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第二讲 图形变换解决方案(一)



第二讲 图形变换 1.已知:△ABC 的高 AD 所在直线与高 BE 所在直线相交于点 F. (1)如图 1,若△ABC 为锐角三角形,且∠ABC=45°,过点 F 作 FG ∥BC,交直线 AB 于点 G,求证:FG+DC=AD; (2)如图 2,若∠ABC=135°,过点 F 作 FG∥BC,交直线 AB 于点 G, 则 FG、DC、AD 之间满足的数量关系是______;

2.如图①,已知△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点 D 是 BC 的中点. 作正方形 DEFG, 使点 A, C 分别在 DG 和 DE 上, 连接 AE, BG. (1)试猜想线段 BG 和 AE 的数量关系,请直接写出你得到的结论; (2)将正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大 于 0°, 小于或等于 360°) , 如图②, 通过观察或测量等方法判断 (1) 中的结论是否仍然成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说 明理由; (3)若 BC=DE=2,在(2)的旋转过程中,当 AE 为最大值时,求 AF 的值.

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3.已知: Rt△A′BC′≌Rt△ABC, ∠A′C′B=∠ACB=90°, ∠A′BC′= ∠ABC=60°,Rt△A′BC′可绕点 B 旋转,设旋转过程中直线 CC′和 AA′相交于点 D.

(1)如图 1 所示,当点 C′在 AB 边上时,判断线段 AD 和线段 A′D 之间的数量关系,并证明你的结论; (2)将 Rt△A′BC′由图 1 的位置旋转到图 2 的位置时, (1)中的 结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由; ( 3 ) 将 Rt△A′BC′ 由 图 1 的 位 置 按 顺 时 针 方 向 旋 转 α 角

(0°≤α ≤120°) ,当 A、C′、A′三点在一条直线上时,请直接 写出旋转角的度数. 4 问题情境:小彬、小颖和小明对一道数学问题进行探究.已知,如 图 1,正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相较于点 O,点 E 是线段 OC 上
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的一点,过点 A 作 BE 的垂线,交线段 OB 于点 G,垂足为点 F.证明: OG=OE.

变式探究: 分析完图 1 之后,小彬和小颖分别对此题进行了研究,并提出下面两 个问题,请解答: (1)小彬:如图 2,将图 1 中的点 E 改为线段 OC 延长线上的一点, 过点 A 作 BE 的垂线,交 OB 的延长线于点 G,垂足为点 F.求证:OG= OE. (2)小颖:如图 3,将图 1 中的“正方形 ABCD”改为“菱形 ABCD” , 且∠ABC=60°,其余条件不变,试求 拓展延伸: (3)小明解决完上述问题后,又提出了如下问题:如图 4,将图 3 中的“∠ABC=60°”改为“∠ABC=α ” ,并且点 E,G 分别在 OC,OB 的延长线上,其余条件不变,直接用含“α ”的式子表示
OG 的值. OE OG 的值. OE

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5.操作与探究 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=3,点 O 是 AB 的中点,将一块 直角三角板 ODE 的直角顶点绕点 O 旋转,边 OD、OE 分别与△ABC 的 边 BC、AC 交于点 N、M. (1)如图①,当三角板的一条直角边与 AB 重合时,点 M 与点 A 也重 合, ① 求 此 时 CN 的 长 ; ② 写 出 AC2 、 CN2 、 BN2 满 足 的 数 量 关 系 : __________________;

图① (2) 当三角板旋转到如图②所示的位置时, 即点 M 在 AC 上 (不与 A、 C 重合) , ① 猜 想 图 ② 中 AM2 、 BN2 、 MN2 满 足 的 数 量 关 系 :

___________________________; ②说明你得出此结论的理由.

图②

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(3)若在三角板旋转的过程中满足 CM=CN,请你利用图③,求出此 时 BN 的长.

图③ 6.在等腰直角三角形 ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,直线 MN 过点 A 且 MN∥BC,过点 B 为一锐角顶点作 Rt△BDE,∠BDE=90°,且点 D 在 直线 MN 上 (不与点 A 重合) , 如图 1, DE 与 AC 交于点 P, 易证: BD=DP. (无 需写证明过程)

(1)在图 2 中,DE 与 CA 延长线交于点 P,BD=DP 是否成立?如果成 立,请给予证明;如果不成立,请说明理由; (2)在图 3 中,DE 与 AC 延长线交于点 P,BD 与 DP 是否相等?请直 接写出你的结论,无需证明.

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