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2013高考数学(文)一轮复习课件:同角三角函数的基本关系与诱导公式


第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

【2013年高考会这样考】 考查利用诱导公式与同角三角函数关系化简三角函数式及求三 角函数值. 【复习指导】 本节复习时应紧扣住三角函数的定义,理解同角三角函数关系 式和诱导公式;观察分析这些公式特征,掌握记忆诀窍;通过 基本题型,掌握解题规律.

基础梳理 1.同角三角函数的基本关系
2 2 (1)平方关系: sin α+cos α=1



sin α (2)商数关系: =tan α . cos α

2.诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α ,其中k∈Z. 公式二:sin(π+α)= tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(-α)= -sin α ,cos(-α)= cos α . .

-sin α

,cos(π+α)=-cos α



公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)= -cos α
?π ? 公式五:sin?2-α?= ? ? ?π ? 公式六:sin?2+α?= ? ?

cos α cos α

?π ? ,cos?2-α?=sin ? ?

α.

?π ? -sin ,cos?2+α?= ? ?

α

.

π 诱导公式可概括为k· ± α的各三角函数值的化简公式.记忆规 2 π 律是:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指 的奇数 2 倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则 函数名称变为相应的余名函数;若是偶数倍,则函数名称不 变,符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果 的符号.

一个口诀 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 三种方法 在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式tan α= 化成正、余弦. cos α (2)和积转换法:利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ的关系进行 变形、转化. (3)巧用“1”的变换:1=sin θ+cos θ=cos θ(1+tan θ)=tan =?.
2 2 2 2

π 4

三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三 角函数为锐角三角函数,其步骤:去负-脱周-化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意 判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

双基自测 1 1.(人教A版教材习题改编)已知sin(π+α)=2,则cos α的值为 ( 1 A.± 2 3 C. 2 解析 1 ∵sin(π+α)=-sin α=2, 1 B.2 3 D.± 2 ).

1 3 2 ∴sin α=-2.∴cos α=± 1-sin α=± 2 . 答案 D

2.(2011· 杭州调研)点A(sin 2 011° ,cos 2 011° )在直角坐标平面 上位于( ). B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

解析 2 011° =360° ×5+(180° +31° ), ∴sin 2 011° =sin[360° ×5+(180° +31° )]=-sin 31° <0, cos 2 011° =cos[360° ×5+(180° +31° )]=-cos 31° <0, ∴点A位于第三象限. 答案 C

4 3.已知cos α=5,α∈(0,π),则tan α的值等于( 4 A.3 4 C.± 3 3 B.4 3 D.± 4
2

).

3 sin α 解析 ∵α∈(0,π),∴sin α= 1-cos α= ,∴tan α= 5 cos α 3 = . 4 答案 B

? 17π? ? 17π? 4.cos?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是( ? ? ? ?

). 2 D. 2
? 17π? 2 ,sin?- 4 ? 2 ? ?

A. 2 解析

B.- 2

C.0

? 17π? ? π? 17π π ?- ?=cos ?4π+ ?=cos = cos =cos 4 ? 4? 4 4 ? ?

? ? 17π? π? 17π π 2 =-sin 4 =-sin ?4π+4? =-sin 4 =- 2 .∴cos ?- 4 ? - ? ? ? ? ? 17π? sin?- 4 ?= ? ?

2 2 2 + 2 = 2.

答案 A

1 5.已知α是第二象限角,tan α=-2,则cos α=________. sin α 解析 由题意知cos α<0,又sin α+cos α=1,tan α= cos α =
2 2

1 2 5 - .∴cos α=- . 2 5 2 5 答案 - 5

考向一 利用诱导公式化简、求值
?31π? sin?π-α?cos?2π-α? 【例1】?已知f(α)= ,求f? 3 ?. ?π ? ? ? ? +α?tan?π+α? sin 2 ? ?

[审题视点] 先化简f(α),再代入求解.



sin αcos α f(α)= =cos α, cos αtan α π 1 3=2 (1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求
? π? π=cos?10π+3?=cos ? ?

?31π? 31 ∴f? 3 ?=cos 3 ? ?

项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要 求出值. (2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终 了. (3)化简前,注意分析角的结构特点,选择恰当的公式和化简 顺序.

【训练1】 已知角α终边上一点P(-4,3),则
?π ? cos?2+α?sin?-π-α? ? ? ?11π ? ?9π ?的值为________. cos? 2 -α?sin? 2 +α? ? ? ? ?

?-sin α?sin α 解析 原式= =tan α,根据三角函数的定义,得 ?-sin α?cos α y 3 tan α=x=-4. 3 答案 -4

【例2】?(2011· 长沙调研)已知tan α=2. 2sin α-3cos α 求:(1) ; 4sin α-9cos α (2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α. [审题视点] (1)同除cos α; (2)利用1=sin2α+cos2α,把整式变为分式,再同除cos2α.

2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 解 (1) = = =-1. 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9 4sin2α-3sin αcos α-5cos2α (2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α= sin2α+cos2α 4tan2α-3tan α-5 4×4-3×2-5 = = =1. tan2α+1 4+1

(1)对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个 式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值可求.转化的公 式为(sin α± α)2=1± cos 2sin αcos α;(2)关于sin α,cos α的齐次 式,往往化为关于tan α的式子.

sin α+3cos α 【训练2】 (2011· 潍坊质检)已知 =5.则sin2α-sin 3cos α-sin α αcos α=________. tan α+3 解析 依题意得: =5,∴tan α=2. 3-tan α sin2α-sin αcos α ∴sin2α-sin αcos α= sin2α+cos2α tan2α-tan α 22-2 2 = = 2 =5. tan2α+1 2 +1 2 答案 5

考向三 三角恒等式的证明 【例3】?求证:sin θ(1+tan θ)+cos [审题视点] 有: ①从一边开始证明等于另一边,即化简左边,使左边=右边; ②证明左、右等于同一个式子; ③变更论证,即通过化除为乘、左右相减等转化成与原结论等 价的式子.
? 1 ? 1 1 ?1+ ?= θ tan θ? sin θ+cos ?

θ.

证明三角恒等式的原则是由繁到简,常用的方法

证明

左边=sin

? ? sin θ ? cos θ? θ?1+cos θ?+cos θ?1+ sin θ ? ? ? ? ?

sin2 θ cos2θ =sin θ+ +cos θ+ cos θ sin θ
? =?sin ?

cos2θ? ? sin2θ ? ?+?cos θ+ ? θ+ sin θ ? ? cos θ?

sin2 θ+cos2θ cos2θ+sin2 θ = + sin θ cos θ 1 1 = + =右边. sin θ cos θ

证明三角恒等式离不开三角函数的变换,在变换过 程中,把正切函数化成正弦或余弦函数,减少函数种类,往往 有利于发现等式两边的关系或使式子简化.要细心观察等式两 边的差异,灵活运用学过的知识,使证明简便.

【训练3】 已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0. 证明 π ∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+2(k∈Z),

π ∴α=2kπ+ -β, 2 ∴tan(2α+β)+tan
? ? ? π ? β=tan?2?2kπ+2-β?+β?+tan ? ? ? ?

β

=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β =tan(4kπ+π-β)+tan β =tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0, ∴tan(2α+β)+tan β=0得证.

考向四 三角形中的诱导公式 【例4】?在△ABC中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π -B),求△ABC的三个内角. [审题视点] 要求三角形的内角,需求得某一内角的某一三角

函数值,故结合条件sin A+cos A= 2知先求角A,进而求其他 角.

解 由已知可得

? π? 2sin?A+4?= ? ?

2,

π 因为0<A<π,所以A=4. π 3 由已知可得 3cos A= 2cos B,把A= 代入可得cos B= , 4 2 π π π 7π 又0<B<π,从而B=6,所以C=π-4-6=12.

在△ABC中常用到以下结论:sin(A+B)=sin(π-C)=sin cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C, tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,
?A B? ?π C ? C ? + ?=sin? - ?=cos , sin 2 2 2 ? ? ?2 2 ? ?A B? ?π C ? C cos? 2 + 2 ?=cos?2- 2 ?=sin . 2 ? ? ? ?

C,

【训练4】 若将例4的已知条件“sin A+cos A=

2 ”改为

“sin(2π-A)=- 2 sin(π-B)”其余条件不变,求△ABC的三 个内角. 解 由条件得:-sin A=- 2sin B,即sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B,平方相加得: 2 sin A+3cos A=2?2cos A=1,cos A=± 2 .
2 2 2

2 3 若cos A=- 2 ,则cos B=- 2 ,A,B均为钝角不可能.故 2 3 π π 7π cos A= 2 ,cos B= 2 ,故A=4,B=6,C=12.

阅卷报告3——忽视题设的隐含条件致误
【问题诊断】 涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问 题时,应深挖隐含条件,处理好开方、平方关系,避免出现增 解与漏解的错误. 【防范措施】 一要考虑题设中的角的范围;二要考虑题设中 的隐含条件.

【示例】?若sin θ,cos θ是关于x的方程5x2-x+a=0(a是常数) 的两根,θ∈(0,π),求cos 2θ的值. 7 1 错因 产生了增解 .实录 由题意知:sin θ+cos θ= , 25 5 1 24 sin θ+cos θ???2= ,∴sin 2θ=- ,∵θ∈(0,π), ∴ 25 25
? ? ?

7 ∴2θ∈(0,2π),∴cos 2θ=± 1-2sin 2θ=± . 25
2

正解

1 由题意知:sin θ+cos θ=5.
2

1 ∴(sin θ+cos θ) =25. 24 ∴sin 2θ=- . 25 24 即2sin θcos θ=-25<0, 则sin θ与cos θ异号,

1 又sin θ+cos θ=5>0, π 3π 3π ∴ <θ< ,∴π<2θ< . 2 4 2 7 故cos 2θ=- 1-sin 2θ=-25.
2

7 【试一试】 已知sin θ+cos θ=13,θ∈(0,π),求tan θ. 7 [尝试解答] ∵sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π). 13 49 ∴(sin θ+cos θ) =1+2sin θcos θ= . 169
2

60 ∴sin θcos θ=- . 169

7 60 由根与系数的关系知sin θ,cos θ是方程x - x- =0的两 13 169
2

12 5 根,∴x1= ,x2=- , 13 13 60 又sin θcos θ=-169<0,∴sin θ>0,cos θ<0, 12 5 ∴sin θ=13,cos θ=-13. sin θ 12 ∴tan θ=cos θ=- 5 .

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