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高一数学扩展-对勾函数


对勾函数
解析式: f ( x ) ? ax ? 例子: g ( x ) ? x ?

b ,(a, b∈R+)。 x

1 ,它是最标准的对勾函数。图像: x b ,(b∈R+)。 x

事实上,对勾函数中 a,b 均大于 0,一般情况下 a=1, 可以给出一般的例子: h( x ) ? x ?

它的图像性质: 在 (??, 在 (? b ,0) 上单调递减; 在 (0, b ) 上单调递减, ? b ] 上单调递增, 在 [ b ,??) 上单调递增。在(0,+∞)上的最小值在 b 处取得,最小值是 2 b 。由于是奇 函数,在第三象限有最大值,同理。(证明它的单调区间需要用到导数法,用一般的方法不 是很严谨,也很难,所以我直接给出来了。)那么我给出它在第一象限的图像。 Tip: ①对勾函数 f ( x ) ? ax ?

b 中的 a,b 都大于 0, 若a x

小于 0 或 b 小于 0,就不是对勾函数。(你可以自 己在几何本上描点验证。) ②对勾函数经常出现在求最值类的题目中,例如:

2 b

求y?

x 在(0,+∞)的最值。你可以自己 x ? 2x ? 2
2

完成。 如果你这道题完成了的话, 月考试卷最后一 题你也应该会做了, 那道题目还需要关于二次函数 的一些知识。

b
另:关于函数 y ?

cx ? d ,你可以自己研究一下 ad,bc 的大小关系对函数单调性的影响。 ax ? b

你研究的结果可以作为一个定理直接在题目中使用。 有兴趣的话,可以尝试一下下面的题目:

x 在(0,+∞)的最值。 x ? 2x ? 2 1 ②证明函数 g ( x ) ? x ? 是奇函数。 x
①求 y ?
2

③如果函数 y=x+ ④求函数 y ?

2b (x>0)的值域为[6,+∞),求 b 的值。 x

cx ? d 中参数对函数单调性的影响,当 ad>bc 时,求函数的单调减区间;当 ax ? b

ad<bc 时,求函数的单调增区间。


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