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【高考A计划】2014高考数学第一轮复习 第6课时 充要条件学案 新人教A版



【高考 A 计划】2014 高考数学第一轮复习 第 6 课时 充要条件学案 新人 教A版
一.课题:充要条件 二.教学目标:掌握充分必要条件的意义,能够判定给定的两个命题的充要关系. 三.教学重点:充要条件关系的判定. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.充要条件的概念及关系的判定; 2.充要条件关系的证明. (二)主要方法: 1.判断充要关系的关键是分清条件和结论;

2.判断 p ? q 是否正确的本质是判断命题“若 p ,则 q ”的真假; 3.判断充要条件关系的三种方法: ①定义法;②利用原命题和逆否命题的等价性;③用数形结合法(或图解法) . 4.说明不充分或不必要时,常构造反例. (三)例题分析: 例 1.指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件(在“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既 不充分也不必要”中选一种作答) (1)在 ?ABC 中, p : A ? B , q : sin A ? sin B (2)对于实数 x, y , p : x ? y ? 8 , q : x ? 2 或 y ? 6 (3)在 ?ABC 中, p : sin A ? sin B , q : tan A ? tan B (4)已知 x, y ? R , p : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 0 , q : ( x ? 1)( y ? 2) ? 0

a b ? sin A sin B ∴ sin A ? sin B ? a ? b 又由 a ? b ? A ? B 所以, sin A ? sin B ? A ? B 即 p 是 q 的的充要条件. (2)因为命题“若 x ? 2 且 y ? 6 ,则 x ? y ? 8 ”是真命题,故 p ? q , 命题“若 x ? y ? 8 ,则 x ? 2 且 y ? 6 ”是假命题,故 q 不能推出 p , 所以 p 是 q 的充分不必要条件.
解: (1)在 ?ABC 中,有正弦定理知道: (3)取 A ? 120 , B ? 30 , p 不能推导出 q ;取 A ? 30 , B ? 120 , q 不能推导出 p 所以, p 是 q 的既不充分也不必要条件. (4)因为 P ? {(1, 2)} , Q ? {( x, y) | x ? 1 或 y ? 2} , P ? Q ,

?

所以, p 是 q 的充分非必要条件. 例 2.设 x, y ? R ,则 x ? y ? 2 是 | x | ? | y |? 2 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 解:由图形可以知道选择 B,D. (图略)
2 2

) 、是 | x | ? | y |? 2 的( ) D.既不充分也不必要条件

例 3.若命题甲是命题乙的充分非必要条件,命题丙是命题乙的必要非充分条件,命题丁是命题丙 的充要条件,则命题丁是命题甲的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:因为甲是乙的充分非必要条件,故甲能推出乙,乙不能推出甲,
1

因为丙是乙的必要非充分条件,故乙能推出丙,丙不能推出乙, 因为丁是丙的充要条件,故丁能推出丙,丙也能推出丁, 由此可知,甲能推出丁,丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件,选 B. 例 4.设 x, y ? R ,求证: | x ? y |?| x | ? | y | 成立的充要条件是 xy ? 0 . 证明: 充分性: 如果 xy ? 0 , 那么, ① x ? 0, y ? 0 ② x ? 0, y ? 0 ③ x ? 0, y ? 0 于是 | x ? y |?| x | ? | y | 如果 xy ? 0 即 x ? 0, y ? 0 或 x ? 0, y ? 0 , 当 x ? 0, y ? 0 时, | x ? y |? x ? y ?| x | ? | y | , 当 x ? 0, y ? 0 时, | x ? y |? ? x ? y ? (? x) ? (? y) ?| x | ? | y | , 总之,当 xy ? 0 时, | x ? y |?| x | ? | y | . 必要性:由 | x ? y |?| x | ? | y | 及 x, y ? R 得 ( x ? y)2 ? (| x | ? | y |)2 即 x2 ? 2xy ? y 2 ? x2 ? 2 | xy | ? y 2 得 | xy |? xy 所以 xy ? 0 故必要性成立, 综上,原命题成立. 例 5. 已知数列 {an } 的通项 an ?
*

1 1 ? ? n?3 n?4

?

1 11 2 2 log (t ?1) t , 为了使不等式 an ? log t (t ? 1) ? 2n ? 3 20

对任意 n ? N 恒成立的充要条件.

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?( ? )?( ? )?0, 2n ? 4 2n ? 5 n ? 3 2n ? 4 2 n ? 6 2n ? 5 2n ? 6 则 an ? an?1 ? an?2 ? ? a2 ? a1 ,
解:∵ an ?1 ? an ? 欲使得题设中的不等式对任意 n ? N 恒成立,
*

只须 {an } 的最小项 a1 ? log t (t ? 1) ?
2

11 log (2t ?1) t 即可, 20

又因为 a1 ?

1 1 9 ? ? , 4 5 20
2

即只须 t ? 1 ? 1 且 log t (t ? 1) ?

9 11 log t2 (t ? 1) ? ? 0, 20 20

解得 ?1 ? logt (t ?1) ? t (t ? 1) , 即0 ?

1 ? t ? 1 ? t (t ? 2) , t

解得实数 t 应满足的关系为 t ?

1? 5 且t ? 2 . 2
2

例 6. (1)是否存在实数 m ,使得 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的充分条件? (2)是否存在实数 m ,使得 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的必要条件?
2

解:欲使得 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的充分条件,则只要 {x | x ? ?
2

m } ? {x | x ? ?1 或 x ? 3} , 2

m ? ?1 即 m ? 2 , 2 2 故存在实数 m ? 2 时,使 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的充分条件.
则只要 ?
2

(2)欲使 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的必要条件,则只要 {x | x ? ?
2

m } ? {x | x ? ?1 或 x ? 3} , 2

则这是不可能的, 故不存在实数 m 时,使 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的必要条件. (四)巩固练习: 1.若非空集合 M ? N ,则“ a ? M 或 a ? N ”是“ a ? M N ”的
2

? 2. 0 ? x ? 5 是 | x ? 2 |? 3 的 条件. 3.直线 a , b 和平面 ? , ? , a // b 的一个充分条件是( ) A. a // ? , b // ? B. a // ? , b // ? , ? // ? C. a ? ? , b ? ? , ? // ? D. a ? ? , b ? ? , ? ? ?

条件.

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 6,智能训练 2,7,8,15,16.

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