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第十四讲:2013年高考概率与统计命题热点研讨(2)



第十四讲:2013 年高考概率与统计命题热点研讨(2)
主讲人:孟老师

第三部分:热点模拟演练

下面我们对 2013 年高考进行一个小小的预测.同学们要注意的是, 近年来的高考对概率和统 计的分界线越来越不明显了.高考理科偏重于考察二项分布、超几何分布,文科侧重于考察 线性回归直线方程、 独立性检验、 茎叶图、 频率分布直方图等方面, 这是同学们应该注意的.

孟老师大胆猜题点 1 随机抽样

1(孟老师模拟举例) 某地有居民 100 000 户,其中普通家庭 99 000 户,高收入家庭 1 000 户.从普通家庭中以 简单随机抽样方式抽取 990 户. 从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取 100 户进行调查, 发现共有 120 户家庭拥有 3 套或 3 套以上住房, 其中普通家庭 50 户, 高收入家庭 70 户. 依 据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比 例的合理估计是__________. 解析: 所抽取的 990 户普通家庭中有 50 户拥有 3 套或 3 套以上住房, 所抽取的 100 户高收 入家庭中有 70 户拥有 3 套或 3 套以上住房, 那么 99 000 户普通家庭中就有 5 000 户拥有 3 套或 3 套以上住房,1 000 户高收入家庭中就有 700 户拥有 3 套或 3 套以上住房.那么该 5 000+700 5 700 地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例为 = =5.7%.答案:5.7% 100 000 100 000

2(孟老师模拟举例) 为了了解参加某种知识竞赛的 1003 名学生的成绩,请用系统抽样抽取一个容量为 50 的样

1

本. 解:⑴随机地将这 1003 个个体编号为 1,2,3,…,1003. ⑵利用简单随机抽样,先从总体中剔除 3 个个体(可利用随机数表),剩下的个体数 1000 能 被样本容量 50 整除,然后再按系统抽样的方法进行. 说明:总体中的每个个体被剔除的概率相等(

3 ),也就是每个个体不被剔除的概率相等 1003

50 ? 1000 ? ,所以在整个抽样过程中每个个 ? ? 采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是 1000 ? 1003 ?
王新敞
奎屯 新疆

体被抽取的概率仍然相等,都是

1000 50 50 ? ? 1003 1000 1003

3(2008 年广东 B 卷) (本小题满分 13 分) 随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万 元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ? . (1)求 ? 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提高为 70% .如果 此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少? . (1) 的所有可能取值有 6, 1, P(? ? 6) ? 解: ? 2, -2;

126 50 ? 0.63 ,P(? ? 2) ? ? 0.25 200 200

P(? ? 1) ?

20 4 ? 0.1, P(? ? ?2) ? ? 0.02 200 200

故 ? 的分布列为:

?
P

6 0.63

2 0.25

1 0.1

-2 0.02

(2) E? ? 6 ? 0.63 ? 2 ? 0.25 ? 1? 0.1 ? (?2) ? 0.02 ? 4.34
2

(3)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为

E( x) ? 6 ? 0.7 ? 2 ? (1 ? 0.7 ? 0.01 ? x) ? (?2) ? 0.01 ? 4.76 ? x(0 ? x ? 0.29)
依题意, E ( x) ? 4.73 ,即 4.76 ? x ? 4.73 ,解得 x ? 0.03 所以三等品率最多为 3%

4(2009 年天津卷) 某学院的 A,B,C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采 用 分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本.已知该学院的 A 专业有 380 名学生,B 专业有 420 名学生,则在该学院的 C 专业应抽取____名学生. 【考点定位】本小题考查分层抽样,基础题. 解析: 专业的学生有 1200? 380 ? 420 ? 400, C 由分层抽样原理, 应抽取 120? 名.

400 ? 40 1200

5(2011 年四川卷) 有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5.39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是 (A)

1 6

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3
22 1 ? . 66 3

答案:B 解析:从 31.5 到 43.5 共有 22,所以 P ?

3

孟老师大题猜题点 2 特征数的计算

1(孟老师模拟举例) 一组数据的标准差为 s,将这组数据中每一个数据都扩大到原来的 2 倍,所得到的一组数据 的方差是 s2 A. 2 B.4s2 C.2s2 D.s2

解析:每个数据都扩大到原来的 2 倍,则 x 也扩大到 2 x 1 ∵s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2] n 1 ∴s′2= [(2x1-2 x )2+(2x2-2 x )2+…+(2xn-2 x )2]=4s2. n 答案:B

2(2011·北京西城区高三二模) 某次测试成绩满分为 150 分,设 n 名学生的得分分别为 a1,a2,…,an(ai∈N,1≤i≤n), bk(1≤k≤150)为 n 名学生中得分至少为 k 分的人数.记 M 为 n 名学生的平均成绩,则 b1+b2+…+b150 A.M= n b1+b2+…+b150 C.M> n b1+b2+…+b150 B.M= 150 b1+b2+…+b150 D.M> 150

解析:依题意得,这 n 名学生的成绩中,得 1 分的人数为 b1-b2;得 2 分的人数为 b2-b3; 得 3 分的人数为 b3-b4; ……得 148 分的人数为 b148-b149; 149 分的人数为 b149-b150; 得 得 150 分的人数为 b150,因此在这次测试中所有的学生总成绩为(b1-b2)+2(b2-b3)+3(b3 -b4)+…+148(b148 -b149)+149(b149 -b150)+150b150 =b1 +b2 +b3 +…+b148 +b149 + b150,M= b1+b2+b3+…+b148+b149+b150 n ,选 A.

4

答案:A

孟老师大胆猜题点 3:古典概型

1(2012·蚌埠第一次质检) 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特征完 全相同.从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为 60 A. 91 B. 48 91 25 C. 91 D. 8 91

1 5 4 C2C1C1+C6C2C1+C1C5C2 48 6 5 4 6 1 4 解析:由已知可得 P= = . C4 91 15

答案:B

2(2012 年湖南卷) (本小题满分 12 分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾 客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. ... (注:将频率视为概率)

5

【解析】 (1)由已知,得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35, 所以 x ? 15, y ? 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物的结 算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得

15 3 30 3 25 1 ? , p( X ? 1.5) ? ? , p( X ? 2) ? ? , 100 20 100 10 100 4 20 1 10 1 p( X ? 2.5) ? ? , p( X ? 3) ? ? . 100 5 100 10 p( X ? 1) ?

X 的分布为
X P X 的数学期望为 1 1.5 2 2.5 3

3 20

3 10

1 4

1 5

1 10

E ( X ) ? 1?

3 3 1 1 1 ? 1.5 ? ? 2 ? ? 2.5 ? ? 3 ? ? 1.9 . 20 10 4 5 10

(Ⅱ)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟” X i (i ? 1, 2) 为该顾客前面第 i , 位顾客的结算时间,则

P( A) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5且X 2 ? 1) .
由于顾客的结算相互独立,且 X 1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以

P( A) ? P( X 1 ? 1) ? P(X 2 ? 1) ? P( X 1 ? 1) ? P( X 2 ? 1.5) ? P( X 1 ? 1.5) ? P( X 2 ? 1)

?

3 3 3 3 3 3 9 . ? ? ? ? ? ? 20 20 20 10 10 20 80 9 . 80

故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为

【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分 析问题能力.第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%知

25 ? y ? 10 ? 100 ? 55%, x ? y ? 35, 从而解得 x, y ,计算每一个变量对应的概率,从而求
得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. ...

6

3(孟老师模拟举例) 9 个国家乒乓球队中有 3 个亚洲国家队,抽签分成甲、乙、丙三组(每组 3 队)进行预赛, 试求: (1)三个组各有一个亚洲队的概率; (2)至少有两个亚洲队分在同一组的概率
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解:9 个队分成甲、乙、丙三组有 C 3 C 3 C 3 种等可能的结果 (1)三个亚洲国家队分给甲、 9 6 3
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2 乙、丙三组,每组一个队有 A 3 种分法,其余 6 个队平分给甲、乙、丙三组有 C 6 C 2 C 2 种 3 4 2 2 分法 故三个组各有一个亚洲国家队的结果有 A 3 ·C 6 C 2 C 2 种,所求概率 3 4 2
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P(A)=

2 A3 ? C6C2C2 3 4 2

C3C3C3 9 6 3

=

9 28

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答:三个组各有一个亚洲国家队的概率是

9 28

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(2)∵事件“至少有两个亚洲国家队分在同一组”是事件“三个组各有一个亚洲国家队”的对立 事件,∴所求概率为 1-
9 19 = 28 28
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答:至少有两个亚洲国家队分在同一组的概率是

19 28

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4(2011·北京海淀区高三抽测) 下面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平 均成绩超过乙的平均成绩的概率为

7

2 A. 5

B.

7 10

4 C. 5

D.

9 10

1 解析: 记其中被污损的数字为 x.依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是 (80×2+90×3+8 5 1 1 +9+2+1+0)=90,乙的五次综合测评的平均成绩是 (80×3+90×2+3+3+7+x+9)= 5 5 1 (442+x).令 90> (442+x),由此解得 x<8,即 x 的可能取值是 0~7,因此甲的平均成绩 5 超过乙的平均成绩的概率为 答案:C 4 = ,选 C. 10 5 8

孟老师大胆猜题点 4:几何概型

1(2012·北京海淀区模拟) 在一个边长为 1000 米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站,若向此区域内随机投 放一个爆破点,则爆破点距离监测站 200 米内都可以被监测到.那么随机投放一个爆破点 被监测到的概率为__________. π? 200? 解析:根据几何概型得所求的概率为 P= ? 1000? π 答案: 25 π = . 2 25
2

2.(2012·山东高考预测) 若在区间[-5,5]内随机地取出一个数 a,则 1∈{x|2x2+ax-a2≥0}的概率为__________. 3 解析:因为 1∈{x|2x2+ax-a2≥0},所以 a2-a-2≤0,-1≤a≤2,故所求概率为 P= . 10

8

3 答案: 10

孟老师大胆预测点 5:互斥、对立事件的概率

1(2009 年天津卷) 在 10 件产品中,有 3 件一等品,4 件二等品,3 件三等品.从这 10 件产品中任取 3 件,求: (Ⅰ) 取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ) 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率. 本小题主要考查古典概型及计算公式、 离散型随机变量的分布列和数学期望、 互斥事件等基 础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分 12 分. (Ⅰ)解:由于从 10 件产品中任取 3 件的结果为 k 件一等品的结果数为
k

C

k 3

,从 10 件产品中任取 3 件,其中恰有

CC
3

k

3? k 7

,那么从 10 件产品中任取 3 件,其中恰有 k 件一等品的概

率为 P( X ? k ) ? C C C
3 3

3? k 7

, k ? 0,1, 2,3

10

所以随机变量 X 的分布列是 X P 0 1 2 3

21 7 1 40 40 120 7 21 7 1 9 X 的数学期望 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 24 40 40 120 10
(Ⅱ)解:设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A, “恰好取出 1 件 一等品和 2 件三等品”为事件 A1“恰好取出 2 件一等品“为事件 A2, ”恰好取出 3 件一等品” 为事件 A3 由于事件 A1,A2,A3 彼此互斥,且 A=A1∪A2∪A3 而

7 24

P( A ) ? C C C
3 1 3 10

1

2 3

?

3 7 1 , , P( A2 ) ? P( X ? 2) ? , P( A3 ) ? P( X ? 3) ? 40 40 120
9

所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为

P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ?

3 7 1 31 7 1 31 + + = ? ? ? 40 40 120 120 40 120 120

2(2011 年四川卷) 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每 车每次租不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时 计算).有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别 为

1 1 1 1 , ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 , ;两人租车时间都不会超过四 4 2 2 4

小时. (Ⅰ)求出甲、乙所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? . 解析: (1)所付费用相同即为 0, 2, 4 元.设付 0 元为 P ? 1 4 元为 P ? 3

1 1 1 1 1 1 ? ? ,付 2 元为 P2 ? ? ? ,付 4 2 8 2 4 8

1 1 1 ? ? 4 4 16
5 16

则所付费用相同的概率为 P ? P ? P2 ? P ? 1 3

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ? , ? 可为 0, 2, 4,6,8

P(? ? 0) ? P(? P(? P(? P(?

1 8 1 1 1 1 5 ? 2) ? ? ? ? ? 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 ? 4) ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 2 4 16 1 1 1 ? 8) ? ? ? 4 4 16

分布列

10

?
P

0
1 8

2
5 16

4
5 16

6
3 16

8
1 16

5 5 9 1 7 E? ? ? ? ? ? 8 4 8 2 2

11



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