x)=- -x.

x∈[-5,-4],x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4.
从而,x∈[-5,-4]时, 函数 f(x)=- -x-4.

1. 设 f(x)是奇函数, 且在(0, +∞)内是增函数, 又 f(-3)=0, 则 x·f(x)<0 的解集是( A.{x|-3<x<0,或 x>3} B.{x|x<-3,或 0<x<3} C.{x|x<-3,或 x>3} D.{x|-3<x<0,或 0<x<3} 解析:选 D 由 x·f(x)<0,

)

? ?x<0, 得? ? ?f x

? ?x>0, 或? ? ?f x <0,

而 f(-3)=0,f(3)=0,

即?

?x<0, ? ? ?f x
f -

或?

?x>0, ? ? ?f x
f


所以 x·f(x)<0 的解集是{x|-3<x<0,或 0<x<3}.

2.(2012·江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=

ax+1,-1≤x<0, ? ? ?bx+2,0≤x≤1, ? ? x+1

?1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?=f? ?,则 a+3b 的值为________. ?2? ?2?

?3? ? 1? 解析:因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,所以 f? ?=f?- ?,且 f(-1)=f(1), ?2? ? 2?
1 2 ?1? ? 1? 故 f? ?=f?- ?,从而 1 ?2? ? 2?

b+2

+1 2

1 =- a+1,3a+2b=-2.① 2

由 f(-1)=f(1),得-a+1=

b+2
2

,故 b=-2a.②

由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10. 答案:-10

?1? 3.(2012·烟台模拟)已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞),且满足 f(xy)=f(x)+f(y),f? ? ?2?
=1,如果对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y), (1)求 f(1); (2)解不等式 f(-x)+f(3-x)≥-2. 解:(1)令 x=y=1,则 f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0.

?1? (2)f(-x)+f(3-x)≥-2f? ?, ?2? ?1? ?1? ? x? ?3-x? ?≥f(1), f(-x)+f? ?+f(3-x)+f? ?≥0=f(1),f?- ?+f? ?2? ?2? ? 2? ? 2 ? ? x 3-x? ?≥f(1), f?- · ? 2 2 ?

-x>0, ? ?3-x>0, 则? x 3-x - · ? ? 2 2 ≤1,

解得-1≤x<0.

故不等式的解集为[-1,0).

?1? 1.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f(x)-g(x)=? ?x,则 f(1), ?2?
g(0),g(-1)之间的大小关系是______________.

?1? 解析:在 f(x)-g(x)=? ?x 中,用-x 替换 x,得 f(-x)-g(-x)=2x,由于 f(x),g(x) ?2?
分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-

g(x)=2x.于是解得

2-x-2x 2-x+2x 3 f(x)= ,g(x)=- ,于是 f(1)=- ,g(0)=-1,g(-1) 2 2 4

5 =- ,故 f(1)>g(0)>g(-1). 4 答案:f(1)>g(0)>g(-1) 2.关于 y=f(x),给出下列五个命题: ①若 f(-1+x)=f(1+x),则 y=f(x)是周期函数; ②若 f(1-x)=-f(1+x),则 y=f(x)为奇函数; ③若函数 y=f(x-1)的图象关于 x=1 对称,则 y=f(x)为偶函数; ④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称; ⑤若 f(1-x)=f(1+x),则 y=f(x)的图象关于点(1,0)对称. 填写所有正确命题的序号________. 解析:由 f(-1+x)=f(1+x)可知,函数周期为 2,①正确;由 f(1-x)=-f(1+x)可知,

y=f(x)的对称中心为(1,0),②错;y=f(x-1)向左平移 1 个单位得 y=f(x),故 y=f(x)关于

y 轴对称,③正确;两个函数对称时,令 1+x=1-x 得 x=0,故应关于 y 轴对称,④错;
由 f(1-x)=f(1+x)得 y=f(x)关于 x=1 对称,⑤错,故正确的应是①③. 答案:①③

?1 ? 3. 已知 f(x)是偶函数, 且 f(x)在[0, +∞)上是增函数, 如果 f(ax+1)≤f(x-2)在 x∈? ,1? ?2 ?
上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:由于 f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,则在(-∞,0]上为减函数,由 f(ax

?1 ? +1)≤f(x-2),则|ax+1|≤|x-2|,又 x∈? ,1?,故|x-2|=2-x, ?2 ? ?1 ? 3 1 即 x-2≤ax+1≤2-x.故 x-3≤ax≤1-x,1- ≤a≤ -1,在? ,1?上恒成立. x x ?2 ? ?1 ? ? 3? 由于? -1?min=0,?1- ?max=-2,故-2≤a≤0. ?x ? ?
x?


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