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2015年北京市海淀区高三二模数学(文)试题Word版带解析



海淀区高三年级第二学期期末练习数学(文) 2015.5
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)在复平面内,复数 i2 (1 ? i) 对应的点位于( (A)第一象限 【难度】1 【答案】B 【解析】 (B)第二象限 ) (D)第四象限

(C)第三象限

考点】复数综合运算

i2 (1 ? i) ? ?(1 ? i) ? ?1 ? i ,在复平面上对应的点位于第二象限,选 B
(2)已知命题 p : ?x ? 0, x ?

1 ? 2 ,则 ? p 为( x



(A) ? x ? 0, x ?

1 1 ? 2 (B) ? x ? 0, x ? ? 2 x x 1 1 ? 2 (D) ? x ? 0, x ? ? 2 x x

(C) ? x ? 0, x ?

【考点】全称量词与存在性量词 【难度】1 【答案】D 【解析】 全称命题的否定是特称命题,所以 ?p : 为: ? x ? 0, x ?
2 2

1 ? 2 ,选 D x
) (D) (2, ?1), 2

(3)圆 C : x ? y ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 的圆心坐标及半径分别是( (A) (?2,1), 2 (B) (2,1), 2 (C) (?2,1), 2

【考点】圆的标准方程与一般方程 【难度】1 【答案】A 【解析】 圆方程可转化为: ( x ? 2) ? (y?1) ? 2 ,所以圆心为 (?2,1) , r ?
2 2

2 ,选 A

(4)右图表示的是求首项为 ?41 ,公差为 2 的等差数列 {an } 前 n 项和的最小值的程序框图.则①处可填写 ( )

第 1 页 共 13 页

(A) S ? 0 【难度】2 【答案】C 【解析】

(B) S ? 0

(C) a ? 0

(D) a ? 0

【考点】等差数列;算法和程序框图

因为 a1 ? 0 , d ? 0 ,所以 Sn 有最大值, 等差数列 ?an ? 前 n 项和取得最小值的条件是 ?

? an ? 0 , ? an ?1 ? 0

所以判断是否跳出循环的条件为: a ? 0 ,选 C (5)已知点 A(a, a)(a ? 0) , B(1, 0) ,O 为坐标原点.若点 C 在直线 OA 上,且 BC 与 OA 垂直,则点 C 的 坐标是( )

(A) ( , ? ) 【考点】直线综合 【难度】1 【答案】D 【解析】

1 2

1 2

(B) ( , ? )

a 2

a 2

(C) ( ,

a a ) 2 2

(D) ( , )

1 1 2 2

点 A(a, a ) 所在直线方程为: y ? x , 因为点 C 在直线 OA 上,所以设点 C (c, c) , 因为 BC 与 OA 垂直,所以 kBC ? kOA ? ?1 , 即

c?0 1 ? ?1 ,解得: c ? c ?1 2
第 2 页 共 13 页

所以,点 C ( , ) ,选 D (6)在 ?ABC 中,若 a ? 3, c ? (A) 4 【考点】余弦定理 【难度】2 【答案】C 【解析】 (B) 6

1 1 2 2

3, ?A ?

? ,则 b ? ( 3

) (D) 6

(C) 2 3

b2 ? c2 ? a 2 ? b2 ? ( 3)2 ? 32 由余弦定理得: cos A ? ,即 cos ? 2?b ?c 3 2?b ? 3
解得: b ? 2 3 ,选 C (7)设 a ? 0.23 , b ? log2 0.3, c ? log0.3 2 ,则( (A) b ? a ? c 【难度】2 【答案】B 【解析】 (B) b ? c ? a ) (D) a ? b ? c

(C) c ? b ? a

【考点】对数与对数函数

0 ? a ? 0.23 ? 0.20 ? 1 ,所以 0 ? a ? 1 ;

b ? log2 0.3 ? log2 0.5 ? ?1 ,所以 b ? ?1 ;
c ? log0.3 2 ? 1 1 ? ,所以 ?1 ? c ? 0 ; log 2 0.3 b
?1 10 3 0.3

(另解: ?1 ? log0.3 0.3 ? log 综上, b ? c ? a ,选 B

? log0.3 2 ? c ? log0.3 1 ? 0 )

? x ? y ? 4, ? (8)已知不等式组 ? x ? y ? ?2, 表示的平面区域为 D ,点 O(0, 0), A(1, 0) .若点 M 是 D 上的动点,则 ?x ? 2 ? uur uuur OA ? OM uuur 的最小值是( ) OM
(A)

2 2

(B)

5 5

(C)

10 10

(D)

3 10 10

【考点】线性规划 【难度】2
第 3 页 共 13 页

【答案】C 【解析】

uur uuur uur uuur uur uuur OA ? OM OA ? OM uuur ? uur uuur ? cos ? OA, OM ? , OM OA ? OM
由图可知,最小值为: cos ?BOA ?

10 10

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)以坐标原点为顶点, (?1, 0) 为焦点的抛物线的方程为 【考点】抛物线 【难度】1 【答案】 y 2 ? ?4x 【解析】 由题意得, .

p ? 1 ,即 p ? 2 ,抛物线的方程为: y 2 ? ?4x 2
.

* (10)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , an ? 0 (n ? N ) , an an ?1 ? Sn ,则 a3 ? a1 ?

【考点】数列的递推关系 【难度】1 【答案】 1 【解析】 由题意得:当 n ? 2 时,

anan?1 ? Sn ?(1)
an?1an ? Sn?1 ?(2)
第 4 页 共 13 页

(1) ? (2) 得: an (an?1 ? an ) ? Sn ? Sn?1 ? an
因为 an ? 0 ,所以, an?1 ? an ? 1 , 所以,令 n ? 3 得, a3 ? a1 ? 1 (11)已知 f ( x) ? cos x ? ln x , f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? 0( x0 ? x1 ) ,则 x0 ? x1 的最小值是 【考点】零点与方程 【难度】2 【答案】 【解析】 令 cos x ? ln x ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 所以, ( x0 ? x1 ) ? .

? ?1 2

?
2

? k? , k ? Z

?
2

?1
.(写出一组值即可)

(12)满足 cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? 的 ? , ? 的一组值是 【考点】恒等变换综合 【难度】2

? ? ?? , ? ? 2 【答案】 ? ?? ? ? ? . ? ? 4
【解析】 令? ?

?
2

得: cos(

?
2

? ? ) ? cos

?
2

? cos ? ,即 ? sin ? ? cos ?

所以, tan ? ? ?1,则 ? ? ?

?
4

? k? , k ? Z

? ? ?? , ? ? 2 所以,答案为: ? ?? ? ? ? . ? ? 4
(13)函数 f ( x) ? x e 的极值点 x0 ?
3 x

,曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程是

.

【考点】导数的概念和几何意义 【难度】2 【答案】 ?3 , y ? ?27e 【解析】
?3

第 5 页 共 13 页

f ? ? x ? ? 3x2ex ? x3ex ? ( x ? 3) x2ex ,令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? ?3
当 x ? ?3 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减; 当 x ? ?3 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增; 当 x ? ?3 时, f ? x ? 取得极小值。 因为 f ? ?3? ? ?27 ? e?3 , 所以,曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程是 y ? ?27 ? e?3 (14)某网络机构公布某单位关于上网者使用网络浏览器 A, B 的信息: ①316 人使用 A ; ②478 人使用 B ; ③104 人同时使用 A 和 B ; ④567 人只使用 A, B 中的一种网络浏览器. 则这条信息为 (填“真”或“假”) ,理由是 .

【考点】合情推理与演绎推理 【难度】2 【答案】假,由①②③可知只使用一种网络浏览器的人数是 212+374=586,这与④矛盾 【解析】 由①③可知只使用 A 的人数是 316 ? 104 ? 212 , 由②③可知只使用 B 的人数是 478 ? 104 ? 374 , 212+374=586,这与④矛盾。 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 4sin x ? cos 2 x . (Ⅰ)求 f ( ) ; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小值. 【考点】三角函数综合 【难度】3 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ) f ( ) ? 4sin

π 6

π 6

π π 1 1 3 ? cos ? 4 ? ? ? . 6 3 2 2 2
第 6 页 共 13 页

(Ⅱ)因为 f ( x) ? 4sin x ? cos 2 x

? 4sin x ? (1 ? 2sin 2 x)

? 2sin 2 x ? 4sin x ? 1 ? 2(sin x ? 1)2 ? 3 .
因为 ?1 ? sin x ? 1 ,所以 当 sin x ? ?1 , 即 x ? 2k ? ?

? , k ? Z 时, f ( x ) 取得最小值 ?3 . 2

(16) (本小题满分 13 分) 某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况,随机抽取男、女生各 20 名进行测试,记录的数据 如下:

已知该项目评分标准为:

(Ⅰ)求上述 20 名女生得分 的中位数和众数; .. (Ⅱ)从上述 20 名男生中,有 6 人的投掷距离低于 7.0 米,现从这 6 名男生中随机抽取 2 名男生,求抽取 的 2 名男生得分都是 4 分的概率; (Ⅲ)根据以上样本数据和你所学的统计知识,试估计该年级学生实心球项目的整体情况.(写出两个结论 即可) 【考点】概率综合 【难度】3 【答案】见解析 【解析】 解. (Ⅰ) 20 名女生掷实心球得分如下: 5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10. 所以中位数为 8,众数为 9. (Ⅱ) 由题意可知,掷距离低于 7.0 米的男生的得分如下:4,4,4,6,6,6.
第 7 页 共 13 页

这 6 名男生分别记为 A 1, A 2, A 3, B 1 , B2 , B3 .从这 6 名男生中随机抽取 2 名男生, 所有可能的结果有 15 种,它们是:

( A1, A2 ),( A1, A3 ),( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A1, B3 ),( A2 , A3 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , B3 )



( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( A3 , B3 ),( B1, B2 ),( B1, B3 ),( B2 , B3 ) .
用 C 表示“抽取的 2 名男生得分均为 4 分”这一事件, 则 C 中的结果有 3 个,它们是:

( A1 , A2 ),( A1 , A3 ),( A2 , A3 ) .
所以,所求得概率 P (C ) ? (Ⅲ)略. (17) (本小题满分 13 分) 如 图 所 示,在 四棱锥 P? ABCD 中 , PD ? 平 面 A B C D , 又 AD / / BC , AD ? DC , 且

3 1 ? . 15 5

PD ? BC ? 3 AD ? 3 .
(Ⅰ)画出四棱准 P ? ABCD 的正视图; (Ⅱ)求证:平面 PAD ? 平面 PCD ; (Ⅲ)求证:棱 PB 上存在一点 E ,使得 AE / / 平面 PCD ,并求

PE 的值. EB

P

D C

A B

【考点】立体几何综合 【难度】3 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:四棱准 P ? ABCD 的正视图如图所示.

第 8 页 共 13 页

(Ⅱ)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , 所以 PD ? AD . 因为 AD ? DC , PD ? CD ? D , PD ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , 所以 AD ? 平面 PCD . 因为 AD ? 平面 PAD , 所以 平面 PAD ? 平面 PCD . (Ⅲ)分别延长 CD, BA 交于点 O ,连接 PO ,在棱 PB 上取一点 E ,使得

PE 1 ? . EB 2

下证 AE / / 平面 PCD . 因为 AD / / BC , BC ? 3 AD ,

OA AD 1 OA 1 ? ? ,即 ? . OB BC 3 AB 2 OA PE ? 所以 . AB EB 所以 AE //OP .
所以 因为 OP ? 平面 PCD , AE ? 平面 PCD , 所以 AE / / 平面 PCD . (18) (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,又数列 {bn } 满足 bn ? 2 log2 an , Sn 是数列 {bn } 的前 n 项和. (Ⅰ)求 Sn ;
第 9 页 共 13 页

(Ⅱ)若对任意的 n ? N * ,都有 【考点】数列综合应用 【难度】4 【答案】见解析 【解析】

Sn Sk ? 成立,求正整数 k 的值. an ak

解: (Ⅰ)因为数列 {an } 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列, 所以 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n . 所以 bn ? 2log2 an ? 2log2 2 ? 2n .
n

所以 S n ? 2 ? 4 ? ? +2n ? (Ⅱ)令 cn ?

n(2 ? 2n) ? n2 ? n . 2

Sn n2 ? n n(n ? 1) . ? ? an 2n 2n

则 cn ?1 ? cn ?

Sn?1 Sn (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)(2 ? n) . ? ? ? ? an?1 an 2n?1 2n 2n ?1

所以 当 n ? 1 时, c1 ? c2 ; 当 n ? 2 时, c3 ? c2 ; 当 n ? 3 时, cn?1 ? cn ? 0 ,即 c3 ? c4 ? c5 ? ? . 所以 数列 {cn } 中最大项为 c 2 和 c3 . 所以 存在 k ? 2 或 3 ,使得对任意的正整数 n ,都有 (19) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ? 2 ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若对任意的 x1 ?[1,e] ,总存在 x2 ? [1, e] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 ,求实数 a 值. 【考点】导数的综合运用 【难度】4 【答案】见解析 【解析】

Sk Sn ? . ak an

第 10 页 共 13 页

解: (Ⅰ) f '( x) ?

a a?x ?1 ? , x ? 0. x x

当 a ? 0 时,对 ?x ? (0, ??) , f '( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ??) ; 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? a . 因为 x ? (0, a) 时, f '( x) ? 0 ; x ? (a, ??) 时, f '( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, a ) ,单调递减区间为 (a, ??) . (Ⅱ)用 f ( x) max , f ( x) min 分别表示函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最大值,最小值. 当 a ? 1 且 a ? 0 时,由(Ⅰ)知:在 [1, e] 上, f ( x ) 是减函数. 所以 f ( x)max ? f (1) ? 1 . 因为 对任意的 x1 ?[1,e] , x2 ? [1, e] , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (1) ? 2 ? 4 , 所以对任意的 x1 ?[1,e] ,不存在 x2 ? [1,e] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 当 1 ? a ? e 时,由(Ⅰ)知:在 [1, a] 上, f ( x ) 是增函数,在 [ a, e] 上, f ( x ) 是减函数. 所以 f ( x)max ? f (a) ? a ln a ? a ? 2 . 因为 对 x1 ? 1 , ?x2 ?[1,e] ,

f (1) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (a) ? 1 ? a ln a ? a ? 2 ? a(ln a ?1) ? 3 ? 3 ,
所以 对 x1 ? 1?[1,e] ,不存在 x2 ? [1, e] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 . 当 a ? e 时,令 g ( x) ? 4 ? f ( x)( x ?[1,e]) . 由(Ⅰ)知:在 [1, e] 上, f ( x ) 是增函数,进而知 g ( x) 是减函数. 所以 f ( x)min ? f (1) ? 1 , f ( x)max ? f (e) ? a ? e ? 2 ,

g ( x)max ? g (1) ? 4 ? f (1) , g ( x)min ? g (e) ? 4 ? f (e) .
因为 对任意的 x1 ?[1,e] ,总存在 x2 ? [1, e] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 ,即 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 所以 ?

? f (1) ? g (e), ? f (1) ? f (e) ? 4, 即? ? f (e) ? g (1), ? f (e) ? f (1) ? 4.

所以 f (1) ? f (e) ? a ? e ? 3 ? 4 ,解得 a ? e ? 1 . 综上所述,实数 a 的值为 e ? 1 .
第 11 页 共 13 页

(20) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 ? y2 ? 1, 点 D 为椭圆 C 的左顶点. 对于正常数 ? , 如果存在过点 M ( x0 ,0) (?2 ? x0 ? 2) 4

的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,使得 S?AOB ? ? S?AOD ,则称点 M 为椭圆 C 的“ ? 分点”.

( 1,0) (Ⅰ)判断点 M 是否为椭圆 C 的“ 1 分点”,并说明理由;
( 1, 0) (Ⅱ)证明:点 M 不是椭圆 C 的“ 2 分点”;
(Ⅲ)如果点 M 为椭圆 C 的“ 2 分点”,写出 x0 的取值范围. (直接写出结果) 【考点】圆锥曲线综合 【难度】4 【答案】见解析 【解析】

( 1, 0) (Ⅰ)解:点 M 是椭圆 C 的“1 分点”,理由如下:
当直线 l 的方程为 x ? 1 时,由

3 3 1 ? y 2 ? 1 可得 A(1, ), B(1, ? ) .(不妨假设点 A 在 x 轴的上方) 4 2 2

所以 S?AOB =

1 3 1 3 3 , S?AOD = ? 2 ? . ?1? 3= = 2 2 2 2 2

( 1, 0) 所以 S?AOB ? S?AOD ,即点 M 是椭圆 C 的“ 1 分点”.
(Ⅱ)证明:假设点 M 为椭圆 C 的 “ 2 分点 ” ,则存在过点 M 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,使得

S?AOB ? 2S?AOD .
显然直线 l 不与 y 轴垂直,设 l : x ? my ? 1, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 由? 4 得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 . ? x ? my ? 1 ?
所以 y1 ? y2 ?

?2 m , ① m2 ? 4

y1 y2 ?

?3 .② m ?4
2

因为 S?AOB ? 2S?AOD , 所以

1 1 (| y1 | ? | y2 |) ? 2 ? ? 2 | y1 | ,即 | y2 |? 3| y1 | . 2 2

由②可知 y1 y2 ? 0 ,所以 y2 ? ?3y1 . ③ 将③代入①中得 y1 ?

m , ④ m ?4
2

第 12 页 共 13 页

将③代入②中得 y1 ?
2

1 ,⑤ m ?4
2

将④代入⑤中得

m2 ? 1 ,无解. m2 ? 4

( 1, 0) 所以 点 M 不是椭圆 C 的“ 2 分点”.
(Ⅲ) x0 的取值范围为 (?2, ?1) ? (1, 2) .

第 13 页 共 13 页



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