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立体几何中的向量方法3——空间角



3.2立体几何中的向量方法
——空间角

1、两条直线的夹角:
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,

a?b ? 两直线 l , m 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), cos ? ? ; 2 ab

l

l

? a

r />?

m

? ? a b ?

m

例: 在直三棱柱ABC ? A1 B1C1中,BC ? AC ,
BC ? CA ? CC1 , 取A1 B1、A1C1的中点D1、F1, 求BD1和AF1所成的角的余弦值.
z
C1

解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系C ? xyz,如图所示,设CC1 ? 1则: F1
1 1 1 A(1, 0, 0), B (0,1, 0), F1 ( , 0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2

D1
C

B1

A1
A

1 所以: AF1 ? (? , 0,1), BD1 ? ( 1 , ? 1 ,1) 2
2 2

B

y

1 ? ?1 AF1 BD1 30 4 ? ? ? cos ? AF1, BD1 ? 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2 30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10

x

2、直线与平面的夹角:
? 设直线 l 的方向向量分别为 a ,平面 ? 的 ? 法向量分别为 u ,

a?u ? 直线 l 与平面 ? 所成的角为? ( 0 ≤ ? ≤ ), sin ? ? ; 2 a u

? a

? u
?

?l ? a u
?

?

?

例: 在长方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,AB ? 5,

AD ? 8, AA1 ? 4,M在B1C1上,B1M ? 2, N在线段A1 D上,A1 D ? AN . 求AD与平面AMN的夹角的正弦值.
A1 B1 M
A

z
N

D1

C1
D

y

x

B

C

3、二面角: 二面角的范围:? ?[0, ? ]
①方向向量法:
AB ? CD AB ? CD

cos ? ? cos AB, CD ?

?
B A

C l

?
D

②法向量法
? ? n1, n2
? ? ? ? n1, n2

?

n1, n2

n2

?
?
l

n2

n1, n2

n1
?

?
n1
l

?

cos ?

?

cos ? n1, n2 ? cos ?

? ? cos ? n , n
1

2

?

法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角; 同进同出,二面角等于法向量夹角的补角

如图所示,ABCD是直角梯形,AB ? BC , SA ? 例: 1 平面ABCD,SA ? AB ? BC ? 1,AD ? , 求面SCD 2 z 与面SBA 所成二面角的余弦值.

S 解: 建立空直角坐系A- xyz如所示, 1 D (0, , 0), S (0, 0,1) 1, 0) , A( 0, 0, 0) , C (- 1, B 2 1 易知面SBA的法向量n1 ? AD ? (0, , 0) 2 y A 1 1 D x CD ? (1, ? , 0), SD ? (0, , ?1) 2 2 设平面 SCD的法向量n2 ? ( x, y, z), 由n2 ? CD, n2 ? SD, 得:
y ? x ? ?0 ? ? 2 ? ?y?z?0 ? ?2
? x? ? ? ?? ?z ? ? ? y 2 y 2

C

任取n2 ? (1,2,1)

n1 n2 6 6 ? cos ? n1 , n2 ?? ? 即所求二面角得余弦值是 3 | n1 || n2 | 3

1. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
?BAC ? 90 ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的
0

6 余弦值为_________ . 6
0 ? BAC ? 90 2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2,

AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成
3 10 角的余弦值为_________ 10

.

3.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
中点, 则二面角E-BC-A的大小是________ 45
0

第三问题:

利用“方向向量”与“法向量”来解决

距离问题.

1、点与点的距离:

AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 )
2 2

2

2、点与直线的距离:

d ? AP sin ?

(先求 cos ? AP, a ?)
?P

A?

?

?O

l

a

例:在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别是BB1,,

CD中点,求:点F到直线AE的距离.

D1

z

C1 B1 E

A1 D A
x

F B

C y

3、点到平面的距离:
如图 A? ? , 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d,已知平面 ? 的 一个法向量为 n , 且 AP 与 n 不共线,

?P

分析:过 P 作 PO⊥ ? 于 O,连结 OA.

n

则 d=| PO |= | PA | ? cos ?APO.
∵ PO ⊥ ? , n ? ? , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos ? PA, n? |.
∴d=| PA ||cos ? PA, n? |=
| PA ? n | |n|

?

A?

?O

.

3、点到平面的距离:

d ?

PA ? n n

?P
n

?

A?

?O

例: 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别
是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求 z 点 B 到平面 EFG 的距离. G 解:如图,建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 B(0,4,0), E(2,4,0), F(4,2,0), G(0,0,2).
EF ? (2, ?2,0), EG ? (?2, ?4, 2),

设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z )x
?2 x ? 2 y ? 0 F n ? EF, n ? EG ? ? ? ?2 x ? 4 y ? 2 Z ? 0

D

C

?n ? (1,1,3), BE ? (2,0,0)
| n ? BE|

A

E

2 11 ?d ? ? . 11 n 2 11 所以,点 B 到平面 EFG 的距离为 .

y

B

练习: 如图, ABCD 是矩形, PD ? 平面 ABCD , PD ? DC ? a , AD ? 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P D

N
C B

a 点 A 到平面 MNC 的距离为 . 2

M

A

4. 异面直线间的距离
已知a,b是异面直线, CD为a,b的公垂线,

b

? n
?
a

C A

n是直线CD的方向向量,
A,B分别在直线a,b上

D

B

d ? CD ?

n ? AB n

例已知:直三棱柱 . ABC ? A1B1C1的侧棱AA1 ? 4, 底面?ABC中,

AC ? BC ? 2, ?BCA ? 900 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解:如图建立坐标系C ? xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). ? ? ? CE ? (1,1,0), AB1 ? (2,2,4), z C ? ? ? 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ? ( x, y, z ).则 A ? B ? x ? y ? 0 n ? CE ? 0 即 ? ? ? 2x ? 2 y ? 4z ? 0 n ? AB ? 0
1 1 1

? 取x=1,则y=-1,z=1,所以 n ? (1,?1,1)

1

C

? 在两直线上各取点C , A,? C A ? (2,0,0). ? ? ? ? | n ? CA | 2 3 ? CE与AB1的距离d ? ? . ? |n| 3

A

B

x

E

y

5. 其它距离问题:

(1)平行线的距离(转化为点到直线的距离)

(2)直线与平面的距离(转化为点到平面的距离)

(3)平面与平面的距离(转化为点到平面的距离)

练习1:如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点, (I)求证:AO⊥平面BCD; (II)求异面直线AB与CD所成角的大小; (III)求点E到平面ACD的距离.

CA ? CB ? CD ? BD ? 2

AB ? AD ? 2

A

D O B E C

解:(I)略 (II)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,
则B(1,0,0), D(?1,0,0),

1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). 2 2
2 ? cos ? BA, CD ?? ? , 4 BA CD
所以异面直线AB与CD所成角的 余弦值为 2 . 4
O x B E C y

BA.CD

z

A

D

(III)解:设平面ACD的法向量为 n ? ( x, y, z),
? ?n. AD ? ( x, y, z ).( ?1, 0, ?1) ? 0, ? ? ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ?1) ? 0,
? ? x ? z ? 0, ?? ? ? 3 y ? z ? 0.



令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面ACD的一个法向量,又 1 3 EC ? (? , , 0), z 2 2 A 所以点E到平面ACD的距离

h?

EC.n n

3 21 ? ? . 7 7
x B

D O E C y

练习2:
如图,已知:直角梯形OABC中, OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC, 且OS=OC=BC=1,OA=2. 求:(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值; (2)OS与面SAB所成角的余弦值; (3)二面角B-AS-O的余弦值.
z
S

O C A B

y

x

z 如图,已知:直角梯形OABC中, S OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC, 且OS=OC=BC=1,OA=2. 求:(1)异面直线SA和OB所成的 O 角的余弦值;
A B

C

y

x

(1)解:以OAOC , , OS为正交基底建立空间直角坐标系如图。
则O(0, 0,, 0) S (0, 0,, 1) A(2, 0,, 0) B(11 , , 0)

SA ? (2, 0, ?1), OB ? (11 , , 0)
2?0?0 10 ? cos SAOB , ? ? 5 5? 2

如图,已知:直角梯形OABC中, OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC, z 且OS=OC=BC=1,OA=2. S 求:(2)OS与面SAB所成角的余弦值 ;
(2)解: SA ? (2, 0, ?1), SB ? (11 , , ?1)
设平面SAB的一个法向量为n ? ( x,y,z)
O C A B

y

?2 x ? z ? 0 ?? 取x ? 1,则y ? 1,z ? 2 ?x ? y ? z ? 0 0?0?2 6 ? cos n, OS ? ? 3 1? 6
所以OS与面SAB所成角的余弦值为

x

故平面SAB的一个法向量为n ? (11 , ,,又 2) OS ? (0, 01) ,

3 3

如图,已知:直角梯形OABC中, OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC, z 且OS=OC=BC=1,OA=2. S 求:(3)二面角B-AS-O的余弦值.
解:由(2)知平面SAB的一个法向量为n ? (11 , ,, 2)
O

C

y

又由OC ? 平面SAO知OC是平面SAO的法向量 A

且OC ? (01 , , 0)
0 ?1? 0 6 ? cos n, OC ? ? 6 6 ?1
6 所以二面角B-AS-O的余弦值为 6

B

x

练习3:如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD 底面ABCD ? ,PD=DC,E是PC的 中点. (1)证明:PA//平面EDB; (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值. z P y
E

C
G

B x

D

A

(1)证明:设正方形边长为1,则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点

以DA , DC, DP为正交基底建立空间 P 直角坐标系。如图所示。则

z

y
E

可得PA ? 2EG ? PA // EG。因为PA与EG不共线,所以PA // EG
又PA ? 平面EDB,EG ? 平面EDB ? PA // 平面EDB

x

D(0, 0,, 0) P(0, 0,, 1) A(1, 0,, 0) C , 0, ?1) C (0, 1,, 0) B(11 , , 0) ? PA ? (1 1 1 G 又E为PC中点, ? E点坐标为(0, , ) 2 2 D A 1 1 1 G为BD中点, ? G点坐标为( , , 0) ? EG ? ( 1 , 0, ? ) 2 2 2 2

B

(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。

解:因为PD ? 平面ABCD,所以PD是平面ABCD的法向量。

z 由(1)知D(0, 0,, 0) P(0, 0,, 1) P 1 1 B(11 , ,, 0) E (0, , ) E 2 2 1 1 ? PD ? (0, 0, ? 1), EB ? (1, , ? ) 2 2
1 D 0?0? 6 2 ? cos PD, EB ? ? 6 3 1 2

y
C G

B

A

6 所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为 6 5 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 5

x

练习5: 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中 点,作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证:PA//平面EDB (2)求证:PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小.

P F
D A

E

C B

作业:如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.

z

y

x

二面角 A-PB-C 的余弦值为

3 3



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