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第一章计数原理第3节



第一章 1.3
题型 1 二项式定理的应用
●二项式定理 1.定理叙述:

计数原理 二项式定理

0 n 1 n r n ?r r n n 公式 (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? ) 称为二项式定理.

⑴ (a ? b)n

的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项:

a n , a n b ,?, a n?r br ,?, bn ,
⑵二项式系数:
r Cn (r ? 0,1,?n) 叫二项式系数,

⑸二项式定理中,令 a ? 1, b ? x ,则得到公式
1 r r (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn

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奎屯

新疆

王新敞
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2. 二项式定理的证明 由于 (a ? b) 是 n 个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时都仅有两种选择,即选 a 或选 b,并且每
n

个(a+b)中的 a 或 b 都被选定之后,才能得到展开式的一项.因此,由分步乘法计数原理可知, 在合并同类项之前, (a ? b) 的展开式共有 2 项,其中每一项都是 a
n
n

n?k

bk (k=0,1,2,?,n)

的形式.
n k a n?k bk 出现的次数相当于从 n 个(a+b)中取出 k 个 b 的组合数 Cn , 这样 (a ? b) 的展开式中,

k a n?k bk 就共有 Cn 个,将它们合并同类项之后,就得到二项展开式. 0 n 1 n r n ?r r n n (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? )

●二项式通项 二项式通项:
r n ?r r r n?r r a b . Cn a b 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 Tr ?1 ? Cn

1

设题 001.利用二项式定理求展开式的问 题 例 1.展开 (1 ? ) .
4

的倒数第 4 项是第 10 项,
9 12?9 9 3 3 9 T9?1 ? C12 x a ? C12 x a ? 220x3a9

1 x

例 4.求(1) (2a ? 3b)6 , (2) (3b ? 2a)6 的展开式中的第 3 项.
2 解析:(1) T2?1 ? C6 (2a)4 (3b)2

解析:解法 1:

1 1 1 1 1 1 2 3 1 3 (1 ? ) 4 ? 1 ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? ( )4 x x x x x

4 6 4 1 ? 1? ? 2 ? 3 ? 4 . x x x x 1 4 1 4 4 解法 2: (1 ? ) ? ( ) ( x ? 1) x x 1 1 3 1 2 3 ? ( )4 ? x 4 ? C4 x ? C4 x ? C4 x ? 1? ? ? x 4 6 4 1 ? 1? ? 2 ? 3 ? 4 . x x x x
例 2.展开 (2 x ?

? 2160a 4b2
2 (2)T2?1 ? C6 (3b)4 (2a)2 ? 4860b4a2 .

规律: (2a ? 3b) , (3b ? 2a) 的展开后结
6 6

果相同,但展开式中的第 r 项不相同 设题 003 . 求二项式系数的问题

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1 6 ) . x

例 5. 在 (a ? b) 的展开式中, 奇数项的
n

解析: (2 x ?

1 6 1 ) ? 3 (2 x ? 1)6 x x

?

1 1 2 [(2 x)6 ? C6 (2 x)5 ? C6 (2 x) 4 3 x

二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和 证明:在展开式
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0 n 1 n (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??

3 2 1 ?C6 (2x)3 ? C6 (2x)2 ? C6 (2x) ?1]

r n ?r r n n ?Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N ? )

? 64 x3 ? 192 x 2 ? 240 x ? 160 ?

60 12 1 ? ? x x 2 x3
n

中,令 a ? 1, b ? ?1 ,则
0 1 2 3 n (1 ?1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? (?1)n Cn 0 2 1 3 即 0 ? (Cn ? Cn ? ?) ? (Cn ? Cn ? ?) , 0 2 1 3 ∴ Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ?,

规律:记准、记熟二项式(a+b) 的展开式, 是解答好与二项式定理有关问题的前提,对 较复杂的二项式,有时可先化简再展开,会 更简便. 设题 002.利用二项式定理求指定的项 例 3.求 ( x ? a) 的展开式中的倒数第 4
12

即在 (a ? b) 的展开式中,奇数项的二
n



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项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和. 设题 004 . 求二项式展开式系数的问题

解析: ( x ? a) 的展开式中共 13 项,它
12

2

例 6.若 ( x ?
2

1 6 ) 的二项式展开式中 x3 ax

=

的系数是

5 ,则 a= (用数字作答) 2 1 6 2 解析: ( x ? ) 展开式的通项公式为 ax 1 r ? r 12 ?3 r Tr ?1 ? C6r ( x 2 )6?r ? ( )r ? C6 a x ,令 ax 1 2? 3 r? 3 ,得 r ? 3 . 5 3 ?3 所以 C6 a ? ,解得 a=2. 2
例 7. (1)求 (1 ? 2 x) 的展开式的第 4
7

( x ? 1)11 ? ( x ? 1) , x
3 4

∴原式中 x 实为这分子中的 x ,则所
7 求系数为 C11
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规律:本 设题 005 . 多项式的展开式问题 例 9.求 ( x ? 3x ? 4) 的展开式中 x 的
2 4

系数

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项的系数;
3 ( 2 )求 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数
9

解析:解法 1: ( x ? 3x ? 4)
2

4

1 x

? [(x 2 ? 3x) ? 4]4
0 1 ? C4 ( x2 ? 3x)4 ? C4 ( x2 ? 3x)3 ? 4 ? 2 3 4 C4 ( x2 ? 3x)2 ? 42 ? C4 ( x2 ? 3x) ? 43 ? C4 ? 44

及二项式系数

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解析: (1 ? 2 x) 的展开式的第四项是
7

3 3 T3?1 ? C3 7 (2 x) ? 280x ,

∴ (1 ? 2 x) 的展开式的第四项的系数
7

显然,上式中只有第四项中含 x 的项, ∴展开式中含 x 的项的系数是
3 ? C4 ? 3 ? 43 ? ?768

是 280 . ( 2 ) ∵ (x ? ) 的 展 开 式 的 通 项 是
9

1 x

解法 2: ( x ? 3x ? 4)
2

4

1 Tr ?1 ? C9r x 9? r (? ) r ? (?1) r C9r x 9? 2 r , x ∴ 9 ? 2r ? 3 , r ? 3 ,
3 ∴ x 的系数 (?1)3 C9 ? ?84 , x 的二
3 3

? [(x ? 1)(x ? 4)]4 ? ( x ? 1) 4 ( x ? 4) 4
0 4 1 3 2 2 3 4 ? (C4 x ? C4 x ? C4 x ? C4 x ? C4 )?

3 项式系数 C9 ? 84 .

例 8.求(1+x)+(1+x) +?+(1+x) 展开式 3 中 x 的系数
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2

10

0 4 1 3 2 2 3 4 (C4 x ? C4 x ? 4 ? C4 x ? 42 ? C4 x ? 43 ? C4 ? 44 )

10 解析: (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? ? ( 1 ? x)

∴展开式中含 x 的项的系数是
3 4 3 3 4 ? C4 4 ? ?768 . ? C4

?

(1 ? x)[1 ? (1 ? x)10 ] 1 ? (1 ? x)

规律:本题要把多项式展开,必须先把

3

三项中的某两项结合起来,看成一项,才可 以用二项式定理展开,然后再用一次二项式 定理,也可以先把三项式分解成两个二项式 的积,再用二项式定理展开
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r 2n =Cr n(-1) x

-3r

2 令 2n-3r=0,得 r= n, 3 所以 n 可以被 3 整除, 当 n=3 时,C2 3=3≠15,当 n=6 时,
4 C6 =15,故选 D.

设题 006. 二项式中的常数项问题 例 10.(1)求 ( ? 项; ( 2 )求 ( ? 项. 解析:∵ Tr ?1 ? C9 ( )
r

x 3

3 9 ) 的展开式常数 x

例 12.求 ( x ? 解析: ∵ ( x ?

1 ? 2)3 展开式中的常数项. x
1 1 6 ? 2)3 ? ( x ? ) x x

x 3

3 9 ) 的展开式的中间两 x

∴展开式的通项是

x 3

9? r

(

3 r ) x

Tr ?1 ? C6r ( x )6? r ? (?

1 x

)r

? C9r ? 32 r ?9 x

3 9? r 2

? (?1) r C6r ? x

3? r

∴(1)当 9 ?

3 r ? 0 ,即 r ? 6 时展开 2

由题意知,若 Tr ?1 为常数项,则 3 ? r ? 0 , ∴r

式是常数项,即常数项为
6 T7 ? C9 ? 33 ? 2268 ;

? 3.
3 T4 ? ?C6 ? ?20 .

∴展开式的第 4 项为常数项,即

x 3 9 ) 的展开式共 10 项,它 (2) ( ? 3 x
的中间两项分别是第 5 项、第 6 项,

规律:二项式的展开式的某一项为常数项, 就是这一项不含“变量” ,一般采用令通项

T5 ? C94 ? 38?9 x9?12 ?
5 T6 ? C9 ? 310?9 x
2

42 , x3
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Tr ?1 中的变量的指数为 0 的方法求得常数
项. 设题 007. 展开式中的有理项问题 例 13.如果 (3 x ?
2

9?

15 2

? 378 x3

例 11. ( x ? ) 的展开式中,常数项
n

1 x

2 n ) 的展开式中含有 x3
) C.6 D.10
- -

为 15,则 n=( A.3

) B.4 C.5
2

非零常数项,则正整数 n 的最小值为( D.6 A.3 B.5

解析: ( x ? ) 的展开式中,
n
- 2 n-r Tr+1=Cr ,(-1)rx r n(x )

1 x

2 n k 解析:因为 Tk+1=Ck (-2x 3)k n(3x ) 2n =(-2)k· 3n kCk nx
- -5k

, 则 2n-5k=0, 即

5k=2n,

4

?n=5 ?n=10, ? ? 所以? 或? . ? ? ?k=2 ?k=4,

例 15.已知 ( x ?

3

1 10 ) 的展开式的第 3 x

故 n 的最小值为 5,故选 B. 例 14.已知 ( x ?

项小于第 4 项,求 x 的取值范围. 解析:使 ( x ? x>0. 依题意,有 T3 ? T4 ,即

1 2 x
4

)n 的展开式中,

3

1 10 ) 有意义,必须有 x

前三项系数的绝对值依次成等差数列, (1)证明展开式中没有常数项; (2)求展开式中所有的有理项
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1 1 2 2 解析:由题意: 2C ? ? 1 ? Cn ? ( ) , 2 2
1 n

即 n ? 9n ? 8 ? 0 ,∴ n ? 8(n ? 1舍去)
2

1 1 2 3 C10 ( x )8 ( 3 ) 2 ? C10 ( x ) 7 ( 3 )3 x x


∴ Tr ?1 ? C8

r

? x?

8? r

? (?

1 2 x
4

)r

10 ? 9 10 ? 9 ? 8 1 ? x? ? ( x ? 0) . 2 ?1 3 ? 2 ?1 3 x
5

8? r r ? 1 ? (? )r ? C8r x 2 ? x 4 2 3r C8r 16? 4 ? ? ?1? r ? x (0 ? r ? 8, r ? Z ) 2 r

解得 0 ? x ?

8 ( )6 . 3
5

∴x 的取值范围是 {x 0 ? x ?
n

8 ( )6 } 3
n ?1

①若 Tr ?1 是常数项,则

16 ? 3r ? 0 ,即 4

例 16.证明不等式 3 ? (n ? 2) ? 2
* 中 n ? N 且 n ? 2 ). * 解析:∵ n ? N 且 n ? 2

(其

16 ? 3r ? 0 , ∵ r ? Z ,这不可能,∴展开式中没有
常数项;

16 ? 3r ②若 Tr ?1 是有理项,当且仅当 4
为整数, ∴ 0 ? r ? 8, r ? Z ,∴ r ? 0, 4,8 , 即展开式中有三项有理项,分别是:

∴ 3 ? (2 ? 1) 展开式中最少有四项.
n n



(2 ? 1) n
0 n 1 n?1 n?1 ? Cn 2 ? Cn 2 ??? Cn ? 2 ?1
n ?1 ? 2n ? n ? 2 ? 2 n? 1

35 1 ?2 x , T9 ? x T1 ? x 4 , T5 ? 8 256
开,结合有理数的定义去求值. 设题 008. 二项式与不等式问题

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规律: 利用通项公式先对各项进行展

? 2n ? n ? 2n?1 ? (n ? 2) ? 2n?1

5

∴ 3n ? (n ? 2) ? 2n?1 . 规律:用二项式定理证明不等式或解不等 式时,要根据 n 的最小值确定展开的最少项 数,然后视情况确定要保留多少项即可. 设题 009. 二项式与方程问题 例 17.在实数范围内解关于 x 的方程
x 4 ? 4 x3 ? 6 x 2 ? 4 x ? 15 ? 0 .

?1 ? 2 x ?

m

? ?1 ? 4 x ? 展开式中含 x 2 的
n

2 2 2 2 项的系数为 t ? Cm 2 ? Cn 4

? 2m2 ? 2m ? 8n2 ? 8n ,
∵ m ? 2n ? 18 , ∴ m ? 18 ? 2n , ∴

t ? 2(18 ? 2n)2 ? 2(18 ? 2n) ? 8n2 ? 8n
? 16n2 ? 148n ? 612

解析:因为 x ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? 15
4 3 2

?C x ?C x ?C x 4 ?C x 4? C ? 4 16
0 4 4 1 4 3 2 2 3 4

? 16(n 2 ?

? ( x ? 1)4 ? 16 ? 0

37 153 n? ), 4 4 37 * ∴当 n ? 时, t 取最小值,但 n ? N , 8
2 ∴ n ? 5 时,t 即 x 项的系数最小,最小

所以 ( x ? 1)2 ? 4 解得 x ? 1 或 x ? ?3 规律:二项式定理的逆用,对方程中的式子 要明确是由那个二项式展开所得的,把多项 式还原回来化简求解. 设题 010. 可化为二项式的多项式求解 问题 例 18.已知

值为 272,此时 n ? 5, m ? 8 . 规律: 先化简整理原式,再求解 .本题 展开式中含 x2 项的系数是关于 m, n 的关系 式,由展开式中含 x 项的系数为 36 ,可得 2m ? 4n ? 36 ,从而转化为关于 m 或 n 的二 次函数求解 设题 011. 近似值的计算
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例 19.求 0.998 的近似值,使误差小于
m n

6

f ( x) ? ?1 ? 2x? ? ?1 ? 4x?

(m, n ? N * )

0.001. 解析: 0.998 ? (1 ? 0.002)
6 6

的展开式中含 x 项的系数为 36 , 求展开式中 含 x 项的系数最小值
m

2

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0 1 6 ? C6 ? C6 (?0.002)1 ? ?? C6 (?0.002)6
n

解析:?1 ? 2 x ? ? ?1 ? 4 x ? 展开式中含

2 展开式中第三项为 C6 0.0022 ? 0.00006 ,

x 的项为
C ? 2x ? C ? 4x ? (2C ? 4C ) x
1 m 1 n 1 m 1 n 1 1 ∴ (2Cm ? 4Cn ) ? 36 ,即 m ? 2n ?18 ,

小于 0.001,以后各项的绝对值更小,可忽 略不计,
∴ 0.998
6

? (1 ? 0.002)6

6

? C ? C (?0.002) ? 0.998
0 6 1 6 1

∴1.997 ≈32-0.24+0.00072 ≈31.761.
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5

一般地当 a 较小时 (1 ? a) ? 1 ? na
n
5

规律:用二项式定理进行近似计算的关 键是确定展开式中的保留项,使其满足近似 计算的精确度.在精确度允许的范围内可以 忽略不计,要注意按问题对精确度的要求, 来确定对展开式中各项的取舍.

例 20.计算 1.997 精确到 0.001 的近似 值. 解析:∵ 1.997 = (2 -0.003) =2 -C5 ×2 ×0.003 + C 5 ×2 ×0.003 + ? - C 5 (0.003) .又第三项的值为 10×8×0.003 = 0.00072,第四、五、六项都比 0.0007 更小.
5 2 4 2 3 2 5 5 5 5 1

题型 2

与杨辉三角的有关问题

●二项式系数表(杨辉三角) 1.特征: (1)每行两端都是 1; (2)除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

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(a ? b)n 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1, 2,3 ?时,
二项式系数表. 2.用组合数给出的解释: 表中除 1 以外的任意数为 Cn ?1 ,它肩上的两个数分别为 Cn 和 Cn ,由组合数的性质可知
r r ?1 r Cn ? Cn . ?1 ? Cn
r r ?1

r

●二项式系数的性质
m n?m 1.对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等( Cn ) . ? Cn

2.各二项式系数和: (1)所有二项式系数和等于 2 ;
1 r r (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn ,
n

0 1 2 r n 令 x ? 1 ,则 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? ?? Cn

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(2)奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和.

7

●函数的观点研究二项式系数
0 1 2 n r 1. (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn , Cn , Cn ,?, Cn . Cn 可以

看成以 r 为自变量的函数 f (r ) 定义域是 {0,1, 2,? , n} ,例当 n ? 6 时,其图像是 7 个孤立的点(如图) 直线 r ?

n 是图像的对称轴. 2

2.增减性与最大值.

n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? k ? 1) k ?1 n ? k ? 1 ? Cn ? , k! k n ? k ?1 n ? k ?1 n ?1 k k ?1 ?1? k ? ∴ Cn 相对于 Cn 的增减情况由 决定, , k k 2 n ?1 当k ? 时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得 2
∵ Cn ?
k

n

n ?1

n ?1

最大值;当 n 是偶数时,中间一项 Cn2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项 Cn 2 , Cn 2 取 得最大值. 设题 012 .求展开式中二项式系数最大的项 解得 n ? 5 . (1)(2 x ? ) 的展开式中第 6 项的二
10

1 11 例 21.二项式 (a ? ) 的展开式中二项 b
式系数最大的项是( A.第 5 项 C.第 5、6 项 ) B.第 6 项 D.第 6、7 项

1 x

项式系数最大,即

1 5 T6 ? T5?1 ? C10 ? (2x) 5 ? (? ) 5 ? ?8064 . x
(2)设第 r ? 1 项的系数的绝对值最大,

解析: 因为 11 为奇数, 所以 T6 、T7 为 二项式系数的最大项,故选 D. 例 22. 已知 (
3

1 r 则 Tr ?1 ? C10 ? (2 x)10?r ? (? )r x
r ? (?1)r ? C10 ? 210?r ? x10?2r

x ? x2 )2n 的展开式的系

数和比 (3x ? 1) n 的展开式的系数和大 992,

r 10 ? r r ?1 ? ? C10 ? 210 ? r ?1 ?C10 ? 2 ∴? r 10 ? r r ?1 10 ? r ?1 , ? C ? 2 ? C ? 2 10 10 ?
r r ?1 ? ?C10 ? 2C10 ?11 ? r ? 2r 得? ,即 ? r r ?1 ? ?2(r ? 1) ? 10 ? r ?2C10 ? C10

1 2n 求 (2 x ? ) 的展开式中: x
(1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项. 解析:由题意 2 2n ? 2 n ? 992 ,



8 11 ?r? , 3 3
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∴ r ? 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项

8

例 23.已知: ( x 3 ? 3x 2 )n 的展开式中, 各项系数和比它的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项 解析: 令 x ?1, 则展开式中各项系数和
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2

②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二 项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤ x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数 和.

为 (1 ? 3)n ? 22 n , 又展开式中二项式系数和为 2 , ∴2
2n
n

解析:设 (2 x ? 3 y)

10

? 2n ? 992 , n ? 5 .

? a0 x10 ? a1 x9 y ? a2 x8 y 2 ? ? ? a10 y10 (*),

(1)∵ n ? 5 ,展开式共 6 项,二项式 系数最大的项为第三、四两项,
2

各项系数 和即为 a 0 ? a1 ? ? ? a10 , 奇 数项系数和为 a0 ? a2 ? ? ? a10 , 偶数项系 数 和 为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的 奇 次 项系数和为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的偶 次项系数和 a0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 . 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求 出相关的系数和. ①二项式系数和为
0 1 10 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 210 .



T3 ? C52 ( x 3 )3 (3x 2 )2 ? 90 x6
2 22



3 T4 ? C5 ( x 3 )2 (3x 2 )3 ? 270 x 3 ,

(2)设展开式中第 r ? 1 项系数最大,
r r 则 Tr ?1 ? C5 ( x 3 )5?r (3x 2 )r ? 3r C5 x 2 10? 4 r 3



r r r ?1 r ?1 ? 7 9 ?3 C5 ? 3 C5 ? ?r? , ∴? r r r ?1 r ?1 2 2 ? ?3 C5 ? 3 C5

∴r ? 4, 即展开式中第 5 项系数最大,
4 T5 ? C5 ( x )(3x2 )4 ? 405x . 2 3 26 3

规律:(1) 求二项式系数最大的,要根据二 项式系数的性质,n 为奇数时中间两项的二 项式系数最大,n 为偶数时中间一项的二项 式系数最大. (2) 求展开式中系数最大与二项式系数是不 同的,需要根据各项系数的正负变化情况, 一般采用列不等式组,解不等式组的方法. 设题 013 .求二项式系数的有关问题 例 24.在 (2 x ? 3 y)10 的展开式中,求: ①二项式系数的和;

②令 x ? y ? 1 ,各项系数和为

(2 ? 3)10 ? (?1)10 ? 1 .
③奇数项的二项式系数和为
0 2 10 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 29 ,

偶数项的二项式系数和为
1 3 9 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 29 .

④设 (2 x ? 3 y)10

9

? a0 x ? a1 x y ? a2 x y ? ? ? a10 y ,
10 9 8 2 10

=4×(5+1)n+5(4+1)n-9
n 1 n 1 1 n = 4(C 0 +?+Cn n5 +Cn5 n 5 + Cn ) +
- -

令 x ? y ? 1 ,得到

n 1 n 1 1 n 5(C0 +?+Cn n4 +Cn4 n 4+Cn)-9
- -

a0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a10 ? 1 ?(1),
令 x ? 1 , y ? ?1 ( 或 x ? ?1 , y ? 1 ) 得

n 1 n 2 1 = 4×5(C0 +C1 +?+Cn n5 n5 n )+4
- - -

n 1 n 2 1 +5×4(C0 +C1 +?+Cn n4 n4 n )+5-9
- - -

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? 510 ?(2)
(1)+(2)得

n = 20(C 0 n5


-1

1 n +Cn 5


-2

n 1 +?+Cn )+


n 1 1 20(C0 +?+Cn n4 n )

故 4×6 +5

n

n+1

-9 能被 20 整除.

2(a0 ? a2 ? ? ? a10 ) ? 1 ? 510 ,
∴奇数项的系数和为 (1)-(2)得

1 n ?1 2 n?2 例 26. 已知 Sn ? 2n ? Cn 2 ? Cn 2 ??

1 ? 510 ; 2

n ?1 ?Cn ? 2 ? 1(n ? N? ) ,求证:当 n 为偶数时,

S n ? 4n ? 1能被 64 整除

王新敞
奎屯

新疆

2(a1 ? a3 ? ? ? a9 ) ? 1 ? 510 ,
∴偶数项的系数和为

1 n?1 2 n ?2 解析:∵ Sn ? 2n ? Cn 2 ? Cn 2 n ?1 ?? ? Cn ? 2 ? 1 ? (2 ? 1)n ? 3n ,

1 ? 510 . 2

⑤ x 的奇次项系数和为

∴ S n ? 4n ? 1 ? 3 ? 4n ? 1 ,
n

1 ? 510 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 ? ; 2
x 的偶次项系数和为

∵ n 为偶数,∴设 n ? 2k ( k ? N ) ,
*

∴ S n ? 4n ? 1

a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a10 ?

1 ? 510 . 2

? 32k ? 8k ?1 ? (8 ? 1)k ? 8k ?1
1 k ?1 ? Ck0 8k ? Ck 8 ? ?? Ckk ?18 ? 1 ? 8k ?1 1 k ?1 ? (Ck0 8k ? C8 8 ??? Ck2 )82 ( ? ) ,

规律:要把“二项式系数的和”与“各项 系数和” , “奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项 系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系 数和的常规方法之一. 设题 014. 整除性问题 例 25.求证:4×6n+5n 1-9 能被 20


当 k = 1 时, Sn ? 4n ? 1 ? 0 显然能被 64 整除, 当 k ? 2 时, ( ? )式能被 64 整除, 所以,当 n 为偶数时, Sn ? 4n ? 1 能被

整除(n∈N). 证明:4×6n+5n 1-9


64 整除

王新敞
奎屯

新疆

10

规律 : 有关整除性问题是二项式定理的 应用之一,其关键在于巧妙地将非标准的二 项式问题化归到二项式定理的情境上来,变 形要有一定的目的性,要凑出相关的因数, 注意结合再二项式的展开式和整除的有关性 质解决
王新敞
奎屯 新疆

1 2 ? 1092 ? C92 1091 ? C92 1090 ? 90 91 ? ? C92 102 ? C92 10 ? 1 1 2 ? 1092 ? C92 1091 ? C92 1090 ? 90 ? ? C92 102 ? 920 ? 1
1 2 ? 1092 ? C92 1091 ? C92 1090 ?

设题 015. 余数问题 例 27.5310 被 8 除的余数是( A.1 B.2
10

)
92

90 ? ? C92 102 ? 1000 ? 81

C.3
10

D.7
10 1 10 9

可见 91 除以 100 的余数是 81. 规律:解决余数有关问题,先将某项凑成与 除数有关的和式,在利用二项式定理展开. 设题 016. 杨辉三角的应用

解 析 : 53 = (56 - 3) = 56 + C
9 2 8 2

56 ×( - 3) + C 10 56 ×( - 3) + ? + C 10 56×(-3) +(-3) . ∴53 被 8 除的余数等于 3 被 8 除的余 数. 又 3 =9 =(8+1) =8 +C58 +?+C5 ×8+1. ∴所求余数为 1. 答案:A 例 28.今天是星期一,如果今天算第一 天,那么第 810 天是星期________. 解析: 8 =(7+1) =C107 +C107 +?+ C 7+C =7M+1(M∈Z),故 8 除以 7 余 1, 所以第 8 天是星期一. 例 29.求 91 除以 100 的余数. 解析: 91
92
10 9 10 10 10 10 10 10 0 10 1 9 10 5 5 5 1 4 4 10 10 9 10

例 30.(2004?上海)如下图,在由二项 式系数所构成的杨辉三角形中,第______行 中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2:3.

解析: ∵二项式展开式第 r+1 项的系数为
r , Tr ?1 ? Cn

∴第 n 行的第 14 个和第 15 个的二项式系数
13 14 分别为 Cn 与 Cn , 13 14 ∴ Cn : Cn ? 2: 3 ,

92

92

? (100 ? 9)92
1 92

?1 0 0 ? C
91 92

100 ? ?C 9
91

2 92

1 ?0 0 ? 9
90 2

? ? C 100 ? 9 ? 9
91

92

整理得

14 2 ? ,解得 n=34 n ? 13 3

前面各项均能被 100 整除,只有 992 不能被 100 整除.

992 ? (10 ? 1)92

故答案为 34 例 31. 在杨辉三角中,每一个数值是他上 面的两个数之和.试求: 在杨辉三角的某一行 中会出现相邻的三个数,他们的比是 3:4:5 吗?

11

? (n ?

11 2 99 ) ? 2 4

∵ n ? N* ∴当 n=5 或 6,m=6 或 5 时, x2 项的系数最 小为 25. 例 33.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且 解析: ∵杨辉三角第 n 行第 k 个数是 C , ∴相邻的三个数,他们的比是 3:4:5
k k ?1 k ?2 ∴ Cn : Cn : Cn ? 3: 4: 5 k n

0 1 0 1 g ( x) ? Cn ? f ( ) ? x0 (1 ? x)n ? Cn ? f ( ) ? x(1 ? x)n?1 n n 2 n 2 n ?Cn ? f ( ) ? x2 ? (1 ? x)n?2 ? ? ? Cn ? f ( ) ? xn ? (1 ? x)0 n n
(1)若 f ( x) ? 1 ,求 g ( x) ; (2)若 f ( x) ? x ,求 g ( x) . 解析: (1) f ( x) ? 1 ,则 g ( x) ? Cn (1 ? x) ?
0 n

7 k ? 3n ? 4 n ? 624 得到 { ,解得 { 9k ? 4n ? 14 k ? 26

故是存在的. 规律:由于杨辉三角是反映二项式展开式中 系数从左到右的一个规律,且通项为
r n ?r r Tr ?1 ? Cn a b ,由此列出第 14 个和第 15 13 14 个二项式系数之比为 Cn : Cn ? 2: 3 ,由此

1 n Cn ? x ? (1 ? x)n?1 ? ? ? Cn ? xn ? (1 ? x)0

? (1 ? x ? x)n ? 1 .
∵式中有意义,则 x ? 0 ,且 x ? 1 ∴ g ( x ) ? 1 ( x ? 0 且 x ? 1 ).

解出 n 的值为 34 设题 017. 多个二项式的和与函数的综合应 用 例 32.设 f ( x) ? (1 ? x)m ? (1 ? x)n (m,n 属于正整数) , 若其展开式中关于 x 的一次项 的系数和为 11,问 m,n 为何值时,含 x2 项的 系数最小?这个最小值是多少? 解析: 由题意可得 C ? C ? m ? n ? 11
1 m 1 n

k k n n 0 1 1 n ?1 ∴ g ( x) ? Cn ? 0 ? Cn ? ? x(1 ? x) n 2 2 ?Cn ? ? x2 (1 ? x)n?2 ? ? n
(2) f ( x) ? x ,则 f ( ) ?
k k n ?Cn ? ? xk (1 ? x)k ?2 ? ? ? Cn ? 1? xn (1 ? x)0 n

1 2 2 Cm ? Cn ? (m2 ? m ? n2 ? n) 2 1 ? (m2 ? n2 ? 11) 2 1 ? (110 ? 2mn) 2

k 又∵ Cn ?

k k n! ? ? n n (n ? k )!k !

?


k (n ? 1)! k ?1 ? ? Cn ?1 n ( n ? k )!( k ? 1)!

? n ? 11n ? 55
2

12

0 n ?1 1 2 n?2 g ( x) ? Cn ? Cn ?1 ? x ? (1 ? x) ?1 ? x ? (1 ? x)
k ?1 k n?k ?? ? Cn ?? ?1 ? x ? (1 ? x)

? x(1 ? x ? x)n?1 ? x
故 g ( x) ? x ( x ? 0 且 x ? 1 ) 规律:二项式定理是建立在组合的基础上 的,所以可借助组合的解题技巧解决有关二 项式的问题,尤其要注意二项式定理这个恒 等式的正用、逆用等.

n ?1 n ?1 ?Cn ? (1 ? x) ? xn ?1 ? x

0 n ?1 1 n?2 ? x ? [Cn ? Cn ?1 ? (1 ? x) ?1 ? x ? (1 ? x)

n?2 n?2 n ?1 n ?1 ?? ? Cn ? (1 ? x) ? Cn ] ?1 ? x ?1 ? x

题型 3 求解二项式问题的方法
●求解二项式问题的方法: 1.公式法
r n ?r r 利用二项式通项公式 Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,1, 2,?, n) 求展开式的特定项,包括求常数项、中

间项、有理想、最大项及这些特定的系数问题.. 2.赋值法 “赋值法”是解决二项式系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母索取的不同值.一般 地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,常令 x ? 0 , x ? 1 ,或 x ? ?1 . 3.放缩法 “放缩法”是通过变化构造二项式,从而借助其展开式放缩变换得不等式和求近似值. 4.构造法 “构造法”的关键是通过恒等变形构造二项式,使幂的底数两项中一项含有除数(或除数的 因式) ,而另一项的绝对值较小,再利用二项式定理解决有关多项式的证明、整除和