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高中数学必修五 均值不等式



均值不等式
(1)均值不等式:若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 (2)常用的基本不等式 ? a, b ? R ? :
2
2 2

a?b ? ab . 2
2

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ① a ? b ? 2ab ;

② ab ? ;③ ab ? ? ;④ ?? ? . ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ?
(3)均值不等式求最值的条件: “一正,二定,三取等” . 【例题】已知 x ? 0 ,则当 x ? 时, 2 x ?
4 取最小值. x

★练习当 x ? 时, 2 x ? 21? x 取最小值. 1 【例题】已知 x ? 0 ,则 x ? 的取值范围是. x 4 ★练习已知 x ? ? 0,1? ,则 lg x ? 的取值范围是. lg x 【例题】已知 x ? ? 0, 2? ,则当 x ? 时, x ? 2 ? x ? 取最大值.
? 3? ★练习已知 x ? ? 0, ? ,则当 x ? 时, 2 x ? 3 ? 2 x ? 取最大值. ? 2?

★练习已知 x ? ? ?1,0 ? ,则当 x ? 时, ? x ?1 ? x ? 取最大值. 【例题】已知 x ? 2 ,则当 x ? 时, x ? ★练习已知 x ?
4 取最小值. x?2

1 4 ,则当 x ? 时, x ? 取最小值. 2x ? 1 2
2x 的最小值是. x ?1

★练习已知 x ? ?1, ?? ? ,则函数 f ? x ? ? 2 x ?

? 4? 【例题】已知 x ? ? 0, ? ,则当 x ? 时, x ? 4 ? 3x ? 取最大值. ? 3? ? 1 3? ★练习已知 x ? ? ? , ? ,则当 x ? 时, ?1 ? 2 x ?? 3 ? 4 x ? 取最大值. ? 2 4? ? ?? ★练习已知 x ? ? 0, ? ,则当 x ? 时, sin x cos x 取最大值. ? 2?

【例题】函数 f ? x ? ?

x 的最大值是. x ?1

★练习已知 x ? ? 0, ?? ? ,则函数 f ? x ? ? ★练习函数 f ? x ? ?
x2 ? 5 x2 ? 1

? x ? 1?? x ? 2 ?

x

的最大值是.

的最小值是.

x2 ? 7 x ? 10 的最小值是. x ?1 x2 ? 2 x ? 6 ★练习已知 x ? ?1, ?? ? ,则函数 f ? x ? ? 的最小值是. x ?1
【例题】已知 x ? ? ?1, ??? ,则函数 f ? x ? ?

【例题】已知 x ? ?3,6? ,则当 x ? 时, x ? ★练习已知 x ??1,2? ,则当 x ? 时, 2 x ? 【例题】函数 f ? x ? ? x 2 ? ★练习函数 f ? x ? ? sin 2 x ? ★练习函数 f ? x ? ?
x2 ? 3 x2 ? 2
2

4 取最小值. x

18 取最小值. x

1 的值域是. x ?3 2 的值域是. sin 2 x

的值域是.

【例题】若实数 a,b 满足 a ? b ? 2 ,则 3 a ? 3b 的最小值是.
a b ★练习若实数 a,b 满足 a ? 3b ? 2 ,则 2 ? 8 的最小值是.

★练习若实数 a,b 满足 log4 a ? log4 b ? 2 ,则 【例题】若正数 a,b 满足

1 1 ? 的最小值是. a b

1 9 ? ? 1 ,则 a ? b 的最小值是. a b 1 1 ★练习若正数 a,b 满足 ? ? 3 ,则 a ? b 的最小值是. a b 1 1 ★练习若正数 a,b 满足 2a ? b ? 1 ,则 ? 的最小值是. a b 1.长为 8 的铁丝围成矩形,则矩形面积的最大值是() A.4 B.8 C.12 D.16 2.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是() a+b a+b a+b a+b A.a<b< ab< B.a< ab< <b C.a< ab<b< D. ab<a< <b 2 2 2 2
3.设 a ? 0, b ? 0 ,若 3 是 3 与 3 的等比中项,则
a b

1 1 ? 的最小值为() a b
D.

A.8

B.4

C.1

1 4

4. 已知 a, b, m, n, x, y 均为正数, 且a ? b, 若 a, m, b, x 成等差数列,a, n, b, y 成等比数列, 则有() A. m ? n , x ? y B. m ? n , x ? y C. m ? n , x ? y D. m ? n , x ? y



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