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2012高中数学联赛江苏复赛



2012 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分标准

一、 (本题满分 40 分) 设 A、B 是圆 O1 与圆 O2 的两个交点,过 A 作一条直线分别交圆 O1 与圆 O2 于 C、D 两 点,过 C、D 两点分别作圆 O1 与圆 O2 的切线,并过 B 点分别作这两条切线的垂线,垂足分 别为 P、Q. 求证:PQ 是以 AB 为直径的圆的一条

切线.
H C P O1 B E Q D A O O2



证明:设 CP,DQ 相交于 E 点, 则∠BDQ=180°-∠BAD=∠CAB=∠BCP. 故 B,C,E,D 四点共圆,即 B 在△CDE 的外接圆上.………………………………10 分 作 BH⊥CD 于 H,由 Simson 定理,得 P,H,Q 三点共线. ………………………20 分

因为△AHB 的外接圆即是以 AB 为直径的圆,设 O 为 AB 的中点, 只要证明 OH⊥PQ(这里用到 P,H,Q 三点共线). 事实上,∠OHP=∠OHB+∠BHP =∠OBH+∠BCP (因 B,H,C,P 四点共圆) =∠OBH+∠BAC =90°. 因此 OH⊥PQ. 从而,PQ 是以 AB 为直径的圆的一条切线. 二、 (本题满分 40 分) 设 θi 为实数,且 xi=1+3sin2θi,i=1,2,…,n,证明: 1 1 1 5n (x1+x2+…+xn)(x +x +…+x )≤( 4 )2.
1 2 n

………………………………40 分

证明:因为 xi=1+3sin2θi,所以 1≤xi≤4,i=1,2,…,n.
2012 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案第 1 页 共 3 页

由平均值不等式得 (x1+ x2+ …+ xn)( =(

1 1 1 ? ??? ) x1 x2 xn

x 2 2 x1 x2 2 ? ? ? ? n )( ? ? ? ? ) xn 2 2 2 x1 x2

x 1 x x 2 2 2 ≤ ( 1 ? 2 ? ? ? n ? ? ? ? ? )2 4 2 2 2 x1 x2 xn x 1 x 2 x 2 2 = ( 1 ? ? 2 ? ? ? n ? )2 . 4 2 x1 2 x2 2 xn
考察函数 f(x)= ………………………………15 分

x 2 ? ,x∈[1,4] , 2 x

易得,f(x)在区间[1,2]为减函数,在区间[2,4]为增函数, 故 f(x) 在区间[1,4] 上端点处取得最大值. 又因为 f(1)=f(4)= ………………………………30 分

5 5 5 ,所以 ,当 1≤x≤4 时,f(x)≤ ,从而 f(xi)≤ ,i=1,2,…,n. 2 2 2 xn 2 2 1 5n 2 1 x1 2 x2 2 5n 2 所以 ( ? ? ? ? ? ? ) ≤ ( ) = ( ) . 4 2 x1 2 x2 2 xn 4 2 4
………………………………40 分 三、 (本题满分 50 分) 数列{xn}定义为 x1=3,xn+1=[ 2xn] (n∈N*).求所有的 n,使得 xn,xn+1,xn+2 成等差 数列.(这里[x]表示不超过实数 x 的最大整数). 解:因为 xn,xn+1,xn+2 成等差数列,所以 xn+xn+2=2xn+1, 即 2[ 2xn]= xn+[ 2[ 2xn] ]. 由于 x-1<[x]≤x, 所以 2[ 2xn]≤2 2xn, ① ……………………………10 分

xn+[ 2[ 2xn] ]>xn+ 2[ 2xn]-1>xn+ 2( 2xn-1)-1=3 xn- 2-1.
结合①得 3 xn- 2-1<2 2xn,即 xn<7+5 2<15. ……………………………30 分 另一方面,数列{xn}(n≥1)为递增数列. 事实上,x1=3,x2=[3 2 ]=4>x1.显然 xn≥3,

xn+1=[ 2xn]> 2xn-1= xn+ xn( 2-1) -1≥xn+3( 2-1) -1>xn.
……………………………40 分 由计算得 x1=3,x2=4,x3=5,x4=7,x5=9,x6=12,x7=16. 所以当 n≥7 时,xn>15,故所求的 n≤6.
2012 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案第 2 页 共 3 页



于是由②可知,满足条件的 n=1,或 3. 四、 (本题满分 50 分)

……………………………50 分

设 p 为素数,n 为正整数,且 n=n0+n1p+n2p2+…+ntpt,其中 ni∈N*,0≤ni≤p-1,

i=0,1,2,…,t.令 Sn 表示满足下列条件的有序三元数组 (a,b,c) 的集合: n! (1)a,b,c 均为非负整数; (2)a+b+c=n; (3)a!b!c!不能被 p 整除.
问集合 Sn 中共有多少个有序三元数组(a,b,c)? 证明:设 p 为素数,n 为正整数.如果 pα|n,但 pα 1/ |n,那么记 Vp(n)=α,于是


+∞ n Vp(n!)= ? [pk]. k=1

若 n=n0+n1p+…+ntpt,0≤ni≤p-1,0≤i≤t,则

Vp(n!)=

n-(n0+n1+…+nt) . p-1

① ………………………………10 分

不妨设 =n +n p+…+n p ,0≤n ≤p-1, ?n a=a +a p+…+a p ,0≤a ≤p-1, ?b=b +b p+…+b p ,0≤b ≤p-1, ?c=c +c p+…+c p ,0≤c ≤p-1,
0 0 0 1 1 1 t t t t t i i i 0 1 t t i t

n! 其中 n=a+b+c,那么 p/ |a!b!c!当且仅当 Vp(n!)=Vp(a!)+Vp(b!)+Vp(c!).
………………………………20 分
t t n! 利用①式,可知 p/ |a!b!c!当且仅当 ? ni= ? ( ai+bi+ci), i=0 i=0

即将数 p 进制表示后,a,b,c 的数字和的和等于其和 n 的数字和, 当且仅当在将 a,b,c(p 进制表示)做竖式加法运算时,不产生进位现象, 即当且仅当 ni=ai+bi+ci,0≤i≤t. ………………………………40 分

又不定方程 x+y+z=m 的非负整数解的个数为 C2 m+2, 因此满足条件的有序三元组(a,b,c)的个数为
2 2 |Sn|=C2 n +2·Cn +2·…·Cn +2.
0 1 t

………………………………50 分

2012 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案第 3 页 共 3 页



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