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带动画的抛物线及其标准方程



1. 抛物线是什么样的点的轨迹? 2. 抛物线的标准方程是怎样的? 开口方向不 同时, 方程有什么变化? 3. 抛物线标准方程中的字母常数的几何意义 是什么?

问题 1.与一个定点的距离和一条定直线的 距离的比是常数e的点的轨迹是什么?

椭圆 双曲线

(0<e<1) (e > 1)


当e=1时,它又是什么曲线?(动画演示)

抛物线的定义
平面内与一个定 点F和一条定直线L 的距离相等的点的 轨迹叫做抛物线. 点 F 叫做抛物线的 焦点 , 直线 L 叫做抛 物线的准线.
L
N M

K

F

注意:定点F不在直线L上.( F ? l )

【抛物线的标准方程】
问题2. 根据抛物线的定义, 你能求出抛物线的方 程吗? 你认为怎样建立坐标系恰当? 设焦点 F 到准线 l 的距离为 p (p>0), 以过点 F, 且垂直于 l 的直线为 x 轴, F 到 l 的垂 线段的中点为原点, 建立直角坐标系(如图). y p p l 则点 F 的坐标为 ( , 0 ), d 2 p M · 直线 l 的方程为 x ? ? , 2 设点 M(x, y) 到直线 l 的距离为 d, o F x 根据定义得 |MF| ? d, 代入点的坐标得 ( x ? p )2 ? y2 ? | x ? (? p )|, 2 2 化简方程得 y2?2px.

抛物线的标准方程

y2?2px

(p>0)
p

y l d

M 问题3. 抛物线的标准方程中, · p 的几何意义是什么? 抛物线的顶 o F x 点在什么位置? 焦点的坐标是多少? 准线的方程是怎样的? 在 y2?8x 中, 焦点的坐标是多少? 焦点到准线的 距离是多少? y2?8x 中: p p: 焦点到准线的距离. 2p?8, ? ? 2. 2 顶点: 原点 (0, 0). 焦点到准线的距离 p?4. 焦点: ( p , 0). 焦点坐标: (2, 0). 2 p 准线方程: x? ?2. 准线: x ? ? . 2

抛物线的标准方程

y2?2px

(p>0)
p

y l d o
M ·

问题4. 如果抛物线的开口向 左, 方程又是怎样的呢? 如果开 口向上、下, 焦点放在 y 轴上, 方 程又会是怎样? y l
x

F

x

y F l

F

o

o

x

【几种不同位置的抛物线的标准方程】
焦 点 到 准 线 的 距 离 为 p
图 l y 形 x

标准方程 y2?2px (p>0) y2??2px (p>0) x2?2py (p>0) x2??2py (p>0)

焦点坐标
p ( , 0) 2 p (? , 0) 2 p ( 0, ) 2 p ( 0, ? ) 2

准线方程
x??
p x? 2 p y?? 2

o F y l F o y F l l o y o F

p 2

x

x

x

p y? 2

例1. (1) 已知抛物线的标准方程是 y2?6x, 求它 的焦点坐标和准线方程; (2) 已知抛物线的焦点是 F(0, ?2), 求它的标准 方程.

例2. 根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1) 焦点是 F(3, 0); (2) 准线方程是 x ? ? 1 ; 4 (3) 焦点到准线的距离是 2.

例3. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1) y2?20x; (2) x2? 1 y; 2 (3) 2y2?5x?0; (4) x2?8y?0.

【课时小结】
1. 抛物线的定义
平面内到定点 F 和到

l

定直线 l 的距离相等的点
的轨迹叫做抛物线. 点 F 叫做抛物线的焦点, 直线 l 叫做抛物线的准线.

· · · F · ·

·

·

【课时小结】
2. 抛物线的标准方程
y p l d o
M ·

y2?2px (p>0)
p: 焦点到准线的距离. 顶点: 原点 (0, 0). p 焦点: ( , 0). 2 p 准线: x ? ? . 2

F

x

布置作业
1、求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。 2 、点M与点F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0的距离小1, 求点M的轨迹方程?



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