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滕一-高一-1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(9)



1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1) 教材分析
本节是人教版必修四第一章 三角函数 第四节 三角函数的图像与性质 第二课时,主要内容是正弦函 数、余弦函数的周期性.现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象,这种变化规律 成为周期性.例如:地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化;海水在月球和太阳引力作 用下发生的周期性涨落现象;做简谐运动

的物体的位移变化的周期性;等等.函数是刻画客观世界变化规 律的数学模型,而本章所学习的三角函数就是刻画这种变化规律的数学模型.本节利用正弦函数、余弦函 数的图像研究了正弦函数、余弦函数的周期性,让学生体会数形结合思想在在探讨三角函数性质方面的应 用.所以,本节课既是正弦函数、余弦函数的图像的继续,也为下节课探讨正弦函数、余弦函数的其他性 质做了准备.

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要研究正弦函数、余弦函数的周期性.

教学目标
重点:正弦函数、余弦函数的周期性. 难点:周期函数、最小正周期的意义. 知识点:理解并掌握正弦函数、余弦函数的周期性;理解周期函数与最小正周期的意义,会求三角函数的 最小正周期. 能力点:通过本节的学习,体会数形结合思想在探讨三角函数性质方面的应用. 教育点:认识正弦函数、余弦函数的周期性,了解正弦函数、余弦函数是描述自然界周期性变化的有力工 具. 拓展点:推导形如 y ? A sin(? x ? ? ), x ? R(其中A,?,?为常数,且A ? 0,? ? 0) 的周期公式.

教具准备 课堂模式

多媒体课件 自主探究

一、复习引入
【师生活动】教师提问,每年都有春夏秋冬,它们周而复始的变化着,用多媒体课件展示.

1

问题: (1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢??? (2)物理中的单摆振动、圆周运动、质点运动的规律如何呢? 【设计意图】培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.

二、探究新知
探究 1:周期函数如何定义? 如果一个函数也存在周期现象,那它就是一个周期函数。

比如:f (1) ? 1, f (2) ? 2, f (3) ? 3, f (4) ? 1, f (5) ? 2, f (6) ? 3, f (7) ? 1, f (8) ? 2, f (9) ? 3??求f (20) f (20) ? f (6 ? 3 ? 2) ? f (2) ? 2 实际上,根据这里的规律,我们有 f ( x ? 3) ? f ( x), x ? Z ?这个函数是一个周期函数
【师生活动】教师通过引导学生,给出周期函数的定义: 对 于 函 数 f ( x) , 如 果 存 在 一 个 非 零 常 数 T , 使 得 当 x 取 定 义 域 内 的 每 一 个 值 时 , 都 有 :

f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.
探究 2:正弦函数,余弦函数的周期 思考:正弦函数,余弦函数是不是周期函数?为什么? 正弦函数图象

诱导公式: sin( x ? 2k? ) ? sin( x) 根据上述定义,我们有: 正弦函数是周期函数, 2k? (k ? Z , 且k ? 0) 都是它的周期. 【设计意图】充分发挥学生的主观能动性,提高抽象概括能力,让学生体验成功的喜悦. 探究 3:最小正周期 如果在周期函数 f ( x ) 的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f ( x ) 的最小正周 期. 特别地:今后所提及的周期,在没有特别说明的前提下,都是指函数的最小正周期. 正弦函数,余弦函数是周期函数, 2k? (k ? Z , 且k ? 0) 都是它的周期,最小正周期是 2? 。

三、理解新知
2

【师生活动】教师板书并给出问题,留出时间,让学生观察记忆周期函数的定义式.

2? ? 2? ) ? sin ,能否说 是它的周期? 6 3 6 3 生:不能,因为周期函数的定义是存在一个非零常数 T , ?x ? D ,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) . 问题 2:余弦函数 y ? cos x , x ? R 是不是周期函数,如果是,周期是多少? 生:是周期函数,周期是 2k? , k ? Z 且 k ? 0 . 问题 3:若函数 f ( x ) 的周期为 T ,则 kT (k ? Z * ) 也是 f ( x ) 的周期吗?为什么? 生:是,其原因为: f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ? f ( x ? kT ) .
问题 1:对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin(

?

?

师生共同总结: ①周期函数 x ? 定义域D ,则必有 x ? T ? D ,且若 T ? 0 则定义域无上界, T ? 0 则定义域无下界;

, ?2? , ?4? , 都是周期) , 周期 T 中最小的正数叫做 f ( x ) 的最小正周期.从图象上可以看出 y ? sin x , x ? R ; y ? cos x , x ? R 的最小正周期都为 2? (一般称
为周期) . 问题 4:判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期? 生:不是,如: f ( x) ? c ,没有最小正周期.

②“每一个值” :即只要有一个反例,则 f ( x ) 就不为周期函数(如 f ( x0 ? T ) ? f ( x0 ) ) ;

2? , 4? , ③ T 往往是多值的 (如 y ? sin x ,

四、运用新知
例 1 已知定义在 R 上的函数满足: f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 ,试判断 f ( x) 是否为周期函数?

解: f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 ? f ( x ? 2) ? ? f ( x) f ( x ? 4) ? f [( x ? 2) ? 2] ? ? f ( x ? 2) ? f ( x) 即 对于任意实数 x ,都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? f ( x) 是周期函数,4 是它的一个周期.
例 2 求下列函数的周期: (1) y ? 3cos x, x ? R ; (2) y ? sin 2 x, x ? R ;

1 ? ), x ? R 2 6 解: (1)因为 3cos( x ? 2? ) ? 3cos x ,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为 2? . (2) 因为 sin 2( x ? ? ) ? sin(2 x ? 2? ) ? sin 2 x , 所以由周期函数的定义可知, 原函数的周期是 ? . 1 ? 1 ? 1 ? ( 3)因为 2sin[ ( x ? 4? ) ? ] ? 2sin[( x ? ) ? 2? ] ? 2sin( x ? ) ,所以由周期函数的定 2 6 2 6 2 6 义可知,原函数的周期是 4? .
(3) y ? 2sin( x ? 变式练习 1 求函数 y ? A sin(? x ? ? )( x ? R) 的周期,其中 A、?、? 是常数,且 A ? 0,? ? 0 . 解: 因为A sin[? ( x ?

2?

?

) ? ? ] ? A sin(? x ? ? ? 2? ) ? A sin(? x ? ? )

所以由周期函数的定义可知,原函数的周期是
变式练习 2 函数 y ? sin(? x ? 解:由 T ?

2?

?
4

)(? ? 0) 的周期为

? . 2?
3

,则 ? ?



2?

?

?

2? 得? ? 3 . 3

【设计说明】例 1 是考查抽象函数的周期性;例 2 是深化周期函数的定义;练习 1 是在例 2 的基础上 让学生观察归纳, 推导一般的正弦型、 余弦型函数的周期公式; 练习 2 是对练习 1 推导的周期公式的应用. 【设计意图】 让学生熟悉周期函数的定义, 会利用正、 余弦函数的最小正周期求形如 y ? A sin(? x ? ? )
3

的周期,并拓展到一般的 y ? A sin(? x ? ? ) (其中 A、?、? 是常数,且 A ? 0,? ? 0 )形式的函数的 周期公式: T ?

2?

? .

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?学生作答. 知识:1.周期函数的定义. 2.正、余弦函数的周期和最小正周期. 3..会求 y ? A sin(? x ? ?) 三角函数的周期. 思想:体会数形结合的数学思想在在探讨三角函数性质方面的应用.

六、布置作业
必做作业:教材 P 2(1)-(4);P 1.4 A组3 . 36 练习 46 习题 思考: “如果函数 y ? f ( x ) 的周期是 T ,那么函数 y ? f (? x) 的周期是

T

?

”是否成立?

七、教后反思
本节课的亮点是课堂的讲练结合使学生对新概念的理解及时得以加深和巩固,边学边练,既动脑又动 手,可以及时掌握周期函数的定义并能认识到做题时容易出现的问题.另外,学生的课前准备起到了一定 作用, 既让学生感受到了自主学习带给他们的快乐和迷惑, 又让他们自己找到了问题, 从而有了学习兴趣, 提供了进一步探索的动力. 本节在教学设计上还有一些不足之处: 如在例2求函数的周期中,可以尝试用以下方法求解,学生更 sin(2 x2?) ?sin2( ? x ) ?? 容易理解:如例2(2)中,我们可以把 y ? sin 2 x 看作函数 f ( x) ,由 sin2 x ? 可得 f ( x) ? f ( x ? ? ) ,再由周期函数的定义可知,周期为 ? .这样的处理方式更符合学生的认知规律, 效果应该更好,更有利于学生掌握周期函数的定义.在今后的备课中,应该充分站在学生的角度上设计教 学,钻透教材,备好学生,让学生享受学习数学的成就感.

八、板书设计
观察正弦曲线: 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1) 例1 练习 1

周期函数定义:

例2

练习 2

4



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