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高中数学复习


裂项相消法求和
把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 1 、 特别是 对于 ?

?

c ? ? , 其中 ?an ? 是 各项均 不为 0 的 等差数 列,通 常用裂 项相消法 ,即利 用 ? an an?1 ?

c? 1 1 ? c ? ,其中 ?d ? an?1 ? an ? ? = ? ? a n a n ?1 d ? a n a n ?1 ? ?
2、 常见拆项:

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)
n ? n!? (n ? 1)!?n!

n 1 1 ? ? (n ? 1)! n! (n ? 1)!
例1 求数列 {

1 } 的前 n 和 Sn . n(n ? 1)

例2

求数列 {

1 } 的前 n 和 Sn . n(n ? 2)

1

例3

求数列 {

1 } 的前 n 和 Sn . n(n ? 1)(n ? 2)

例4

求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

例 5:求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ( n ? 2)

例 6、 求和 S n ?

22 42 (2n) 2 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

2

一、累加法 1.适用于: an?1 ? an ? f (n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2.若 an?1 ? an ? f (n) (n ? 2) ,

a2 ? a1 ? f (1)


a3 ? a2 ? f (2) ? ? an ?1 ? an ? f (n)

两边分别相加得 an ?1 ? a1 ?

? f ( n)
k ?1

n

例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。 例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解法一:由 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1得 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1则
n n

3

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3n ? n ?1. 解法二: an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 则
n ?1

,得

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,故 n ?1 3 3 3 3

an an an ?1 a an ? 2 an ? 2 a n ? 3 a2 a1 a1 ?( n ? ) ? ( n ?1 ? n )?( n ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? )? n ?2 ?2 3 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 31 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2

练 习 1. 已 知 数 列 答案: n ? n ? 1
2

?an ? 的 首 项 为

1,且

an?1 ? an ? 2n (n ? N * )写 出 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 .

练 习 2. 已 知 数 列

{an } 满 足 a1 ? 3 ,
1 n

a n ? a n ?1 ?

1 (n ? 2) n(n ? 1) ,求此数列的通项公式.

答案:裂项求和

an ? 2 ?

a ? an ? f (n) ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分 评注:已知 a1 ? a , n?1
式函数,求通项

an .
4

①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。

例 3.已知数列

{an } 中, an ? 0 且

Sn ?

1 n (a n ? ) 2 a n ,求数列 {an } 的通项公式.

Sn ?
解:由已知

1 n 1 n (a n ? ) S n ? ( S n ? S n ?1 ? ) 2 an 得 2 S n ? S n ?1 ,

化简有

2 2 2 2 Sn ? Sn ?1 ? n ,由类型(1)有 S n ? S1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ,

又 S1 ? a1 得 a1 ? 1 ,所以

2 Sn ?

n(n ? 1) a ? 0 , sn ? 2 ,又 n

2n(n ? 1) 2 ,



an ?

2n(n ? 1) ? 2n(n ? 1) 2

此题也可以用数学归纳法来求解.

二、累乘法 1.适用于: an?1 ? f (n)an ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。

2.若

an?1 a a a ? f (n) ,则 2 ? f (1),3 ? f (2), ??,n ?1 ? f (n) an a1 a2 an
n an?1 ? a1 ? ? f (k ) a1 k ?1

两边分别相乘得,

例 4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则
n

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

5

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3? 2
n ?1 n ( n ?1) 2

?5

? n!
n ?1

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2

?5

n ( n ?1) 2

? n!.
3,…) ,则它的

例 5.设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列,且 通项公式是 an =________.

?n ? 1?an2?1 ? nan2 ? an?1an ? 0 ( n =1,2,

解:已知等式可化为:

(an?1 ? an )?(n ? 1)an?1 ? nan ? ? 0
a n ?1 n ? a n ?1 即 n

* ? a n ? 0 ( n ? N )? (n+1) a n?1 ? nan ? 0 ,

an n ?1 ? n ? n ? 2 时, a n ?1 an ? a n a n ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 n ? 1 ? n ? 2 ? ? 1 ? 1 1 a n ?1 a n ?2 a1 n ?1 2 =n. = n

?

评注: 本题是关于

a n 和 a n ?1 的二次齐次式, a a 可以通过因式分解 (一般情况时用求根公式) 得到 n 与 n ?1 an .

的更为明显的关系式,从而求出

练习.已知

an?1 ? nan ? n ? 1, a1 ? ?1 ,求数列{an}的通项公式.

答案:

a n ? (n ? 1)! ?(a1 ? 1) -1.
a n?1 ? nan ? n ?1, 转化为

评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式

a n?1 ? 1 ? n(a n ? 1),若令 bn ? a n ? 1,则问题进一步转化为 bn?1 ? nbn 形式, 进而应用累乘法求出数列
的通项公式.

6


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