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重庆南开中学高2015级高一期末数学试题



重庆南开中学高 2015 级 2012~2013 学年度 高一(下)期末 数 学 试 题

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知点 M (1, 2) , N (2,1) ,则直线 MN 的倾斜角是 A. 45
?


?



B. 90

?

C. 135

D.不存在 ( )

2.已知 a, b, c 满足 c ? b ? a ,且 ac ? 0 ,那么下列选项中一定成立的是 A. cb 2 ? ab 2 B. ab ? ac C. c(b ? a) ? 0

D. ac(a ? c) ? 0 ( D. )

3.直线 l1 : x ? 3 y ? 3 ? 0 与直线 l 2 : 3x ? y ? 3 ? 0 的夹角为

? 3 4.某部门计划对某路段进行限速,为调查限速 60km/ h 是否合
A. B. C. 理,对通过该路段的 300 辆汽车的车速进行检测,将所得数据 按 ?40,50 ? , [50,60) , [60,70) , [70,80] 分组,绘制成如图所示 的频率分布直方图.则这 300 辆汽车中车速低于限速的汽车有 ( A. 75 辆 B. 120 辆 C. 180 辆 )

? 6

? 4

2? 3

频率 组距

0.035 0.030 a 0.010

D. 270 辆

O

40 50 60 70 80 车速


? 2x ? y ? 0 ? 5.若实数 x, y 满足线性约束条件: ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为( ?x ? y ? 3 ? 0 ? 9 A. 0 B. 3 C. D. 4 2
6.直线 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ? y ? 1? ? 4 的位置关系是
2 2





A.相交

B.相切

C.相离

D.不确定,与 k 有关

1

7.某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的 x 值是 ( A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 )

第 7 题图 8. 已知 p ? 0, q ? 0 ,p, q 的等差中项是

1 2 1 ,x ? p ? , y ? q ? 则 x ? y 的最小值为 ( p q 2
C. 4 ? 2 2 D.3+ 2 2



A. 7

B.5

9.已知点 A(?2,0), B(2,0), C (0, 2) ,直线 y ? 部分,则 b 的值为 A.

1 x ? b 将 ?ABC 分割成面积相等的两 3
( )

1 2
2

B.
2

2 3

C.

3 4

D. 1

10.已知圆 M : 4 x ? 4 y ? 8 x ? 16 y ? 5 ? 0 ,直线 l : x ? y ? 1 ? 0 , ?ABC 的顶点 A 在直 线 l 上,顶点 B, C 都在圆 M 上,且边 AB 过圆心 M , ?BAC ? 45? .则点 A 横坐标的最大值 为 A. ( )

5 2

B.

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150 、150 、 400 、 300 名学生,为了解学生的 就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查,应在丙专业抽 取的学生人数为 12.圆心在原点,并与直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 相切的圆的方程为 13.已知正实数 a, b 满足 (a ? 1)(b ? 2) ? 8 ,则 2a ? b 的最小值为 .

2

14.将一张坐标纸折叠一次,使点 (5,1) 与 (7,3) 重合,则与原点重合的点的坐标为 15.对于满足不等关系 ? 范围为______ __

? x2 ? y 2 ? 1 ?x ? y ? 0

的任意实数 x, y ,均有 ax ? y ? 2 恒成立,则 a 的取值

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)以下茎叶图记录了甲、乙两组同学在某次数学测验中的成绩,两组 记录中各有一个数据模糊,无法确认,在图中以 x , y 表示, 已知乙组同学的平均成绩与乙 组中位数相等 甲组 乙组

9 x

8

7

8

4
(1)求 y ;

1

9

y

2

3

(2)若甲组同学与乙组同学平均成绩相等,求 x 与甲组同学成绩的方差.

1 (注:方差 s 2 = [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x) 2 ? ... ? ( xn ? x)2 ], 其中 x为x1 , x2 ,..., xn的平均数. ) n

17. (本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知三点 A(?1,0) , B(0,4) , C (3,4) (1)求 AC 边上的高所在直线 l 的方程; (2)求与直线 l 平行且距离为 3 2 的直线方程.

18. (本小题满分 13 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且满足

(2a ? c) cos B ? cosC b
(1)求角 B 的大小; (2)设 m ? (sin A, cos 2 A), n ? (1,1) ,且 m ? n ? 1, b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积.

??

?

?? ?

3

19. (本小题满分 12 分)已知直线 l : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 将圆 C : x ? y ? 2mx ? 4 y ?
2 2

m2 ? 8 ? 0 (m ? 0) 截为长度为 1:两段圆弧 5
(1)求圆 C 的方程; (2)若点 P( x, y ) 为圆 C 上一动点,求 x ? y ? 2 x ? 4 y 的最大值和最小值.
2 2

20. (本小题满分 12 分)数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

2 n ?1 an ( n ? N ? ). an ? 2 n

(1)证明:数列 ? (2)设 bn ?

? 2n ? ? 是等差数列; ? an ?

1 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . n ? 2n ?1

Q 21.本小题满分 12 分) ( 在平面直角坐标系 xOy 中, 为坐标原点, 定义 P ? x1 , y1 ? 、 ? x2 , y2 ? O
两点之间的“折线距离”为 d ( P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 (1)已知 M ?1,0?, N ?4,?1? , P 为直线 x ? y ? 4 上一点,若 d ( P, M ) ? d ( P, N ) ,求 P 点 坐标; (2)求坐标原点 O 与直线 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 上一点的“折线距离”的最小值; (3)求圆 x ? y ? 1 上一点与直线 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 上一点的“折线距离”的最小值.
2 2

4



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