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等差数列练习题[1]



等差数列
一.选择题 1.如果无穷数列{an}的第 n 项与 n 之间的函数关系能用一个公式 an=f(n)来表示,则该函数 的定义域为( (A)Z ) (B)N (C)N+ (D)N+的有限子集{1,2,?,n} ( )

2.数列-1,6,-11,16,?的一个通项公式为 (A)an= 5n-4 (C) an= (-1)n?5n-4 (B) an

=-5n+4 (D) an=(-1)n(5n-4)

3.已知数列{an}的首项 a1=1, 且 an=2an-1+1(n≥2),则 a5 为 (A)7 (B)15 (C)30 (D)31

(

)

4.a,b,c 都是实数,那么“2b=a+c”是“a,b,c 成等差数列”的 (A)充分非必要条件 (C)充要条件 (B)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件





5.一个等差数列的第五项 a5=10,且 a1+a2+a3=3,则有 (A)a1=-2,d=3 (C)a1= -3,d=2 (B)a1= 2,d=-3 (D)a1=3, d=-2





6.在等差数列{an}中,am=n,an=m(m,n∈N+),则 am+n= (A)mn (B)m-n (C)m+n (D)0

(

)

7.已知等差数列{an}中,a1=-5,d=7,an≤695,则这个等差数列至多有 (A)98 项 (B)99 项 (C)100 项 (D)101 项

(

)

8.已知等差数列{bn}中,d=-3,b7=10,则 b1 是 (A)-39 (B)28 (C)39 (D)32





9.已知等差数列{cn}中,c10+c15=9,则 c9+c16,cn 的值是





(A)不能确定

(B)9

(C)18

9 (D) 2
( (D)第 16 项 )

10.在等差数列 40,37,34,??中第一个负数项是 (A)第 13 项 (B)第 14 项 (C)第 15 项

1

二.填空题
11.数列 2,-4,6,-8,?的一个通项公式是_________。 12.已知数列: 2 , 5, 2 2 , 11, ?,则 2 5 是这个数列的第________项。

2
13.数列 a1=-1,an= a n ?1

?1
(n≥2)的前四项依次是________________________。

14.等差数列{an}中,a15=33,a45=153,则 217 是这个数列的第__________项。 15 .若一个三角形的三内角成等差数列,且已知一个角为 28 °,则其它两角度数为 ____________________。 16.若{an}为等差数列,a2,a10 是方程 x2-3x-5=0 的两根,则 a5+a8=____________。

三.解答题
17.求下列各数列的一个通项公式:

1 3 5 7 9 , , , , , (1) 4 8 16 32 64 ……

1 1 1 1 1 ? , ,? , ,? , (2) 3 8 15 24 35 ……

1 1 1 1,0, ,0, ,0, ,0, 3 5 7 …… (3)

18.在矩形纸片内取 n(n∈N+)个点,连同矩形的 4 个顶点共 n+4 个点,这 n+4 个点中无三 点同在一直线上。以这些点作三角形的顶点,把矩形纸片剪成若干个三角形纸片,把这些纸 片的个数记为 an (1)求 a1,a2。 (2)求数列{an}的递推公式; (3) 根据递推公式写出数列{an}的前 6 项。

2

19.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{an}的通项公式。

20.在等差数列{an}中,已知 a4=70,a21=-100, (1)求首项 a1 与公差 d,并写出通项公式; (2){an}中有多少项属于区间[-18,18]?

21.已知等差数列{an},求证: (1)若 u+v=p+q,则 au+av=ap+aq; (2)若 t=7n+2(n∈N+),则当 n 依次取 1,2,3,?时,所得 at 组成的数列也是等差数列。

3

· 答案解析 ·
(一) 选择题:

1.C.无穷数列从函数观点来看,定义域是 N+。 2.D.将 n=1,2,3,4 代入各通项公式,知 D 适合。 3.D.逐项计算,a1=1,a2=2× 1+1=3,a3=2× 3+1=7,a4=2× 7+1=15,a5=2× 15+1=31. 4.C.由 2b=a+c 得 b-a=c-b,知 a,b,c 是等差数列;反之也真。 a1+4d=10 5.A.由 3a1+3d=3 解得 a1=-2,d=3。

6.D.由 am=n,an=m,得

d?

an ? am ? ?1 n?m ,am+n=am+nd=n-n=0.

7.D.由-5+7(n-1)≤695 得 n≤101. 8.B.b7=b1+(7-1)(-3)=10,∴b1=28. 9.B.c9+c16=c10+c15=9..

10.C.∵a1=40,d=-3,∴由 an=40-3(n-1) ≤0 解得 n≥ (二) 填空题

14

1 3 ,∵n∈N∴n≥15.

11.an=(-1)n+1?2n 12.7

各项符号正负相间,满足(-1)n+1;各项是序号 n 的 2 倍。

将数列写成 2, 5, 8, 11,?, 则 2 5 = 20 是数列中第 7 项。 逐项代入计算得到。

13.-1,-1,-1,-1

14.61 由 a1+14d=33 及 a1+44d=153 得 d=4,a1=-23,从-23+4(n-1)=217 解得 n=61. 15.60°,92° 设三角形三个内角为 x-d,x,x+d,则(x-d)+x+(x+d)= 180°,∴x-d= 28°,∴d=32°,∴x+d=92°。 16.3 (三)解答题 17.解(1)所给数列前 5 项分子组成奇数数列,其通项公式为 2n-1,而前 5 项分母所组成 ∵a3+a10=3,∴a5+a8=a3+a10=3

数列的通项公式为 2?2n,所以已知数列 an 的通项公式为

an ?

2n ? 1 2 n ?1 ,

(2)从所给数列的前 5 项可知,每一项分子都是 1,而分母所组成的数列为 3 ,8,15,24,
4

35,?可变形为 1?3,2?4,3?5,4?6,5?7?,其通项公式为 n(n+2);各项符号是奇

1 数项为负,偶数项为正。因此所给数列的通项公式为 an=(-1)n n(n ? 2) . ?
1 0 1 0 1 0 1 0 , , , , , , , , ?, (3)所给数列改写成: 1 2 3 4 5 6 7 8 数列分子是 1,0 重复变化,且奇数项为 1,

1 ? ( ?1) n ?1 2 偶数项为 0 ,所以可表示为 ;分母通项为正整数 n ,所以数列的通项公式为 an ? 1 ? (?1) n ?1 2n 。

18.解(1)a1=4,a2=6 (2)因为这 n+4 个点中无三点共线,所以每增加 1 个点 Ai(如图, 点 Ai 必在某一个三角形内)剪成的三角形纸层新增 3 个(图中 的Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)但减少了原来的 1 个,实际增加 2 个,所以 ?an ? 的递推公式是 an=an-1+2(n≥2) 。 (3) a1=4,a2=a1+2=4+2=6, a3=a2+2=6+2=8 a4=a3+2=8+2=10 a5=a4+2=10+2=12 a6=a5+2=12+2=14 19.解:∵a1+a7=2a4 ∴a1+a4+a7=3a4=15 ∴a4=5 ∵a2a4a6=45, ∴a2a6=9 设等差数列公差为 d,则(a4-2d)(a4+2d)=9 即(5-2d)(5+2d)=9 ∴d=±2

Ⅲ Ai

I



当 d=2 时 an=a4+(n-4)d=5+(n-4)· 2=2n-3 当 d=-2 时,an=5+(-2)(n-4)=13-2n

?a1 ? 3d ? 70 ? a ? 20 d ? ?100 解得 a =100,d=-10 20.解(1)由题意,得 ? 1 1
所以通项公式是 an=100-10(n-1)

5

即 an=-10n+110 (2)由题意,得-18≤-10n+110≤18 解得 12.8≥n≥9.2, ∵n∈N+ ∴12≥n≥10.所以属于区间[-18,18]的共有 3 项,它们是 a10,a11,a12

21.解(1)设 an=a1+(n-1)d,则 au=a1+(u-1)d ① ap=a1+(p-1)d ③, av=a1+(v-1)d, ② aq=a1+(q-1)d ④

①+②,得 au+av=2a1+(u+v-2)d ③+④,得 ap+aq=2a1+(p+q-2)d ∵u+v=p+q ∴au+av=ap+aq (2)设 at 所组成的数列为 ?bm ?, (m∈N+) 则 b1=a9,b2=a16,b3=a23,?, bm-1=a7(m-1)+2,bm=a7m+2,?, ∴bm-bm-1=a7m+2-a7(m-1)+2 =a1+(7m+1)d-{a1+[7(m-1)+1]d}=7d 所以 ?bn ? 是公差为 7d 的等差数列。

6



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