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数学必修二直线与平面答案与解析



数学必修二直线与平面
参考答案与试题解析
一.填空题(共 12 小题) 1. (2013?浙江模拟)已知直线 l⊥ 平面 α,直线 m?平面 β,则下列四个命题: ① α∥ β?l⊥ m;② α⊥ β?l∥ m;③ l∥ m?α⊥ β;④ l⊥ m?α∥ β 其中正确命题的序号是 ① ③ . 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 计算题. 分析: 直线 l⊥

平面 α,直线 m?平面 β,当 α∥ β 有 l⊥ m,当 α⊥ β 有 l∥ m 或 l 与 m 异面或相交,当 l∥ m 有 α⊥ β,当 l⊥ m 有 α∥ β 或 α∩ β,得到结论 解答: 解:直线 l⊥ 平面 α,直线 m?平面 β, 当 α∥ β 有 l⊥ m,故① 正确 当 α⊥ β 有 l∥ m 或 l 与 m 异面或相交,故② 不正确 当 l∥ m 有 α⊥ β,故③ 正确, 当 l⊥ m 有 α∥ β 或 α∩ β,故④ 不正确, 综上可知① ③ 正确, 故答案为:① ③ 点评: 本题考查平面的基本性质即推论,本题解题的关键是看出在所给的条件下,不要漏掉其中的某一种位置关 系,本题是一个基础题.
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2. (2012?安徽模拟) (文)平面上三条直线 x+2y﹣1=0,x+1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分为六部分, 则实数 k 的所有取值为 ① ③ ④ . (将你认为所有正确的序号都填上) ① 0 ② ③ 1 ④ 2 ⑤ 3.

考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 计算题. 分析: 由这三条直线将平面划分为六部分,知这三条直线两两相交,且交于同一点,或者直线 x+ky=0 与其中一条 直线平行,由此能导出 k 的取值范围. 解答: 解:因为这三条直线将平面划分为六部分, 所以这三条直线两两相交,且交于同一点,或者直线 x+ky=0 与其中一条直线平行,
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当这三条直线两两相交,且交于同一点,有

,得

,代入直线 x+ky=0 得 k=1.

当直线 x+ky=0 与其中一条直线平行时,当 x+ky=0 与直线 x+1=0 平行时,此时 k=0 成立. 当当 x+ky=0 与直线 x+2y﹣1=0 平行时,此时 k=2 成立. ∴ k 的取值范围为 {k|k=2 或 k=0 或 k=1}, 故答案为:① ③ ④ . 点评: 本题考查直线的位置关系,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 3. (2011?南京模拟)设 b,c 表示两条直线,α,β 表示两个平面,现给出下列命题: ① 若 b?α,c∥ α,则 b∥ c; ② 若 b?α,b∥ c,则 c∥ α; ③ 若 c∥ α,α⊥ β,则 c⊥ β; ④ 若 c∥ α,c⊥ β,则 α⊥ β. 其中正确的命题是 ④ . (写出所有正确命题的序号)

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www.jyeoo.com 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 计算题. 分析: 由题设条件,对四个选项逐一判断即可,① 选项用线线平行的条件进行判断;② 选项用线面平行的条件判断; ③ 选项用线面垂直的条件进行判断;④ 选项用面面垂直的条件进行判断, 解答: 解:① 选项不正确,因为线面平行,面中的线与此线的关系是平行或者异面; ② 选项不正确,因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行; ③ 选项不正确,因为两面垂直,与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行,在面内也可能垂直; ④ 选项正确,因为线与面平行,线垂直于另一面,可证得两面垂直. 其中正确的命题是④ . 故答案为:④ . 点评: 本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,求解本题关键是有较好的空间想像能力,对空间中点线面的 位置关系可以准确判断,再就是熟练掌握点线面位置关系判断的定理与条件.
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4.已知直线 l,m 平面 α,β,且 l⊥ α,m?β,给出下列四个命题 ① 若 α∥ β 则 l⊥ m;② 若 l⊥ m 则 α∥ β;③ 若 α⊥ β,则 l∥ m;④ 若 l∥ m 则 α⊥ β. 其中正确命题的序号是 ① ④ . 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 计算题. 分析: 由 l⊥ α,m?β,知:① 若 α∥ β,则 l⊥ β,故 l⊥ m;② 若 l⊥ m,则 α 与 β 平行或相交;③ 若 α⊥ β,则 l 与 m 相交、 平行或异面;④ 若 l∥ m,则 m⊥ α,故 α⊥ β. 解答: 解:∵ l⊥ α,m?β, ∴ ① 若 α∥ β,则 l⊥ β,∴ l⊥ m,故① 正确; ② 若 l⊥ m,则 α 与 β 平行或相交,故② 不正确; ③ 若 α⊥ β,则 l 与 m 相交、平行或异面,故③ 不正确; ④ 若 l∥ m,则 m⊥ α,∴ α⊥ β,故④ 正确. 故答案为:① ④ . 点评: 本题考查平面的基本性质和推论,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
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5.设 m、n 是不同的直线,α、β、γ 是不同的平面,有以下四个命题: ① 若 α∥ β,α∥ γ,则 β∥ γ ② 若 α⊥ β,m∥ α,则 m⊥ β ③ 若 m?α,n⊥ β,α∥ β,则 m⊥ n ④ 若 m∥ n,n?α,则 m∥ α 其中真命题的序号是 ① ③ . 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 阅读型. 分析: 由平行的传递性知① 正确,若 α⊥ β,m∥ α,则 m 与 β 包含直线与平面的所有关系,故② 不正确,若 m?α,n⊥ β, α∥ β,则 m⊥ n,若 m∥ n,n?α,则 m∥ α 或 m?α. 解答: 解:若 α∥ β,α∥ γ,则 β∥ α,由平行的传递性知① 正确, 若 α⊥ β,m∥ α,则 m 与 β 包含直线与平面的所有关系,故② 不正确, 若 m?α,n⊥ β,α∥ β,则 m⊥ n,正确, 若 m∥ n,n?α,则 m∥ α 或 m?α,故③ 不正确, 综上可知① ③ 正确, 故答案为:① ③ 点评: 本题考查平面的基本性质即推论,本题解题的关键是在线与面之间的关系的推导中,注意不要漏掉一些容 易忽略的关系.
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www.jyeoo.com 6. (2012?孝感模拟)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F,G,H,M 分别是棱 AD,DD1,D1A1,A1A, AB 的中点, 点 N 在四边形 EFGH 的四边及其内部运动, 则当 N 只需满足条件 点 N 在 EG 上 时, 就有 MN⊥ A1C1; 当 N 只需满足条件 点 N 在 EH 上 时,就有 MN∥ 平面 B1D1C.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱的结构特征. 专题: 常规题型. 分析: (1) 连接 EG、 EM、 GM、 BD, 利用正方形 AA1D1D 对边中点连线, 得到 EG∥ AA1, 结合 AA1⊥ 平面 A1B1C1D1 得到 EG⊥ 平面 A1B1C1D1, 从而 A1C1⊥ EG. 再利用△ ABD 中的中位线 EM∥ BD, 结合 B1D1∥ BD, 得到 EM∥ B1D1, 再由 A1C1⊥ B1D1 得到 A1C1⊥ EM,最后利用线面垂直的判定定理得到 A1C1⊥ 平面 EGM.因此,当点 N 在 EG 上时,直线 MN?平面 EGM,有 MN⊥ A1C1 成立; (2)连接 MH、A1B,再(1)的基础上有 EM∥ B1D1,结合线面平行的判定定理可得 EM∥ 平面 B1D1C,同 理可得 MH∥ 平面 B1D1C.最后利用平面与平面平行的判定定理,得到平面 EHM∥ 平面 B1D1C,所以当点 N 在 EH 上时,MN?平面 EHM,有 MN∥ 平面 B1D1C 成立. 解答: 解: (1)连接 EG、EM、GM、BD ∵ 正方形 AA1D1D 中,E、G 分别为 AD、A1D1 的中点 ∴ EG∥ AA1 ∵ AA1⊥ 平面 A1B1C1D1 ∴ EG⊥ 平面 A1B1C1D1 ∵ A1C1?平面 A1B1C1D1∴ A1C1⊥ EG ∵ 在△ ABD 中,EM 是中位线 ∴ EM∥ BD
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∵ BB1∥ DD1 且 BB1=DD1∴ 四边形 BB1D1D 是平行四边形,B1D1∥ BD ∴ EM∥ B1D1∵ 正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥ B1D1 ∴ A1C1⊥ EM ∵ EM∩ EG=E,EM、EG?平面 EGM ∴ A1C1⊥ 平面 EGM 因此,当点 N 在 EG 上时,直线 MN?平面 EGM,有 MN⊥ A1C1 成立; (2)连接 MH、A1B 根据(1)的证明,EM∥ B1D1∵ EM?平面 B1D1C,B1D1?平面 B1D1C, ∴ EM∥ 平面 B1D1C 同理可得 MH∥ 平面 B1D1C ∵ EM∩ MH=M,EM、MH?平面 EHM ∴ 平面 EHM∥ 平面 B1D1C ∴ 当点 N 在 EH 上时,MN?平面 EHM,有 MN∥ 平面 B1D1C 成立. 故答案为:点 N 在 EG 上,点 N 在 EH 上

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点评: 本题以正方体中的直线与直线平行、直线与直线垂直为例,考查了空间的线面平行和线面垂直等位置关系 的证明,属于中档题. 7.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、CD 的中点,N 是 BC 的中点, 点 M 在四边形 EFGH 上及其内部运动,则 M 满足条件 M∈FH 时,有 MN∥ 平面 B1BDD1.

考点: 直线与平面平行的判定. 专题: 计算题. 分析: 根据平面 FHN∥ 平面 B1BDD1, 可知平面 FHN 内任意一条直线都与平面 B1BDD1 平行, 而点 M 在四边形 EFGH 上及其内部运动,所以 M 满足条件 M∈FH. 解答: 解:∵ HN∥ DB,FH∥ D1D, ∴ 面 FHN∥ 面 B1BDD1. ∵ 点 M 在四边形 EFGH 上及其内部运动 故 M∈FH. 故答案为 M∈FH 点评: 本题主要考查了直线与平面平行的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
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8.下面四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB∥ 平面 MNP 的图形是 ① ④
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考点: 专题: 分析: 解答:

直线与平面平行的判定. 空间位置关系与距离. 分别根据平面 MNP 的位置确定直线 AB 是否与平面平行. 解:① 连结 BC,则平面 ABC∥ 平面 MNP,所以 AB∥ 平面 MNP.所以① 正确. ② 取底面正方形对角线的中点 O,则 ON∥ AB,所以 AB 与面 PMN 相交,不平行,所以② 不合适. ③ AB 与面 PMN 相交,不平行,所以③ 不合适. ④ 因为 AB∥ NP,所以 AB∥ 平面 MNP.所以④ 正确. 故答案为:① ④ .
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点评: 本题主要考查线面平行的判定,利用线面平行的判定,只要直线 AB 平行于平面 MNP 内的一条直线即可. 9. (2011?盐城一模) 已知平面 α, β, γ, 直线 l, m 满足: α⊥ γ, γ∩ α=m, γ∩ β=l, l⊥ m, 那么① m⊥ β; ④ α⊥ β. 可由上述条件可推出的结论有 ② ④ (请将你认为正确的结论的序号都填上) . ② l⊥ α; ③ β⊥ γ;

考点: 直线与平面垂直的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题. 分析: 由已知中平面 α,β,γ,直线 l,m 满足:α⊥ γ,γ∩ α=m,γ∩ β=l,l⊥ m,那么由面面垂直的性质定理及面面垂 直的判定定理,我们可以分别判定四个答案的真假,进而得到结论. 解答: 解:若 α⊥ γ,γ∩ α=m,γ∩ β=l,l⊥ m, 由于 β⊥ γ 不一定成立,故① m⊥ β、③ β⊥ γ 错误; 根据面面垂直的性质我们可得 l⊥ α,即② 正确; 再由面面垂直的判定定理可得 α⊥ β,即④ 正确; 故答案为:② ④ .
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点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的性质,平面与平面垂直的判定,其中熟练掌握空间直线与直线,直 线与平面,平面与平面垂直的判定、性质及相互转化是解答的关键. 10. (2005?湖南)已知平面 α,β 和直线,给出条件: ① m∥ α;② m⊥ α;③ m?α;④ α⊥ β;⑤ α∥ β. (i)当满足条件 ③ ⑤ 时,有 m∥ β; (ii)当满足条件 ② ⑤ 时,有 m⊥ β. (填所选条件的序号) 考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (i)要 m∥ β 只需 m 在 β 的平行平面内,m 与平面无公共点; (ii)直线与平面垂直,只需直线垂直平面内的两条相交直线,或者直线平行平面的垂线; 解答: 解:若 m?α,α∥ β,则 m∥ β; 若 m⊥ α,α∥ β,则 m⊥ β. 故答案为: (i)③ ⑤ (ii)② ⑤ 点评: 本题考查直线与平面垂直的判定与性质,考查逻辑思维能力,是基础题.
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11.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F,G 分别为棱 AA1,AB,CC1 的中点,给出下列 3 对线段所在直 线:① D1E 与 BG;② D1E 与 C1F;③ A1C 与 C1F.其中,是异面直线的对数共有 2 对.

考点: 异面直线的判定. 专题: 计算题. 分析: 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F,G 分别为棱 AA1,AB,CC1 的中点,取 BB1 的中点 M,连接 MC1, 则 C1M∥ BG,由此可知① D1E 与 BG 是共面直线;② D1E 与 C1F 是异面直线;③ A1C 与 C1F 是异面直线. 解答: 解:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, ∵ E,F,G 分别为棱 AA1,AB,CC1 的中点, 取 BB1 的中点 M,连接 MC1, 则 C1M∥ BG,C1M∥ D1E,C1M∩ C1F=C1, ∴ D1E∥ BG ∵ D1E∥ BG, ∴ ① D1E 与 BG 是共面直线; ∵ D1E 与 C1F 既不平行,又不相交, ② D1E 与 C1F 是异面直线; ∵ A1C 与 C1F 既不平行,又不相交,
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www.jyeoo.com ③ A1C 与 C1F 是异面直线. 故答案为:2. 点评: 本题考查异面直线的判定,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 12. (2010?苏州一模)设 α,β 为互不重合的平面,m,n 为互不重合的直线,给出下列四个命题: ① 若 m⊥ α,n?α,则 m⊥ n;② 若 m?α,n?α,m∥ β,n∥ β,则 α∥ β; ③ 若 α⊥ β,α∩ β=m,n?α,n⊥ m,则 n⊥ β;④ 若 m⊥ α,α⊥ β,m∥ n,则 n∥ β. 其中正确命题的序号为 ① ③ . 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 分析: ① 线面垂直,则线垂直于该平面内任一条线;② 只有一平面内两相交直线都与另一平面平行,这两平面才平 行; ③ 面面垂直,则一平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面;④ 要特别注意直线在平面内这种情况. 解答: 解:① 由线面垂直的性质可得;② 若 m∥ n,则结论错误;③ 由面面垂直的性质可得;④ n 还可能在 β 内,则结论 错误. 故正确答案为① ③ . 点评: 本题考查线线、线面、面面的平行和垂直关系;同时考查空间想象能力.
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二.解答题(共 8 小题) 13.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AA1 的中点.求证: (1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点.

考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由三角形中位线定理和平行公式,得到 EF∥ D1C,再由两条平行线确定一个平面,得到 E,C,D1,F 四点共面. (2)分别延长 D1F,DA,交于点 P,由 P∈DA,DA?面 ABCD,知 P∈面 ABCD.再由三角形中位线定理 证明 CE,D1F,DA 三线共点于 P. 解答: 证明: (1)连接 EF,A1B,D1C, ∵ E,F 分别是 AB,AA1 的中点, ∴ EF∥ A1B,A1B∥ D1C, ∴ EF∥ D1C, ∴ 由两条平行线确定一个平面,得到 E,C,D1,F 四点共面. (2)分别延长 D1F,DA,交于点 P, ∵ P∈DA,DA?面 ABCD, ∴ P∈面 ABCD. ∵ F 是 AA1 的中点,FA∥ D1D, ∴ A 是 DP 的中点, 连接 CP,∵ AB∥ DC,
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www.jyeoo.com ∴ CP∩ AB=E, ∴ CE,D1F,DA 三线共点于 P.

点评: 本题考查四点共面和三点共线的证明,解题时要认真审题,仔细解答,注意平行公理和三角形中位线定理 的合理运用. 14. (2014?潍坊模拟)如图:PA⊥ 平面 ABCD,ABCD 是矩形,PA=AB=1,AD= ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (Ⅰ )求三棱锥 E﹣PAD 的体积; (Ⅱ )当点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明理由; (Ⅲ )证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥ AF.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质. 分析: 本题考查了空间几何体的体积、线面位置关系的判定、线面垂直等知识点,

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(Ⅰ )利用换底法求 VP﹣ADE 即可; (Ⅱ )利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决; (Ⅲ )通过证明 AF⊥ 平面 PBE 即可解决. 解答: 解: (Ⅰ )三棱锥 E﹣PAD 的体积 (Ⅱ )当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行. (5 分) ∵ 在△ PBC 中,E、F 分别为 BC、PB 的中点, ∴ EF∥ PC,又 EF?平面 PAC,而 PC?平面 PAC, ∴ EF∥ 平面 PAC. (8 分) (Ⅲ )证明: ∵ PA⊥ 平面 ABCD,BE?平面 ABCD, ∴ EB⊥ PA,又 EB⊥ AB,AB∩ AP=A,AB,AP?平面 PAB, ∴ EB⊥ 平面 PAB,又 AF?平面 PAB, ∴ AF⊥ BE. (10 分) 又 PA=AB=1,点 F 是 PB 的中点, ∴ AF⊥ PB,
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. (4 分)

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www.jyeoo.com 又∵ PB∩ BE=B,PB,BE?平面 PBE, ∴ AF⊥ 平面 PBE. ∵ PE?平面 PBE, ∴ AF⊥ PE. (12 分) 点评: 无论是线面平行(垂直)还是面面平行(垂直) ,都源自于线与线的平行(垂直) ,这种“高维”向“低维”转化 的思想方法,在解题时非常重要,在处理实际问题的过程中,可以先从题设条件入手,分析已有的平行(垂 直)关系,再从结论入手分析所要证明的平行(垂直)关系,从而架起已知与未知之间的桥梁. 15. (2014?南充一模) 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥ 底面 ABC, AB⊥ BC, D 为 AC 的中点, A1A=AB=2, BC=3. (1)求证:AB1∥ 平面 BC1D; (2)求四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)欲证 AB1∥ 平面 BC1D,根据线面平行的判定定理可知只需证 AB1 与平面 BC1D 内一直线平行,连接 B1C,设 B1C 与 BC1 相交于点 O,连接 OD,根据中位线定理可知 OD∥ AB1,OD?平面 BC1D,AB1?平面 BC1D,满足定理所需条件; (2)根据面面垂直的判定定理可知平面 ABC⊥ 平面 AA1C1C,作 BE⊥ AC,垂足为 E,则 BE⊥ 平面 AA1C1C,
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然后求出棱长,最后根据四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积 AA1C1D 的体积即可. 解答: 解: (1)证明:连接 B1C,设 B1C 与 BC1 相交于点 O,连接 OD, ∵ 四边形 BCC1B1 是平行四边形, ∴ 点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点, ∴ OD 为△ AB1C 的中位线, ∴ OD∥ AB1. (3 分) ∵ OD?平面 BC1D,AB1?平面 BC1D, ∴ AB1∥ 平面 BC1D. (6 分) (2)∵ AA1⊥ 平面 ABC,AA1?平面 AA1C1C, ∴ 平面 ABC⊥ 平面 AA1C1C,且平面 ABC∩ 平面 AA1C1C=AC. 作 BE⊥ AC,垂足为 E,则 BE⊥ 平面 AA1C1C, (8 分) ∵ AB=BB1=2,BC=3, 在 Rt△ ABC 中, , , (10 分)

求出四棱锥 B﹣

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www.jyeoo.com ∴ 四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积 ∴ 四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积为 3. (14 分) (12 分)= =3.

点评: 本题主要考查了线面平行的判定定理,以及棱锥的体积的度量,同时考查了空间想象能力,计算能力,以 及转化与化归的思想,属于基础题. 16. (2014?孝感二模)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥ DC,∠ ABC=45°,DC=1, AB=2,PA⊥ 平面 ABCD,PA=1. (Ⅰ )求证:AB∥ 平面 PCD; (Ⅱ )求证:BC⊥ 平面 PAC; (Ⅲ )若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M﹣ACD 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ )由已知中 AB∥ DC,结合线面平行的判定定理,可得 AB∥ 平面 PCD; (Ⅱ ) 在直角梯形 ABCD 中, 过 C 作 CE⊥ AB 于点 E, 由已知中 DC=1, AB=2, 我们根据勾股定理可得 BC⊥ AC, 由 PA⊥ 平面 ABCD 可得 PA⊥ BC,结合线面垂直的判定定理即可得到 BC⊥ 平面 PAC; (Ⅲ )若 M 是 PC 的中点,则 M 到面 ADC 的距离是 P 到面 ADC 距离,即 PA 的一半,根据其它已知条件 计算出棱锥的底面积和高,代入棱锥体积公式,即可得到答案. 解答: 证明: (Ⅰ )∵ AB∥ CD 又∵ AB?平面 PCD,CD?平面 PCD ∴ AB∥ 平面 PCD (Ⅱ )在直角梯形 ABCD 中,过 C 作 CE⊥ AB 于点 E,则四边形 ADCE 为矩形, ∴ AE=DC=1 又 AB=2,∴ BE=1 在 Rt△ BEC 中,∠ ABC=45° ∴ CE=BE=1,CB=
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2 2 2

∴ BC⊥ AC 又 PA⊥ 平面 ABCD, ∴ PA⊥ BC.又由 PA∩ AC=A ∴ BC⊥ 平面 PAC (Ⅲ )∵ M 是 PC 中点, ∴ M 到面 ADC 的距离是 P 到面 ADC 距离的一半 ∴ .

点评: 本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,以及几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、 推理论证能力,考查了数形结合思想、化归转化思想、必然与或然思想;属于立体几何中的基础题型. 17. (2014?福建)如图,三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥ 平面 BCD,CD⊥ BD. (Ⅰ )求证:CD⊥ 平面 ABD; (Ⅱ )若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A﹣MBC 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )证明:CD⊥ 平面 ABD,只需证明 AB⊥ CD;

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(Ⅱ )利用转换底面,VA﹣MBC=VC﹣ABM= S△ABM?CD,即可求出三棱锥 A﹣MBC 的体积. 解答: (Ⅰ )证明:∵ AB⊥ 平面 BCD,CD?平面 BCD, ∴ AB⊥ CD, ∵ CD⊥ BD,AB∩ BD=B, ∴ CD⊥ 平面 ABD; (Ⅱ )解:∵ AB⊥ 平面 BCD,BD?平面 BCD, ∴ AB⊥ BD. ∵ AB=BD=1,

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www.jyeoo.com ∴ S△ABD= , ∵ M 为 AD 中点, ∴ S△ABM= S△ABD= , ∵ CD⊥ 平面 ABD, ∴ VA﹣MBC=VC﹣ABM= S△ABM?CD= .

点评: 本题考查线面垂直,考查三棱锥 A﹣MBC 的体积,正确运用线面垂直的判定定理是关键. 18. (2014?潍坊模拟)如图,矩形 ABCD 中,AD⊥ 平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥ 平面 ACE. (Ⅰ )求证:AE⊥ 平面 BCE; (Ⅱ )求证;AE∥ 平面 BFD; (Ⅲ )求三棱锥 C﹣BGF 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)先证明 AE⊥ BC,再证 AE⊥ BF,由线面垂直的判定定理证明结论. (2)利用 F、G 为边长的中点证明 FG∥ AE,由线面平行的判定定理证明结论. (3)运用等体积法,先证 FG⊥ 平面 BCF,把原来的三棱锥的底换成面 BCF,则高就是 FG,代入体积公式 求三棱锥的体积. 解答: 解: (Ⅰ )证明:∵ AD⊥ 平面 ABE,AD∥ BC, ∴ BC⊥ 平面 ABE,则 AE⊥ BC.又∵ BF⊥ 平面 ACE,则 AE⊥ BF ∴ AE⊥ 平面 BCE. (4 分) (Ⅱ )证明:依题意可知:G 是 AC 中点, ∵ BF⊥ 平面 ACE,则 CE⊥ BF,而 BC=BE,∴ F 是 EC 中点. (6 分) 在△ AEC 中,FG∥ AE,∴ AE∥ 平面 BFD. (8 分) (Ⅲ )解:∵ AE∥ 平面 BFD,∴ AE∥ FG,而 AE⊥ 平面 BCE, ∴ FG⊥ 平面 BCE,∴ FG⊥ 平面 BCF, (10 分)
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∵ G 是 AC 中点,∴ F 是 CE 中点,且 ∵ BF⊥ 平面 ACE,∴ BF⊥ CE.∴ Rt△ BCE 中, ∴ , (12 分)∴

, . (14 分)

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点评: 本题考查线面平行与垂直的证明方法,利用等体积法求三棱锥的体积. 19. (2014?江西模拟)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AD=DC=CB=a,∠ ABC=60°,平面 ACFE⊥ 平面 ABCD, 四边形 ACFE 是矩形,AE=a,点 M 在线段 EF 上. (Ⅰ )求证:BC⊥ 平面 ACFE; (Ⅱ )当 EM 为何值时,AM∥ 平面 BDF?证明你的结论.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ )由已知,若证得 AC⊥ BC,则据面面垂直的性质定理即可.转化成在平面 ABCD,能否有 AC⊥ BC,易 证成立. (Ⅱ )设 AC∩ BD=N,则面 AMF∩ 平面 BDF=FN,只需 AM∥ FN 即可.而 CN:NA=1:2.故应有 EM:FM=1: 2 解答: 解: (Ⅰ )在梯形 ABCD 中,∵ AD=DC=CB=a,∠ ABC=60° ∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形, 且∠ DCA=∠ DAC=30°,∠ DCB=120 ∴ ∠ ACB=90,∴ AC⊥ BC 又∵ 平面 ACF⊥ 平面 ABCD,交线为 AC,∴ BC⊥ 平面 ACFE.
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(Ⅱ )当 EM=

时,AM∥ 平面 BDF.

在梯形 ABCD 中,设 AC∩ BD=N,连接 FN,则 CN:NA=1:2. ∵ EM= 而 EF=AC= ,∴ EM:FM=1:2.∴ EM∥ CN,EM=CN,

∴ 四边形 ANFM 是平行四边形.∴ AM∥ NF. 又 NF?平面 BDF,AM?平面 BDF.∴ AM∥ 平面 BDF.
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www.jyeoo.com 点评: 本题考查线面位置关系及判定,考查空间想象能力,计算能力,转化能力. 20. (2012?江苏一模)如图,在六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1∥ CC1,A1B=A1D,AB=AD. 求证: (1)AA1⊥ BD; (2)BB1∥ DD1.

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)取 BD 中点 E,连接 AE、A1E,根据等腰三角形底边的中线也是底边上的高,得 AE⊥ BD 且 A1E⊥ BD, 因此 BD⊥ 平面 A1AE,结合线面垂直的性质,得 AA1⊥ BD; (2)根据 AA1∥ CC1,结合线面平行判定定理,可证出 CC1∥ 平面 AA1B1B.再用线面平行的性质定理,得 BB1∥ CC1,同理可得 DD1∥ CC1,根据平行线的传递性,可得 BB1∥ DD1. 解答: 解: (1)取 BD 中点 E,连接 AE、A1E ∵ △ ABD 中,AB=AD,E 为 BD 中点 ∴ AE⊥ BD,同理可得 A1E⊥ BD, ∵ AE、A1E?平面 A1AE,AE∩ A1E=E ∴ BD⊥ 平面 A1AE, ∵ AA1?平面 A1AE,∴ AA1⊥ BD; (2)∵ AA1∥ CC1,AA1?平面 AA1B1B,CC1?平面 AA1B1B, ∴ CC1∥ 平面 AA1B1B ∵ CC1?平面 CC1B1B,平面 CC1B1B∩ 平面 AA1B1B=BB1 ∴ BB1∥ CC1,同理可得 DD1∥ CC1, ∴ BB1∥ DD1.
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点评: 本题给出特殊六面体,求证线线垂直和线线平行,着重考查了直线与平面平行、垂直的判定与性质等知识, 属于基础题,解题时要注意规范书写,不要遗漏必要的过程.

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