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2016年高三数学(理)创新设计资料包4-1



第1讲
最新考纲

任意角、弧度制及任意角的三角函数
1.了解任意角的概念;2.了解弧度制的概念,能

进行弧度与角度的互化;3.理解任意角的三角函数(正弦、余 弦、正切)的定义.

基础诊断

考点突破

课堂总结

知 识 梳 理

/>1.角的概念的推广 端点 从一个 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着_____
位置旋转到另一个位置所成的图形.
? 正角 、_____ 负角 、_____. 零角 ?按旋转方向不同分为 _____ (2)分类? ? 象限角 和轴线角. ?按终边位置不同分为 _______

(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在
内,可构成一个集合S={β|β=α+k· 360°,k∈Z}.

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于_______ 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧 度的角,弧度记作rad. (2)公式
角 α 的弧度数 公式 角度与弧度的 换算 弧长公式 扇形面积公式 l |α|=r(弧长用 l 表示) π ①1°= 180 |α|r 弧长 l=_____
?180? ? ? ? π ?° ? ? rad;②1 rad=______

1 1 lr |α |r2 2 =_______ 2 S=_____

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切

定义

Ⅰ 各象限 Ⅱ 符号 Ⅲ Ⅳ

设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 y y 叫做α的正 x 叫做α的余 ____ x 叫做α ___ ___ 弦,记作sin α 弦,记作cos α 的正切, 记作tan α + + + + - - - - + - + -
基础诊断 考点突破 课堂总结

三角函 数线 有向线段____ MP 为正弦线 OM 有向线段____ AT 为 有向线段____ 为余弦线 正切线

基础诊断

考点突破

课堂总结

诊 断 自 测
1. 判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示 (1)小于 90°的角是锐角. ( ×) (2)锐角是第一象限角,反之亦然. ( ×) (3)将表的分针拨快 5 分钟, 则分针转过的角度是 30°.( × ) ? π? ? (4)若 α∈?0, ? , 则 tan α >α>sin α . (√ ) 2? ? ? (5)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等. ( ×)

基础诊断

考点突破

课堂总结

9π 2.下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 4 A.2kπ +45°(k∈Z) 9 B.k·360°+ π (k∈Z) 4 C.k·360°-315°(k∈Z) 5π D.kπ + (k∈Z) 4

(

)

9π 9π 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ+ (k∈Z), 4 4 但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案 C 正确.

答案

C

基础诊断

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课堂总结

3.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)若tan α>0,则
A.sin 2α>0 C.sin α>0 解析 B.cos α>0 D.cos 2α>0

(

)

由tan α>0可得α的终边在第一象限或第三象限,

此时sin α与cos α同号,故sin 2α=2sin αcos α>0,故选A.

答案

A

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课堂总结

4.(2014· 大纲全国卷)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α =
4 A. 5 3 C.- 5
解析

(
3 B. 5 4 D.- 5

)

-4 4 由三角函数的定义知 cos α= =- . 5 (-4)2+32

故选 D.

答案

D

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考点突破

课堂总结

5.(人教A必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径,这条弦
所对的圆心角大小为________弧度. π 答案 3

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考点突破

课堂总结

考点一

象限角与三角函数值的符号判断 α 【例 1】 (1)若角 α 是第二象限角,则 是 2 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 cos α (2)若 sin α · tan α <0, 且 <0, 则角 α 是 tan α A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角

(

)

(

)

基础诊断

考点突破

课堂总结

深度思考 象限角的判定有 解析 (1)∵α 是第二象限角, 两种方法,请你阅读规律方 π ∴ +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z, α 2 法,其中角 的判断结论为: 2 π α π ∴ +kπ< < +kπ,k∈Z. 4 2 2 α 当 k 为偶数时, 是第一象限角; 2 α 当 k 为奇数时, 是第三象限角. 2

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课堂总结

(2)由 sin α ·tan α <0 可知 sin α ,tan α 异号,从而 α 为 cos α 第二或第三象限的角,由 <0,可知 cos α ,tan α 异 tan α 号.从而 α 为第三或第四象限角.综上,α 为第三象限角.

答案

(1)C

(2)C

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规律方法

(1)已知 θ 所在的象限, 求 n 或 nθ(n∈N*)所在的象

θ

限的方法是:将 θ 的范围用不等式(含有 k)表示,然后两边同 除以 n 或乘以 n,再对 k 进行讨论,得到 n 或 nθ(n∈N*)所在 的象限.(2)象限角的判定有两种方法:一是根据图象,其依 据是终边相同的角的思想; 二是先将此角化为 k· 360°+α(0° ≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与此角终边相同的角 α, 再由角 α 终边所在的象限来判断此角是第几象限角.(3)由角 的终边所在的象限判断三角函数式的符号,需确定各三角函 数的符号,然后依据“同号得正,异号得负”求解.

θ

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课堂总结

θ θ θ ? ? 【训练 1】 (1)设 θ =-cos ,则 2 2 2? ? 是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)sin 2·cos 3·tan 4 的值 ( ) A.小于 0 B.大于 0 C.等于 0 D.不存在

? ? 是第三象限角,且?cos ?

基础诊断

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课堂总结

解析
? ? ∵?cos ?

(1)由 θ 是第三象限角,知

θ
2

为第二或第四象限角,

θ θ θ =-cos ,∴cos ≤0,综上知 为第二象限角. 2 2 2 2? ? (2)∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0, ∴sin 2·cos 3·tan 4<0.
答案 (1)B (2)A

θ? ?

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考点二

三角函数的定义

【例 2】 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3, m)(m≠0)且 sin θ = 2 m,试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值. 4
解 m 2 由题意得,r= 3+m ,∴sin θ = = m. 3+m2 4
2

∵m≠0,∴m=± 5.故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5), x - 3 6 y 5 15 ∴cos θ = r = =- ,tan θ =x= =- . 4 3 2 2 - 3

基础诊断

考点突破

课堂总结

当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5). x - 3 6 y - 5 15 ∴cos θ = r = =- ,tan θ =x= = . 4 3 2 2 - 3 6 15 6 综上可知,cos θ =- ,tan θ =- 或 cos θ =- , 4 3 4 15 tan θ = . 3

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法

利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,

需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x,纵坐标y,该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在 一条直线上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所 在象限不同).

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练2】 已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sin α,
cos α,tan α的值. 解 ∵角α的终边在直线3x+4y=0上, ∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0), 则x=4t,y=-3t,
r= x2+y2= (4t)2+(-3t)2=5|t|, y -3t 3 当 t>0 时,r=5t,sin α =r = =- , 5t 5 x 4t 4 y -3t 3 cos α = r = = ,tan α =x= =- ; 5t 5 4t 4

基础诊断

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课堂总结

y - 3t 3 当 t<0 时,r=-5t,sin α = = = , r - 5t 5 x 4t 4 y - 3t 3 cos α = r = =- ,tan α =x= =- . 5 4t 4 -5t 3 4 3 综上可知,sin α =- ,cos α = ,tan α =- 或 sin α = 5 5 4 3 4 3 ,cos α =- ,tan α =- . 5 5 4

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考点突破

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考点三

扇形弧长、面积公式的应用

【例3】 已知一扇形的圆心角为α (α >0),所在圆的半径为R. (1)若α =60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形

的面积;
(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α 为多少弧度时,该扇 形有最大面积? 解 (1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则
π π 10π α =60°= ,R=10,l= ×10= (cm), 3 3 3 π 1 10π 1 2 S 弓=S 扇-S△= × ×10- ×10 ×sin 2 3 2 3 ?π 50 50 3 3? ? 2 = π- =50? - ? (cm ). ? 3 2 2? ?3
基础诊断 考点突破 课堂总结

C (2)扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴R= , 2+α ? C ? 1 1 ? ?2 2 ∴S 扇= α ·R = α ·?2+α? 2 2 ? ? C2 1 C2 1 C2 = α· = · ≤ . 2 4 16 4+4α+α2 2 4+α+α
2 C 当且仅当 α2=4,即 α=2 时,扇形面积有最大值 . 16

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规律方法 涉及弧长和扇形面积的计算时,可用的公式有角度 表示和弧度表示两种,其中弧度表示的公式结构简单,易记好 用,在使用前,应将圆心角用弧度表示.弧长和扇形面积公式: 1 1 2 l=|α|R,S= |α|R = lR. 2 2

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【训练3】 已知扇形的周长为4 cm,当它的半径为________ cm和圆心角为________弧度时,扇形面积最大,这个最 大面积是________ cm2.
设扇形圆心角为 α,半径为 r,则 4 2r+|α|r=4,∴|α|= r -2. 1 ∴S 扇形= |α|·r2=2r-r2=-(r-1)2+1, 2 ∴当 r=1 时,(S 扇形)max=1, 此时|α|=2. 解析

答案

1

2

1

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课堂总结

微型专题

三角函数线的应用

三角函数线是三角函数的几何特征,具有重要的意义,
考生在平时的备考中总认为它是概念性内容,事实并不然, 其应用十分广泛,除了用来比较三角函数值的大小,解三角 不等式外,还是数形结合的有效工具,借助它不但可以准确 画出三角函数图象,还可以讨论三角函数的性质.

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【例 4】 函数 y=lg(2sin x-1)+ 1-2cos x的定义域为 ________.

点拨

依据题意列出不等式组,通过画图作出三角函数

线,找到边界角,从而求出各不等式的取值范围,最后 求交集即可. 解析 要使原函数有意义 ,必须有: 1 ? sin x> , ? 2 ?2sin x-1>0, ? ? 即? 如图, 在单 ? 1 ?1-2cos x≥0, ? cos x≤ . ? 2 位圆中作出相应三角函数线,由图可知, 原 函 数 的 定 义 域 为 ? π 5π ? ? ? 2 k π+ , 2 k π+ ? ?(k∈Z). 3 6 ? ?
基础诊断 考点突破 课堂总结

答案

? ? ?2kπ ?

π 5π ? ? + ,2kπ + ?(k∈Z) 3 6 ?

点评

利用单位圆求解函数定义域问题时,应熟练掌握0到2π

范围内的特殊角的三角函数值,注意边界角的取舍,一定要 与相应三角函数的周期结合起来,这也是本题的难点所在.

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考点突破

课堂总结

[思想方法]
1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关,而与角α 终边上点P的位置无关.若角α已经给出,则无论点P选 择在α终边上的什么位置,角α的三角函数值都是确定 的.如有可能则取终边与单位圆的交点.其中|OP|=r一

定是正值.
2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可借 助口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是 一个小技巧.
基础诊断 考点突破 课堂总结

[易错防范] 1.注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于90°的角是 概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、第三类是 区间角.

2.角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互化,在同一
个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. 3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边 在坐标轴上的情况.

基础诊断

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