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三角函数及其有关概念讲解+习题



第七章

三角函数及其有关概念

一、角的概念 1. 角 角是以一点为公共端点的两条射线组成的图形.公共端点叫做角的顶点, 两条射 线叫做角的边。 B 2.正角、负角、零角 正角与负角是由旋转的 方向决定的,我们把按逆时针方向旋转所形成的角 叫做正角,把按顺时针方向旋转 ? 所形成的角叫做负角, 如果一条 A o 射线没有作任何旋转,它就形

成一个数值为 0 的角, 我们把这个角叫做零角。 ? 3.终边相同的角 具有相同的终边的角叫做终边相同的角,如图图7.1 7.1 中的 ? 和 ? 就是终 边相同的角。 ①终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边一定相同; ②终边相同的角有无数多个,它们相差 360° 的整数倍,如:
一 ? 与 k ? ? ? ? (k ? Z ) , ? 与 k ? ? ? ? (k ? Z ) , ? 与 k ? ? ? ? (k ? Z) 都是终边相同的 360 360 360

角。
17? ,则与 ? 终边相同的最小正角是多少? 6 17 ? 1? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? ? ? ? 2 ?3 6?0 ? ? ? 解 ?? ? 6 6 6 6 6 17? 7? 所以,与 ? ? ? 终边相同的最小正角是 。 6 6 20? 例 设? ? ,则与 ? 终边相同的绝对值最小的负角是多少? 3 20 ? 2? 0 ? 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 3 6? 0 ? ? ? 解 ?? y 3 3 3 3 3 4? (?, ?) (?, ?) 所以,所求之角是 ? 。 3 ? 4. 象限角 在平面直角坐标系中,我们将角的顶点置在坐 o 标原点,角的始边与轴的正半轴重合,这样一来,角的终边落 ? x 在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角,如 ?与? 都是 第一象限的角。若角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何 (?, ?) (?, ?) 个象限,我们称其为界限角。 图7.2 例 ?900? 是第几象限的角? ? 解 ?9 0 0 ? ? 2 ? 3?6 0 ,所以 ?900? 是第二象限的角。 例:-572。是( )象限的角。 5、角的度量 1). 角度制 当射线绕端点逆时针方向旋转使终边与始边第一次重 r 1 合时所形成的角叫做周角,规定 1 周角为 360?。1 周角的 为 1 度, 1弧度 360 r 2). 弧度制 等于半径长的圆弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。用弧 o 度作单位来测量角的制度叫做弧度制。1 弧度也记为 1rad



设? ? ?

1

图7.3

规定正角的的弧度数为正数,负角的的弧度数为负数,零角的弧度数为零。 3).角度与弧度的换算关系

2? 弧度 ? 360? ,

1弧度 ?

360? ? 57.30? ? 57?17? , 2?

1? ?

? 弧度
180

? 0.017435弧度

几个常用的特殊角的角度与弧度的换算关系如下表:

0?
0

30?

60?

90?

120?

150?

180?

210?

240?

270?

300?

330?

360?

? 2? 5? 3 6 2 11? 例 150?是多少弧度? 弧度是多少角度 6

? 1 5 0? 1 5 0 ? ? 180

? 6

? 3

?

7? 6

8? 6

3? 2

5? 3

11? 6

2?

?

5? 11 ? 1 ? 1 ?8 0 1 (弧度 )? ? 3 3? 0 (弧度) , 6 6 6

二、任意角的三角函数 1. 任意角的概念 锐角是大于 0? 而小于 90?的角,在直角坐标系中,顶点在原点,始 边在 x 轴正半轴,终边在任意象限中的角叫做任意角。 2. 任意角的三角函数 设直角坐标系中任一点 P( x, y ) 是角 ? 终边上的任意一点,它与坐 标原点的
y x y x 距离为 r (r ? 0) ,则比值 , , , 分别叫做角 ? 的正弦、余弦、正切、余切即: r r x y
sin ? ? y , r y tan ? ? , x cos ? ? x , r x cot ? ? , y

y
(?, ?) (?, ?)

o
(?, ?)

?
(?, ?)

x
P( x, y)

csc (1) sin ? ? ? ? 1 、(2) sin ? ? cos ? ? 1 、
2 2

图7.4 3. 任意角的三角函数值的正负 任意角的三角函数值的正负由角的终边所在的象限决定,见图 7.5

?

y

?

?

y

?

?

y

?

o ? ? sin ? , csc ?
4. 特殊角的三角函数值

x

o ? ? tan ? , cot ? 图7.5

x

o ? ? cos ? , sec ?

x

30?

45?

60?

90?

120?

150?

180?

270?

360?

2

? 6
sin ?
1 2
3 2
3 3

? 4
2 2
2 2

? 3
3 2
1 2

? 2
1

2? 3
3 2
1 2

5? 6 1 2
? 3 2

?
0

3? 2
?1

2?
0

cos?
tan ? cot ?

0 不存 在 0

?1
0 不存 在

0 不存 在 0

1

1 1

3
3 3

? 3
? 3 3

?

3 3

0 不存 在

3

? 3

例:已知角 a 的终边通过点 p(3,4),则 sina+cosa+tana=(

)

解:根据点 P 知 a 在第一象限,第一象限四个三角函数都为正 角 a 的终边通过点 P(3,4),边始默认为 x 轴,那么 tan a = 4 /3 ; 那么斜边为 5 ; sin a = 4 /5 ; cos a = 3 / 5 ; 所以 sina+cosa+tana 等于 41/15 例 sin

?
3

? cos

?
3

? tan

?
3

?

3 1 3 3 ?1 ? ? 3? 2 2 2

例 与 330 度终边相同的角的集合为( {x x ? 2? k ? 330?, k ? z} ) 。 例 与-15 度终边相同的角的集合为( {x x ? 2? k ?15?, k ? z} 例 已知 ) 。

cot ? ? 0 试确定 ? 是第几象限的角 sin ? 解 (1) cot ? ? 0 , sin ? ? 0 由 cot ? ? 0 知, ? 是第一或第三象限的角,由 sin ? ? 0 知, ? 是第一或第二象限的 角,所以 ? 是第一象限的角 (2) cot ? ? 0 , sin ? ? 0 由 cot ? ? 0 知,? 是第二或第四象限的角,由 sin ? ? 0 知,? 是第三或第四象限的角, 所以 ? 是第四象限的角 所以, ? 是第一或第四象限的角 例 已知 ? 是锐角且 sin ? ? 0.8 ,求 cos? 、 tan ? 、 cot ? 1 解 ? 是锐角且 sin ? ? 0.8 可得函数关系如图 7.7,因此: 0.8 0.6 0.8 1 0.6 ? cos ? ? ? 0.6 , t a n ? ? ? 1, c o? ? t ? 0.75 1 0.6 3 0.8 0.6 练习: 图7.7 一、选择题

1.若 α 是第一象限角,则下列各角中一定为第四象限角的是

(C

)
3

(A) 90° -α

(B) 90° +α

(C)360° -α

(D)180° +α ( A )

2.终边与坐标轴重合的角 α 的集合是 (A){α|α=k· ,k∈Z} 360° (C){α|α=k· ,k∈Z} 180° (B){α|α=k· +90° 180° ,k∈Z} (D){α|α=k· ,k∈Z} 90°

3.已知角 θ 的终边上有一点 P (-4a,3a) a≠0) 2sinθ+cosθ 的值是 ( ,则 (A) 2
5

( (D) 不确定

C

)

(B)

-2
5

(C) 2 或 - 2
5 5

解:sinα=y/r,cosα=x/r,x=-4a,y=3a,r=5|a| 当 a>0 时,sinα=3/5,cosα=-4/5 当 a<0 时,sinα=-3/5,cosα=4/5 4.设 A 是第三象限角,且|sin |= -sin ,则 是 (A) 第一象限角
5

A 2

A 2

A 2

(D (C) 第三象限角

)

(B) 第二象限角

(D) 第四象限角 ( B )

5.已知 sinα= 4 ,且 α 为第二象限角,那么 tanα 的值等于 (A) 4
3

(B) ? 4
3

(C) 3
4

(D) ?

3 4

二.填空题 1.终边落在 x 轴负半轴的角 α 的集合为 解: {x 2? k ? ? , k ? z} 2. - 23 πrad 化为角度应为
12

.

.

解:-

23 23 ? ? ?180? ? 345? 12 12

3 若 sinθ· cosθ>0, 则 θ 是第

一、三

象限的角;

解:sinθ· cosθ>0,说明 sinθ 与 cosθ 同号,所以 θ 为第一或第三象限。 4.已知:P(-2,y)是角 θ 终边上一点,且 sinθ= 5、求下列三角函数值: (1) sin
5 ,求 cosθ 的值. 5

11? 17? ). ; (2) sin(? 6 3 11? ? ? ? 1 ? sin(2? ? ) ? sin(? ) ? ? sin ? ? ; 解: (1) sin 6 6 6 6 2 17? ? ? 3 ) ? sin(?6? ? ) ? sin ? (2) sin(? . 3 3 3 2
7.设 tan ? =1,且 cos ? <0,则 sin ? =( A. ? ) D.

2 2

B. ?

1 2

C.

1 2

2 2

4

9 已知 sin ? ? cos ? ? (A) ?

4 3

1 7 , sin ? ? cos ? ? ,则 tan ? 等于( ) 5 5 3 (B) ? (C)1 (D)-1 4

? ?sin ? ? cos ? ? 1 ?? 5 ?? 7 ? ?sin ? ? cos ? ? 5 ?? ? 10 已知 <? <? ,则
2
(A) sin ? co?

? 8 ① ?①+②得: ? = 8 2sin ? 2sin ? = 5 = ? 4 ? 5 , tan ? = , ? 2cos ? ? 6 3? ② ?①-②得: ? = ? 6 2cos ? 5 5 ? ?
sin2 ? ? sin4 ? =
(C) sin 2? (D) ? sin 2?

(B) ? sin ? co?

? (sin ?sin ? cos ?, ? cos ? >0时) ? 2 4 2 2 2 2 ( = ? sin ? ? sin ? = sin ? 1 ? sin ?) sin ? cos ? = sin ? cos ? = ? ? ?? sin ? cos ? ,(sin ? cos ? <0)时? ? ? ? ? 2 4 ?∵ 2 <? <? , ∴sin ? >0??,??cos ? <0, sin ? cos ? <0, ∴ sin ? ? sin ? = ? sin ? cos ? ? ? ?
11、设 sin ? =

1 , ? 为第二象限角,则 cos? = 2
(B) ?

? ? =150? ? 3? (A) ? ? ?? ? 2 ? cos150? = ? ? ? ?

2 2

(C)

1 2

(D)

3 2

5



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