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二次函数(一轮复习)



基本初等 函数

二 次 函 数

二次函数

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〖考纲要求〗
理解二次函数的概念,掌握它的图象 和性质,能灵活运用二次函数的图象 和性质解决二次函数的最值问题、一 元二次方程的实根分布以及恒成立等 有关问题.了解二次函数、一元二次不 等式、一元二次方程三者之间的灵活 转化的关系.

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1.二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x)(x∈R)且f(x)=0有两个实根x1、

x2,则x1+x2等于(
A.0 B.3

)
C.6 D.不能确定

2.如果二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是( A.k>- 7/4 C.k≥- 7/4 B.k≥- 7/4 D.k>- 7/4 且k≠0 且k≠0

)

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1.二次函数的三种表示形式
2 一般式: y=ax +bx+c(a≠0) . 2 顶点式: y=a(x-h) +k(a≠0) ,

其中 (h,k)为抛物线的顶点坐标.

两根式: y=a(x-x1)(x-x2) , 其中 x1,x2 是抛物线与x轴交点的横坐标.

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2.二次函数的图象和性质
解析式 f(x)=ax2+bx+c (a>0) f(x)=ax2+bx+c (a<0)

图象

定义域 值域

R
2 ? ? ?4ac- b ? ,+∞? ? 4a ? ?
? b? ? 在?-∞,- ? 上是递减的; 2a ? ? ? ? ? b ,+∞? 在? ?- ?上是递增的 2a ? ?

R
? 4ac-b2? ? ? ?-∞, 4a ? ? ?
? b? ? 在?-∞,- ? 上是递增的; 2a ? ? ? ? ? b ,+∞? 在? ?- ?上是递减的 2a ? ?

单调性

奇偶性

b=0 时为偶函数,b≠0 时为非奇非偶函数

对称性

b x =- 图像关于直线 2a 成轴对称图形

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3.三个二次的关系
Δ=b2-4ac y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程ax2+bx+c= 0(a>0)的解 x=x1 . x=x2 . {x|x<x1或 x>x2} . x1=x2=x0 Δ>0 Δ=0 Δ<0

.

无解

ax2+bx+c>0(a>0) 的解集

{x|x≠x0} .

R

ax2+bx+c<0(a>0) 的解集

{x|x1< x<x2}

?.

?.

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例1:已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大
值是8,试确定此二次函数的解析式. 解:解法一:利用二次函数一般式 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

由题意得

解之得

∴所求二次函数为y=-4x2+4x+7.

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解法二:利用二次函数顶点式 设f(x)=a(x-m)2+n, ∵f(2)=f(-1),∴抛物线对称轴方程为x= .
2+8.

∴ m=

,又根据题意函数有最大值为n=8.∴y=f(x)=a
2+8=-1,解之得a=-4. 2+8=-4x2+4x+7.

∵f(2)=-1,∴a ∴f(x)=-4

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解法三:利用两根式 由已知,f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值ymax=8,即 =8,

解之得a=-4或a=0(舍),∴所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.

二次函数解析式的确定,应视具体问题,灵活地选 用其形式,再根据题设条件列方程组,即运用待定系数法来求解. 在具体问题中,常常会与图象的平移、对称,函数的周期性、奇 偶性等知识有机地结合在一起.

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已知二次函数的对称轴为 x=-2, 截 x 轴上的弦长为 3, 且过点(0,-1),求函数的解析式.

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【例2】 (1)方程x2-2ax+4=0的两根均大于1,则实数a的取值范围是 ________. (2)方程x2-2ax+4=0的一根大于1,一根小于1,则实数a的取值范围

是________.

二次方程的实根分布问题是高考的一个 热点问题,判断二次方程的根分布的关键在于作出 二次函数的图象的草图,根据草图通常从开口、判别 式、对称轴的位置、特殊点的函数值这四个角度列出 不等式组求解.

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1. 方程 x2 - 2ax + 4 = 0 的一根在 (0,1) 内,另一个根在 (6,8)

内,则实数a的取值范围是________.

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2.设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根

x1和x2满0<x1<x2<1.求实数a的取值范围;

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3. 已知函数 f(x) =( m-1)x2 + 2mx + 2m + 1 的零点都 在区间(0,1)上,求实数m的取值范围.

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?例3?已知二次函数 f(x) =-x2+2ax+1- a在 区间[0,1]上有最大值为2,求实数a的值.

求二次函数的最值要注意以下三点: (1)对称轴的位置与区间的关系; (2)结合函数的单调性; (3)结合函数的图象.

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函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t,t+1](t∈R) 上的最小值记为g(t).试写出g(t)的函数表达式;

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4.(2010· 安徽高考)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+ c的图象可能是 ( )

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?例4? (1)关于x的不等式mx2-(m+3)x-1<0对于任意实数x均成立, 求实数m取值范围。

(2) 函数 f(x)=x2+ax+3, 当 x∈[- 2,2] 时 , f(x) ≥a恒成立, 求的取值范围。

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1.对于满足|a|?2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒 成立的x的取值范围.

2.已知函数 y ? mx2 ? 6mx? m ? 8 的定义域为R,求实数m的取 值范围 3.若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立, 求m的取值范围。

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