9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

3.1.3空间向量的数量积运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5空间向量运算的坐标表示(1)



3.1.3空间向量的数量积运算
3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示
3.1.5空间向量运算的坐标表示

复习:
平面向量数量积的相关知识
平面向量的夹角: 已知两个非零向量 a 和 b,在平面上取一点O, 作OA= a,OB= b,则 ?AOB 叫做向量 a与 b的夹角。
B

B

A

O

A

平面向量的数量积
平面向量的数量积的定义:

? 已知两个非零向量a, b,则|a| |b|cos
叫做向量a, b的数量积,记作 a ? b


并规定

a ? b ?| a || b | cos?

a?0 ?0

概念 1) 两个向量的夹角的定义

a
O

A

a
B

b

b

范围:? ? a, b? ? ? 在这个规定下,两个向 0 量的夹角就
如果? a, b? ?

被唯一确定了,并且 a, b?=?b, a? ? ?
2

, 则称 a与b互相垂直,并记作: ? b a

2)两个向量的数量积
设OA ? a, 则有向线段OA 的长度叫做向量 的长度或模, 记作: a a 已知空间两个向量 , b,则 a b cos? a, b?叫做向量a, b的数量积, a 记作:? b,即 a a ? b ? a b cos? a, b?

注意: ①两个向量的数量积是数量,而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。

3)空间向量的数量积性质 ? ? 对于非零向量a , b ,有:
1) a ? e ? a cos? a, e? 2) a ? b ? a ? b ? 0 3) a ? a ? a
2

注意: ①性质2)是证明两向量垂直的依据;

②性质3)是求向量的长度(模)的依据;

4)空间向量的数量积满足的运算律

1) (? a) ? b ? ? (a ? b) 2) a ? b ? b ? a (交换律) 3) ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c (分配律) a
注意: 数量积不满足结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

思考
1.下列命题成立吗? ? ? ? ? ? ? b?c a?b ? a?c ①若 ? ? ,则 ? k ? a ? b ? k ,则 a ? b ②若
? ? ? ? ? ? ③ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

? ? ?

? ? 2 ? ? ,a?b ? ? 2 , 2. 已知 a ? 2 2 , b ? 2 ? ? ? 135 则 a 与b 的夹角大小为_____.

3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示

复习:

平面向量基本定理:

如果e1,2是同一平面内的两个不 e 共线向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a,有且只有 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e 2。 (e1、2叫做表示这一平面内所 e 有向量的一组基底。)

平面向量的正交分解及坐标表示

? ? ? a ? xi?? y j ?

y

? a
x

? ? i ? (1,0), j ? (0,1),0 ? (0,0). i

? o j

在空间中,能得出类似的结论: 一、空间向量基本定理:

? ?? 如果三个向量 a, b, c不共面,那么对空间任一 ??

向量 p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z, ? ? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc. 使
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

? ?? a, b, c 都叫做基向量

注:对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面,

? (2) 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任 意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着 ? 它们都不是 0 。
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基 底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念。

还应明确: (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

?? ? 特殊的: i, j, k两两垂直时
???? ? ? OQ ? xi ? y j. ??? ??? ? ? ? ? ? ? OP ? OQ ? zk ??xi ??y j ? zk. ? 由此可知,如果 i, j , k 是空间两
??? ???? ? ? OP ? OQ ? zk.
两垂直的向量,那么,对空间任一 ?? 向量 p ,存在一个有序实数组 ? ? ? ? ? {x,y,z}使得 p ? xi ? y j ? zk .

z

?? ? ? ? 我们称 xi, y j, zk 为向量 p ?? ?



? k ? ? j O i
x

?? p

P

y Q

i, j, k上的分向量。

这种分解我们把它叫做空间向 量的正交分解.

二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标

单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示

空间向量的直角坐标:
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量, 由空间向量基本定理,存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标, 记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的 横坐标,y叫做点A的纵坐标, z叫做点A的竖坐标.
e3 e1 O e2 y

z

A(x,y,z)

x

例1、

空间直角坐标的考查

e2 e3 AB 1、在空间坐标系o-xyz中, ? e1 ? 2e2 ? 3e2 ( e1、、 分 别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 AB 的坐标为 。
2、点M(2,-3,-4)在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正 投影的坐标分别为 ,关于原点的对称点 为 ,关于轴的对称点为 ,

空间向量运算 的坐标表示

一、向量的直角坐标运算

? ? a? ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R) ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
? ? a // b ?

? ? 设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ) , 则 ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )

?? ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0.(a, b都不是零向量)

a1 ? ? b1 , a2 ? ? b2 , a3 ? ? b3 (? ? R)

若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个

向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

二、距离与夹角的坐标表示
1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式

? ? 2 2 2 已知 a ? ( x, y, z) ,则 a ? x ? y ? z
注意:此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。

(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、 B( x2 , y2 , z2 ) ,则

???? AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

???? ???? ???? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 ?| AB |? AB?AB ?

d A, B ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2

2

2.两个向量夹角公式
? ? 已知 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 a?b 则 cos a , b ? ? ? ? a?b x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2

注意:

? ? ? ? (1)当 cos ? a , b ?? 1 时, 与 b 同向; a

? ? ? a (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时, 与

? b 反向; ? ? ? ? (3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

3.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2

例1

如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 B1 E1 ? 中,
A1 B1 ,求 BE1 4
C1 E1 B1

? D1 F1 ?

与 DF1 所成的角的余弦值.
解:设正方体的棱长为1,如图建 立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

z
D1 A1 F1

? 1 ? D(0 , 0 , 0) , F1 ? 0 , ,1 ? . ? 4 ? D y ???? ? 3 ? C ? O 1 ? ? BE1 ? ? 1 , , 1 ? ? (1 , 1 , 0) ? ? 0 , ? , 1 ? , 4 ? ? 4 ? ? A B ? ? ???? 15 x ? ? 1 ? ? 1? 1 ? 1 ? ???? ???? DF1 ?? 0 , ,1 ?? (0 , 0 , 0)? ? 0 , ,1 ? . BE1 ?DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? , 16 ? 4? 4 ? 4 ? ? 4 ? 15 ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? ???? 17 ???? 17 ? ? BE1 ?DF1 15 16 ? ? ? . | BE1 |? , | DF1 |? . ? cos ? BE1 , DF1 ?? ???? ???? ? | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 4 4 ? 4 4

? 3 ? B(1 , 1 , 0) , E1 ? 1 , , 1 ? , ? 4 ?

例 2 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E ,F 分别是 BB1 ,D1 B1 中点,求证: EF ? DA1
证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, ??? ? ???? ???? ? 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz , 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 ???? 1 1 1 EF ? ( ? , ? , ) , 所以 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) , ???? ? 所以 DA1 ? (1, 0 , 1) ???? ???? ? 1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 ??? ???? ? ? 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1

例 3.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中 , E 、F 分别是 BB1 、 的中点,求证: D1F ? 平面ADE . CD z 证明: 设正方体的棱长为1,

? AD ? D1F . 又 AE ? (0,1, ), 2 ??? ???? ? ? 1 1
2 2

??? ? ???? ? 1 则 AD ? ( ?1,0,0), D1F ? (0, , ?1), ??? ???? ? ? 1 2 AD ? D1F ? (?1,0,0) ? (0, , ?1) ? 0. ??? ???? ? ? ??? 2 1 ?

建立如图的空间直角坐标系

??? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ? DA ? i , DC ? j , DD1 ? k .

D1

C1 B1

A1 D A

E F
B C

y

x

??? ???? ? ? AE ? D1 F ? (0,1, ) ? (0, , ?1) ? 0. ? AE ? D1F .

又A D ? A E= A , D1F ? 平面ADE . ?
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F ? AD, AE ? AD得证.

例 4.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥面 ODC1.

? ? ? 1 ? ? ?? b ) 则 c ? a ? x ? ( ? a ? c? ? ?2 ? ? ? ? ∵ a , ,不同面, b c

???? ? ? ???? 1 ? ? ? ? ????? ? ????? ? ???? ? ? C a ) 证明:设 C1 B1 ? a , 1 D1 ? b , 1C ? c ,则 B1C ? c ? a , 1O ? ( ? b , C C ??? ???? ? 1 ? ? ? ? ? ???? ? ??? 2 ???? ? ? OD ? OD1 ? c ? ( ? a ? c ,若存在实数 x , y ,使得 B1C ? xOD ? yOC1成立, b ) 2
? 1 ? ? 1 ? 1 ? ?? y ? ? ( ? b ? ? ? (x ? y a ? (x ? y b ? xc a ) ) ) 2 2? ? 2 ?

?1 ( ) ?2 x ? y ? 1 ???? ??? ???? ? ? ? ? ? x ? 1 ∴ B1C ? OD ? OC1, ∴?1 (x ? y ? 0 即 ? ) ? ?y ?1 ?2 ?x ? 1 ? ? ? ???? ??? ???? ? ???? ? ??? ???? ? ? ?

b ? a ? c

∵ B1C, , 1 为共面向量,且 B1C不在OD OC1所确定的平面ODC1 内 OD OC , ???? ? ∴ B1C // 平面ODC1,即B1C // 平面ODC1 .

小 结:
通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中 的以下问题:

1、证明两直线垂直;
2、求两点之间的距离或线段长度;

3、求两直线所成角.

小结:
1、空间向量的坐标运算; 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关 系的关键:
首先要选定单位正交基,进而确定各向量 的坐标,再利用向量的坐标运算确定几何关系。



更多相关文章:
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案3
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(1) 》教学 案3 教学目标 1.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算。 2.会根据向量的坐标判断两个空间向量平行...
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案1
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案1_高二数学_数学_高中教育_...空间向量的 数量积的概念?表示?性质?运算律? 问题 2:说说平面向量的基本定理?...
3.1.5空间向量运算的坐标表示教案
高二数学教学设计——3.1.5 空间向量运算的坐标表示 设计人:董永兴 教材分析:...学习重点: 1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。 2、掌握向量的...
3.1.5空间向量运算的坐标表示
;(3)A 点拨:由共面向量基本定理可得。 点评:空间向量的坐标运算除了数量积外...3.1.4--3.1.5空间向量运... 26页 5下载券 3[1].1.5空间向量运算的.....
3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示导学案
江门市新会陈瑞琪中学 数学科讲学稿 年级:高二 内容:3.1.5 空间向量运算的坐标...掌握空间向量加、减法和数乘的坐标表示; 2、 掌握数量积的坐标表示; 3、能够...
3.1.5空间向量运算的坐标表示
3.1.5 空间向量运算的坐标表示 教学目标重点: 空间直角坐标系,空间向量运算的...对运算的理解: 如证明向量的数量积运算 设 i , j , k 为单位正交基底,则...
3.1.3 空间向量的数量积运算教案。
高二年级 数学 学科 课题 §3.1.3 空间向量的数量积运算第 1 课时 授课类型 新授课 授课时间 2012 年 12 月 24 日 教学目标 知识与技能:① 掌握空间向量的...
空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修 2-1 第章第一节的内容,前面学生已经把平面向量及其 加减和数乘运算推广到空间,本节内容从空间向量的正交分解出发,...
3.1.3空间向量的数量积运算
3.1.3 空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上, 引入了空间向量的夹角和向量长 度的概念和表示方法,介绍了...
...数学3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及...
浙江省台州市高中数学3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解坐标表示学案新人教A版选修2-1讲解_高考_高中教育_教育专区。3.1.4 空间向量的正交分解及坐标...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图