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《一元一次不等式与不等式组的解法》复习教案


不等式与不等式组(1) 一元一次不等式与一元一次不等式组的解法 ——苏湾中学 王宏

本章内容在中考中的考查方式主要是填空题、选择题及解答题中与方程、函数有关问 题中字母系数的取值范围的确定.考查的重点是不等式的有关概念、性质、一元一次不等 式、一元一次不等式组的解法以及与日常相联系的应用问题,在方程、函数的考查中,也 常涉及不等式的知识.常结合转化、数形结合、类比、分类讨论思想方法. 一、教学目标: 1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义和基本性质. 2.会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集.会解由两个一元一次不等 式组成的不等式组,并会用数轴确定解集. 3.会运用数形结合、分类等数学思想方法解决问题,会“逆向”地思考问题,灵活的 解答问题. 二、教学重点:能熟练的解一元一次不等式与一元一次不等式组 三、教学难点:能熟练的解一元一次不等式(组)并体会数形结合、分类讨论等数学思想 四、教学过程 (一)知识梳理 1.知识结构图 不等式的定义 概念 不等式的解集 基本性质 不等式 一元一次不等式 的解法 不等式的解法 一元一次不等式组 的解法 2.知识点回顾 1.不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式. 常见的不等号有五种: “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤” .
1

实际应用

2.不等式的解与解集 不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解. 不等式的解集:一个含有未知数的不等式的解的全体,叫做不等式的解集. 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来,具体表示方法是先确定边界点。解集包含 边界点,是实心圆点;不包含边界点,则是空心圆圈;再确定方向:大向右,小向左。 说明:不等式的解与一元一次方程的解是有区别的,不等式的解是不确定的,是一个 范围,而一元一次方程的解则是一个具体的数值. 3.不等式的基本性质 (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式.不等号的方向不变.如果

a ? b ,那么 a ? c __ b ? c
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.如果 a ? b, c ? 0 , 那么 ac __ bc (或

a b ___ ) c c

(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.如果 a ? b , c ? 0 那 么 ac __ bc (或

a b ___ ) c c

说明: 任意两个实数 a、 的大小关系: b ①a-b>O ? a>b; ②a-b=O ? a=b; ③a-b<O ? a<b. 4.一元一次不等式 只含有一个未知数,且未知数的次数是 1.系数不等于 0 的不等式叫做一元一次不等 式. 注:一元一次不等式的一般形式是 ax+b>O 或 ax+b<O(a≠O,a,b 为已知数). 5.解一元一次不等式的一般步骤 解一元一次不等式的一般步骤: (1)去分母;(2)去括号;(3)移项; (4)合并同类项;(5)化系数为 1. 说明:解一元一次不等式和解一元一次方程类似.不同的是:一元一次不等式两边同 乘以(或除以)同一个负数时, 不等号的方向必须改变, 这是解不等式时最容易出错的地方. 6.一元一次不等式组 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组. 说明:判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件:①组成不等式组的每 一个不等式必须是一元一次不等式,且未知数相同;②不等式组中不等式的个数至少是 2 个,也就是说,可以是 2 个、3 个、4 个或更多. 7.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组中,几个不等式解集的公共部分.叫做这个一元一次不等式组的解 集. 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定. 8. 不等式组解集的确定方法,可以归纳为以下四种类型(设 a>b)
2

不等式组

图示

解集

?x ? a ? ?x ? b ?x ? a ? ?x ? b ?x ? a ? ?x ? b ?x ? a ? ?x ? b

x ? a (同大取大)
b a

x ? b (同小取小)

b

a
b ? x ? a (大小交叉
取中间)

b

a

b

a

无解(大小分离解为 空)

9.解一元一次不等式组的步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 课堂练习(一) 1.根据下图甲、乙所示,对 a,b,c 三种物体的重量判断不正确的是 (

)

a a a

b

b

b b b

c

c





A.a<c B.a<b C.a>c D.b<c 2.关于 x 的某个不等式组的解集在数轴上可表示如下图所示, 则原不等式组的解集是__________. -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3.不等式组 ?

?x ? 2 ? 0 的解集在数轴上表示正确的是 ? x ? ?1
-1 0 1 2 B

(

)

-1 0 1 2 A

-1 0 1 2 C

-1 0 1 2 D

4.若 x ? y ,用“>”号或“<”号填空: (1) x ? 2 __ y ? 2 (2) x ? a __ y ? a (3) 5.下列各式一定成立的是( A. 7a ? 5a B. ) D. a ? 7 ? a ? 4
3

1 1 x __ y (4) ?2 x __ ? 2 y 3 3

a ?a 10

C. a ? ?a

(二)例题讲解 【例 1】解不等式:

x?2 x ? ?1 3 2

解:去分母得 2( x ? 2) ? 3x ? 6 去括号得 2 x ? 4 ? 3x ? 6 移项得 2 x ? 3 x ? ?6 ? 4 合并同类项得 ? x ? ?2 把系数化为 1 得 x ? 2

? x ? 2( x ? 1) ? 3 ? 【例 2】 解不等式组 ? 2 x ? 5 并把它的解集在数轴上表示出来. ?x ? 3 ?
解:解不等式①得 x ? ?1 解不等式②得 x ? 5 不等式①和②的解集在数轴上表示为 -1 0 1 2 3 4 5 ∴原不等式组的解集是 ?1 ? x ? 5 . 【例 3】 已知关于 x 的方程 5 x -2 m =3 x -6 m +1 的解满足-3< x ≤2,求 m 的整数值. 解:由 5 x -2 m =3 x -6 m +1 可解得: x ? ?2m ? ∵ ?3 ? x ? 2 ,∴ ?3 ? ?2m ?

1 2

7 3 ? ?2m ? 2 2 ∴ m 的整数解为 0、1
∴?

1 ? 2. 2 3 7 ∴? ? m ? 4 4

课堂练习(二) 6.求代数式 3( x +1)的值不小于 5 x -9 的值的最大的整数 x .

?2 x ? 5 ? 3( x ? 1) ? 7.解不等式组 ? x ? 7 ,并把它的解集在数轴上表示出来. ? 2 ? 4x ?
课堂练习(三) 8.函数 y ?

x?3 的自变量 x 的取值范围是_____________. x ?1
2

9.若关于 x 的一元二次方程 x ? 2 x ? a ? 0 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围为 ______________.

4

10.如果关于 x 的不等式(a+1) x >a+1 的解集为 x <l,那么 a 的取值范围是( A.a>0 B.a<0 C.a>-1 D.a<-1 11.已知方程组 ?

)

?2 x ? y ? 1 ? 3m 的解满足 x ? y ? 0 ,则( ?x ? 2 y ? 1? m

).

A. m >-1 B. m >1 C. m <-l D. m <1 12.已知关于 x 的不等式 2 x + m >-5 的解集如图所示,则 m 的值为( A.1 B.0 C.-1 D.-2 13.三角形三边长分别为 3、 1 ? 2a 、8,求 a 的取值范围 14.已知关于 x 的不等式组 ?



-3 -2 -1 0 1 2

?5 ? 2 x ? ?1 无解,求 a 的取值范围. ?x ? a ? 0

(三)课堂小结 1.在判断不等式成立与否或由不等式变形求某些字母的范围时,要认真观察不等式的形式 与不等号方向。 2.解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同,应注意的是:①等式两边 所乘以(或除以)的数的正负,并根据不同情况灵活运用其性质。②不等式组解集的确定 方法。③一元一次不等式(组)常与分式、根式、方程、函数等知识联系,解决综合性问 题。 3.求不等式(组)的特殊解 不等式(组)的解往往是无数多个,但有时解在某些范围内是有限的,如整数解、非负 整数解,要求这些特殊解,首先是确定不等式(组)的解集,然后再找到相应的答案。在 这类题目中,要注意对数形结合思想的应用。 4.确定不等式(组)中字母的取值范围 已知求不等式(组)的解集,确定不等式(组)中字母的取值范围,有以下几种方法: (1)逆用不等式(组)的解集; (2)分类讨论确定; (3)借助数轴确定。 (四)课后练习 1.已知一个等腰三角形的底边长为 5,这个等腰三角形的腰长为 x ,则 x 的取值范围是 _____________. 1 2.在平面直角坐标系中, A m ? 4 , ? 2m ) 点 ( 在第三象限, m 的取值范围是 ( 则 ). A. m ?

1 2

B. m ? 4

C.

1 ?m?4 2
2

D. m ? 4

3. 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 2 x ? 2 x ? 3m ? 1 ? 0 的 两 个 实 数 根 x1 , x2 , 且

x1 ? x2 ? x1 ? x2 4 ,则实数则 m 的取值范围是( ). ?
A. m ? ?

5 3

B. m ?

1 2

C. m ? ?

5 5 1 D. ? ? m ? 3 3 2
5

? 2x ? 5 x ? 3 ? ? 4.解不等式组: ? 3 2 ?3( x ? 1) ? 2 x ? 1 ?
5.求不等式组 ?2 ? 6.求使方程组 ?

1? 2x ? 1 ? 6 的非负整数解. 5

?x ? y ? m ? 2 的解 x 、 y 都是正数的 m 的取值范围. ? 4 x ? 5 y ? 6m ? 3

?x?4 x ? ?1 ? 7.若关于 x 的不等式组 ? 3 2 的解集为 x ≤2,试求 a 的取值范围. ?x ? a ? 0 ?
8.你能求出三个不等式 5x ? 1 ? 3( x ? 1) , 部分吗?

1 3 x ? 1 ? 3 ? x , x ? 1 ? 3 x ? 1 的解集的公共 2 2

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