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【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:7.5 圆及直线与圆的位置关系



§7.5

圆及直线与圆的位置关系

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.圆的定义及方程
定义 标准方程

定点 定长 平面内与______的距离等于______的 限定条件 点的集合(轨迹) (a,b) (x-a)2+(y-b)2 圆心:________,半 r>0 =r2 径:r
x2+y2+Dx+Ey +F=0
?x=a+rcos θ ? ? ?y=b+rsin θ ?
D E (- ,- ) 2 2 圆心:__________,

一般方程

半径: 1 D2+E2-4F __________________ 2

D2+E2- 4F>0

参数方程

(a,b) 圆心:______, r 半径:_____

目录

2.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r) 相离 相切 相交

图形

量 化

方程 观点 几何 观点

< Δ____0 > d_____r

= Δ____0 = d____r

> Δ____0
< d___r

目录

3.圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2,d=|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含

图形

量的 r1+r2 r1+r2 d>_______ d=_____ 关系

|r1-r2|< d<r1+r2

d= |r1-r d<_____2| |r1-r2| ________

目录

思考探究
1.确定一个圆的方程需要几个独立条件? 提示:针对圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2,只要确定a,b,r

就可.对圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,需要确定D、E、
F三个系数就可.故确定一个圆的方程,需要三个独立条件. 2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条

件是什么?

?A=C≠0 ? 提示:?B=0 . ?D2+E2-4F>0 ?
目录

课前热身
1. (教材改编)设圆的方程 x2+y2=4, 过圆上点 M(- 2, 2) - 的切线方程为( A.y=x C.x+y+2 2=0 ) B.x+y+2=0 D.x+y+ 2=0

答案:C

目录

?x=cos θ-1 ? 2.曲线 C:? (θ 为参数)的普通方程为( ?y=sin θ+1 ?

)

A.(x-1)2+(y+1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y-1)2=1

答案:C

目录

3.(2012· 高考重庆卷)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+

y2=2的位置关系一定是(
A.相离 C.相交但直线不过圆心

)
B.相切 D.相交且直线过圆心

解析:选 C.∵x2+y2=2 的圆心(0,0)到直线 y=kx+1 的距离 d |0-0+1| 1 = = ≤1, 2 2 1+k 1+k 又∵r= 2,∴0<d<r.∴直线与圆相交但直线不过圆心.

目录

4.圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为 ________. 答案:(x-1)2+(y-2)2=4 5.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的

弦长为________.
答案:2 3

目录

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 求圆的方程 求圆的方程有两类方法:(1)几何法,通过研究圆的性质、直 线和圆、 圆与圆的位置关系, 进而求得圆的基本量和方程; (2) 代数法,即用“待定系数法”求圆的方程,其一般步骤是: ①根据题意选择方程的形式:标准形式或一般形式; ②利用条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; ③解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程,另 外,根据条件,设方程时尽量减少参数,这样可减少运算量.

目录

例1 根据下列条件求圆的方程.
(1)经过坐标原点和点 P(1,1), 并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上; (2)经过 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段 长为 4 3.
【思路分析】 (1)利用圆心在 OP 的垂直平分线和 2x+3y+1= 0 的交点,直接求圆心.也可利用一般式 x2+y2+Dx+Ey=0, 建立 D、E 的方程. (2)设一般式,利用 P、Q,弦长 4 3来确定.

目录

【解】 (1)法一:显然,所求圆的圆心在 OP 的垂直平分线上, OP 的垂直平分线方程为: x2+y2= ?x-1? 2+?y-1? 2, ?x+y-1=0, ? 即 x+y-1=0.解方程组? ?2x+3y+1=0, ? 得圆心 C 的坐标为(4,-3).又圆的半径 r=|OC|=5, 所以所求圆的方程为:(x-4)2+(y+3)2=25. 法二:∵圆过原点,∴方程可设为 x2+y2+Dx+Ey=0. 过点 P(1,1),∴1+1+D+E=0.① D E 圆心(- ,- )在 2x+3y+1=0 上, 2 2 ?D=-8 ? 3E ∴-D- +1=0.②由①②得? . 2 ?E=6 ? ∴方程为 x2+y2-8x+6y=0.
目录

(2)设的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,① 将 P、Q 点的坐标分别代入①, ?4D-2E+F=-20, ② ? 得? ?D-3E-F=10, ③ ? 令 x=0,由①得 y2+Ey+F=0,④ 由已知|y1-y2|=4 3,其中 y1、y2 是方程④的两根, 所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48,⑤

?D=-2, ? 解②、③、⑤组成的方程组,得?E=0, ?F=-12, ?
故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0.

?D=-10, ? 或?E=-8, ?F=4, ?

目录

【领悟归纳】

无论是圆的标准方程或是圆的一般方程,都

有三个待定系数,因此求圆的方程,应有三个条件.一般地,
已知圆心或半径的条件,选用标准式,否则选用一般式.

目录

考点2

直线与圆的位置关系

在解决直线与圆的问题时,要注意应用数形结合的思想,利
用圆的几何性质简化解题过程.

目录

例2

已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆

(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过M点的圆的切线方程; (2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值. 【思路分析】 (1)设出切线方程易求.

(2)利用d=r可求.

目录

【解】

(1)由题意可知 M 在圆(x-1)2+(y-2)2=4 外,

故当 x=3 时满足与圆相切. 当斜率存在时设为 y-1=k(x-3),即 kx-y-3k+1=0. |k-2+1-3k| 3 由 =2,∴k= ,∴所求的切线方程为 2 4 k +1 x=3 或 3x-4y-5=0. (2)由 ax-y+4=0 与圆相切知 |a-2+4| 4 =2,∴a=0 或 a= . 2 3 1+a
目录

【失误警示】

待定切线斜率时,要注意斜率不存在的情况,

要用数形结合法检验,同时要确定点与圆的位置关系.

目录

跟踪训练
1.在本例中,若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且 弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值.
解:圆心到直线的距离 d=
2

|a+2| 1+a
2

2



l 2 3 又 l=2 3,r=2,∴由 r =d +( ) ,可得 a=- . 2 4

目录

考点3

圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系综合了点与圆、直线与圆的位置关系特征,

同时也体现了圆本身的特征,圆心距与半径的关系.

目录

例3

圆 O1 的 方 程 为 : x2 + (y + 1)2 = 4 , 圆 O2 的 圆 心

O2(2,1).若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求内公切
线方程.

【思路分析】

设⊙O2的半径,由|O1O2|=r1+r2待定,内公

切线垂直于O1O2.

目录

【解】 设⊙O2 的半径为 r2 ⊙O1 的圆心 O1(0,-1),r1=2, 由|O1O2|=r1+r2 即 ?0-2? 2+?-1-1? 2=2+r2, ∴r2=2 2-2, ∴⊙O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4( 2-1)2. ⊙O1 方程:x2+y2+2y=3,① ⊙O2 方程:x2+y2-4x-2y=7-8 2,② ∴①-②得 4x+4y =-4+8 2, ∴x+y+1-2 2=0 为内公切线方程.

目录

【思维总结】

本题求内公切线方程时,用了圆系方程:

(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0, 当λ=-1时,表示过两圆公共点的直线.

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跟踪训练
2.若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且|AB|=2 2,求圆 O2 的方程.

1-?-1? 解:∵AB⊥O1O2,kO1O2= =1,∴kAB=-1, 2 设 AB 方程为 y=-x+b,即 x+y-b=0, |-1-b| O1 到 AB 的距离为 d1= , 2 ∵r1=2,r2=d2+( 2)2,∴d2=4-2=2, 1 1 1 ∴|1+b|=2,∴b=1 或 b=-3. 当 b=1 时,AB 方程为 x+y-1=0, |2+1-1| ∴O2 到 AB 的距离为 d2= = 2, 2
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∴r2=d2+( 2)2=4, 2 2 ∴⊙O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 当 b=-3 时,AB 方程为 x+y+3=0, 6 O2 到 AB 的距离 d3= . 2 6 2 2 ∴r2=( ) +( 2)2=20. 2 ∴⊙O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=20, 综上可知⊙O2 的方程为 (x-2)2+(y-1)2=4 或(x-2)2+(y-1)2=20.

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方法感悟
方法技巧

1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参
数”是求圆的方程的基本方法,是指根据题设条件恰当选择圆 的方程的形式,进而确定其中的三个参数. 2.求切线方程的4种方法:(1)设切点用切线公式;(2)设有关 点利用向量数量积等于零;(3)设切线斜率利用判别式;(4)设 切线斜率利用圆心到切线的距离等于半径.

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3.两圆公切线的条数:
(1)两圆内含时,公切线条数为0; (2)两圆内切时,公切线条数为1; (3)两圆相交时,公切线条数为2; (4)两圆外切时,公切线条数为3; (5)两圆相离时,公切线条数为4. 4.若两圆相交时,把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆

的公共弦所在的直线方程.

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失误防范
1.过圆外一定点,求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一 个结果,应该考虑切线斜率不存在的情况. 2.圆系:(x2 +y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2) =0 不能表示圆 x2+y2+D2x+E2y+F2=0.

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考向瞭望把脉高考
命题预测
从近两年高考试题分析,圆与直线及圆与圆的位置关系试题 是高考命题的热点,尤其是直线与圆的位置关系,构成了解 析几何问题的基础,并为后继解决直线与圆锥曲线的位置关 系埋下伏笔.试题多以选择题、填空题为主,难度不大,注 重“三基”的考查,注意挖掘基础知识的能力因素,展示通法, 结合圆的有关性质便可顺利得解.同时与函数、方程、不等 式有机结合,加强学生思维能力的考查.

目录

2011年的高考中,大纲全国卷中以圆的切线为背景考查了求圆 心距,重庆卷综合考查了求直线、圆、抛物线相切为背景的 半径r的最值问题,湖北卷则考查了直线,圆弦长为条件求直

线的斜率问题.福建卷求圆的轨迹方程等,都是以考查基本
知识、基本方法、基本技能为出发点的中档难度题目.2012年 高考中,陕西卷、江苏卷、天津卷均以客观题的形式考查直 线与圆的位置关系问题. 预测2014年高考,试题以选择题、填空题为主,突出考查切

线方程、弦长等内容,结合圆的有关性质,通过数形结合思
想优化解题程序,在复习时应重点对待,不可忽视.
目录

规范解答 例 (本题满分13分)(2011· 高考福建卷)已知直线l:y=x+

m,m∈R.

(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,
求该圆的方程. (2)若直线l关于x轴对称的直线为l′,问直线l′与抛物线C: x2=4y是否相切?说明理由.

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【解】

(1)法一:依题意,点 P 的坐标为(0,m). 0-m 因为 MP⊥l,所以 ×1=-1, 2-0 解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2). 从而圆的半径 r=|MP|= ?2-0? 2+?0-2?2=2 2, 故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.(6 分) 法二:设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2. 依题意,所求圆与直线 l:x-y+m=0 相切于点 P(0,m), 4+m2=r2, ? m=2,

? ? 则?|2-0+m| 解得? =r, ?r=2 2. ? ? 2

所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.(6 分)
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(2)因为直线 l 的方程为 y=x+m, 所以直线 l′的方程为 y=-x-m,
?y=-x-m, ? 由? 2 得 x2+4x+4m=0.(8 分) ? ?x =4y

Δ=42-4×4m=16(1-m). 当 m=1,即 Δ=0 时,直线 l′与抛物线 C 相切; 当 m≠1,即 Δ≠0 时,直线 l′与抛物线 C 不相切. 综上,当 m=1 时,直线 l′与抛物线 C 相切; 当 m≠1 时,直线 l′与抛物线 C 不相切.(13 分)

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【名师点评】

本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识、

考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想, 化归与转化思想及分类整合思想.

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知能演练轻松闯关

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