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高中数学第一章计数原理1.3组合课件北师大版选修2


§1.3 组合 学 习 目 标 思 维 脉 络 1. 理解并掌握组合、组 合数的概念, 掌握组合 与排列之间的联系与 区别. 2. 熟练掌握组合数公 式及组合数的两个性 质, 并运用于计算之中. 3. 能够运用排列组合 公式及计算原理解决 一些简单的应用问题, 提高学生的数学应用 能力和分析问题、 解决 问题的能力. 一 二 一、组合的概念 一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素为一组,叫作从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合. 一 二 名师点拨1.组合的概念中有两个要点:(1)取出元素,且要求n个元 素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关. 2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素 的顺序如何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即 使只有一个元素不同)时,就是不同的组合. 3.组合与排列的异同:组合与排列的相同点是,“从n个不同元素中 任取出m个元素”;不同点是,组合“不管元素的顺序并成一组”,而排 列要求元素“按照一定的顺序排成一列”.因此区分某一问题是组合 还是排列,关键是看取出的元素有无顺序,有顺序就是排列,无顺序 就是组合. 一 二 【做一做1】 判断下列各事件是排列问题,还是组合问题. (1)从50个人中选3个人去参加同一种劳动,有多少种不同的选法? (2)从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼,有多少种选法? (3)从1,2,3,?,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位 数共有多少个? (4)从1,2,3,?,9九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到 一个和,这样的和共有多少个? 一 二 解(1)(2)都是选出3人,但参加同一劳动没有顺序,而到三个学校参 加毕业典礼却有顺序,故(1)是组合问题,(2)是排列问题. (3)当取出3个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三 位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是 排列问题. (4)取出3个数字之后,无论怎样改变这三个数字之间的顺序,其和 均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组 合问题. 一 二 二、组合数 组合数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的 定义 个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 m 表示法 n m n(n-1)(n-2)?(n-m + 1) n m 乘积式 n = m = m m! 组合数 n! 公式 m 阶乘式 n = m!(n-m)! 性质 备注 m = n -m m = m + m -1 n , n+1 n n n 0 ①n, m∈N+且 m≤n ②规定:C =1 一 二 名师点拨1.“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是一个具 体的事件,不是一个数;而“组合数”是符合条件的所有组合的个数, 它是一个数. 2. 利用排列数公式和组合数公式进行计算, 证明时, 要正确地选用 公式, 同时注意A , C 中 m≤n 这个隐含条件. 在利用组合数公式计 算、化简时, 要灵活运用组合数的性质, 一般地, 计算C 时, 若 m 比较 = C - , 不计算C 而改为计算C - , 在计算组合数 大, 可利用性质C -1 之和时, 常利用性质C = C + C +1 . 一 二 48的值是( 【做一做 2】 C50 A.48 B.49 C.1 225 D.2 450 48 解析:C50 = C

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