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概率复习题2013-05-05-23



概率论与数理统计复习题
一:全概率公式和贝叶斯公式 例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为 3:2:1,各车间产品 的不合格率依次为 8%,9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件,求: (1)取到不合格产 品的概率; (2)若取到的是不合格品,求它是由甲车间生产的概率。 (同步 45 页三、1) 解:设 A1,A2,A3 分别表示产品由甲、乙

、丙车间生产,B 表示产品不合格,则 A1,A2, A3 为一个完备事件组。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6, P(B| A1)=0.08,P(B| A2)=0.09,P(B| A3)=0.12。 由全概率公式 P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 0.09 由贝叶斯公式:P(A1| B)=P(A1B)/P(B) = 4/9 练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货,其供应量第一厂家为第二厂家的 2 倍, 第二、三两厂家相等,而且第一、二、三厂家的次品率依次为 2%,2%,4% 。若在市场 上随机购买一件商品为次品, 问该件商品是第一厂家生产的概率是多少? (同步 49 页三、 1) 【 0.4 】 练习:设两箱内装有同种零件,第一箱装 50 件,有 10 件一等品,第二箱装 30 件,有 18 件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取 2 个零件,求: (同步 29 页三、5) (1)取出的零件是一等品的概率; (2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率。 解:设事件 Ai ={从第 i 箱取的零件}, Bi ={第 i 次取的零件是一等品} (1)P( B1 )=P( A1 )P( B1 | A1 )+P( A2 )P( B1 | A2 )= (2)P( B1 B2 )=

1 10 1 18 2 ? ? 2 50 2 30 5

2 2 P ( B1 B2 ) 1 C10 1 C18 ? ? 0.194 ,则 P( B2 | B1 )= = 0.485 2 2 2 C50 2 C30 P ( B1 )

二、连续型随机变量的综合题 例:设随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x ) ? ?

??x 0 ? x ? 2 ? 0 others

求: (1)常数λ ; (2)EX;(3)P{1<X<3}; (4)X 的分布函数 F(x)(同步 47 页三、2) 解:(1)由

?
?

?? ??

f ( x)dx ? ? ?xdx ? 1 得到λ
0
2

2

=1/2

(2) EX ?

??

??

xf ( x)dx ? ?
3

0

1 4 x dx ? 2 3
2

2

(3) P{1 ?

x ? 3} ? ? f ( x)dx ? ?
1

1

1 3 xdx ? 2 4
1

(4)当 x<0 时, F ( x)

??

x

??
x

0 dt ? 0
f (t )dt ? ? 0 dx ? ?
?? 0 x 0

当 0 ? x<2 时, F ( x) ? 当 x ? 2 时,F(x)=1

?

??

1 1 tdt ? x 2 2 4

x?0 ? 0 ?1 ? 2 0? x?2 故 F ( x) ? ? x ?4 ? ? 1 x?2
?ax ? b 0 ? x ? 1 0 others ?

练习:已知随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) ? ?

且 E(X)=7/12。求: (1)a , b ; (2)X 的分布函数 F(x) (同步 49 页三、2)

练习:已知随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) ? ?

?2 x 0 ? x ? 1 ? 0 others

求: (1)X 的分布函数 F(x) ; (2)P{0.3<X<2}(同步 45 页三、3) 三、离散型随机变量和分布函数 例:设 X 的分布函数 F(x)为:

x ? ?1 ?0 ?0.4 ? 1 ? x ? 1 ? F ( x) ? ? , ? 0 .8 1 ? x ? 3 ? x?3 ?1

则 X 的概率分布为( ) 。

分析:其分布函数的图形是阶梯形,故 x 是离散型的随机变量 [答案: P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.] 练习:设随机变量 X 的概率分布为 P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数

F(x)。
[答案:当 x<1 时,F(x)=0; 当 1≤x<2 时,F(x)=0.2; 当 2≤x<3 时,F(x)=0.5;当 3≤x 时,F(x)=1 四、二维连续型随机向量 例:设 X 与 Y 相互独立,且 X 服从 ? ? 3 的指数分布, Y 服从 ? ? 4 的指数分布,试求: (1) ( X , Y ) 联合概率密度与联合分布函数; (2) P( X ? 1, Y ? 1) ; (3) ( X , Y ) 在 D ? ?( x, y ) x ? 0, y ? 0,3x ? 4 y ? 3? 取值的概率。 解:(1)依题知

?3e ?3 x , x ? 0 f X ( x) ? ? 其他 ? 0,
所以 ( X , Y ) 联合概率密度为
2

?4e ?4 y , y ? 0 f Y ( y) ? ? 其他 ? 0,

当 x ? 0, y ? 0 时,有

?12e ?3 x ? 4 y , x ? 0, y ? 0 f ( x, y ) ? ? 0, 其他 ?
x y

F ( x, y) ? ? dt ? 12e ?3t ?4 s ds ? (1 ? e ?3 x )(1 ? e ?4 y )
0 0

所以 ( X , Y ) 联合分布函数

?(1 ? e ?3 x )(1 ? e ?4 y ), x ? 0, y ? 0; F ( x, y ) ? ? 0, 其他 ? ?3 ?4 (2) P( X ? 1, Y ? 1) ? F (1,1) ? (1 ? e )(1 ? e ) ;
(3) P?( X , Y ) ? D ? ?

?

1

0

dx?

3?3 x 4

0

12e ?3 x?4 y dy ?1 ? 4e ?3
1 ? ( x? y ) ? 1 50 ? x ? 0, y ? 0 f ( x, y ) ? ? 2500 e ? 0 others ?

练习: 设二元随机变量 (X, Y) 的联合密度是

求: (1)关于 X 的边缘密度函数 f X(x); (2)P{X≥50,Y≥50} (同步 52 页三、4) 五、二维离散型随机向量 设随机变量 X 与 Y 相互独立,下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处。

Y X x1 x2 p? j

y1

y2 1 8

y3

pi?

1 8 1 6

1 Y X x1 x2 p? j y1 1 24 1 8 1 6 y2 1 8 3 8 1 2 y3 1 12 1 4 1 3 p i? 1 4 ] 3 4 1

[

答案:

六、协差矩阵 例:已知随机向量(X,Y)的协差矩阵 V 为 V ? ? ?6 ?

? 4 6? ? 9? ?

计算随机向量(X+Y, X-Y)的协差矩阵(课本 116 页 26 题) 解:DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6
3

D(X+Y)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25 D(X-Y) = DX + DY -2 COV(X,Y)=1 COV(X+Y, X-Y)=DX-DY=-5 故(X+Y, X-Y)的协差矩阵 ? ?

? 25 ? 5 ? ? ? ?? 5 1 ?

练 习 : 随 机 向 量 ( X,Y ) 服 从 二 维 正 态 分 布 , 均 值 向 量 及 协 差 矩 阵 分 别 为

??? ?

2 ? ?1 ?? 1? ? ? V ? ? ??? ? ?? 2 ? 1 ?

2

? ? 1? ? 2 2

2

? ? ? ?

计算随机向量(9X+Y, X-Y)的协差矩阵(课本 116 页 33 题) 解:E(9X+Y)= 9EX+ E Y=9μ 1+μ 2 E(X-Y)= EX-E Y=μ 1-μ 2 D(9X+Y)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=81σ 12+18ρ σ 1σ 2+σ 22 D(X-Y)= DX + DY -2 COV(X,Y)=σ 12-2ρ σ 1σ 2+σ 22 COV(9X+Y, X-Y)=9DX-DY-8 COV(X,Y)= 9σ 12-8ρ σ 1σ 2-σ 然后写出它们的矩阵形式(略) 七、随机变量函数的密度函数 例:设 X?U(0,2),则 Y= X 2 在(0,4)内的概率密度 f Y ( y ) ? ( [答案 填: ) 。

2 2

1 4 y

]

?1 ,0 ? x ? 2 ? 解:?X?U(0,2) ? f ( x) ? ? 2 , ? ? 0, others
FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{X 2 ? y} ? P{? y ? X ? y } ? ?
求导出 f Y ( y ) ? f X ( y )
y ? y

f ( x)dx ,

1 2 y

? f X (? y )(?

1 2 y

)=

1 4 y

(0 ? y ? 4)

练习:设随机变量 X 在区间[1,2]上服从均匀分布,求 Y= e [答案:当 e ? y ? e 时,f(y)=
2 4

2X

的概率密度 f(y)。

1 ,当 y 在其他范围内取值时,f(y)=0.] 2y

八、中心极限定理 例:设对目标独立地发射 400 发炮弹,已知每一发炮弹地命中率等于 0.2。请用中心极限定 理计算命中 60 发到 100 发的概率。 (同步 46 页四、1)

4

解:设 X 表示 400 发炮弹的命中颗数,则 X 服从 B(400,0.2),EX=80,DX=64, 由中心极限定理:X 服从正态分布 N(80,64) P{60<X<100}=P{-2.5<(X-80)/8<2.5}=2φ (2.5)-1=0.9876 练习:袋装食盐,每袋净重为随机变量,规定每袋标准重量为 500 克,标准差为 10 克,一 箱内装 100 袋,求一箱食盐净重超过 50250 克的概率。 (课本 117 页 41 题) 九、最大似然估计 例:设总体 X 的概率密度为

?(? ? 1) x ? , f ( x) ? ? , ? 0

0 ? x ?1
其他

其中未知参数 ? ? ?1 , X 1 , X 2 ,? X n 是取自总体的简单随机样本,用极大似然估计法求 ? 的估计量。 解:设似然函数 L(? ) ? 对此式取对数,即:

? (? ? 1) x?
i i ?1 n

n

( 0 ? xi ? 1; i ? 1,2,?, n)

ln L(? ) ? n ln(? ? 1) ? ? ? ln xi 且
i ?1

n d ln L n ? ? ? ln xi d? ? ? 1 i ?1



d ln L ? ? ?1 ? ? 0, 可得 ? d?

n

? ln x
i ?1

n

,此即 ? 的极大似然估计量。
i

例:设总体 X 的概率密度为

? ??ax a ?1e ? ?x , f ( x) ? ? ? 0 , ?
a

x?0 , (? ? 0, a ? 0) x?0

据来自总体 X 的简单随机样本 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) ,求未知参数 ? 的最大似然估计量。 (同步 39 页三、3)

? ??ax a ?1e ? ?x , x ? 0 X ~ f ( x) ? ? 解:由 ? 0 , x?0 ?
a

得总体 X 的样本 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 的似然函数

L( x1 , x 2 ,?, x n , ? ) ? ? ?axia ?1e ??xi ? (?a) n exp[ ?? ? xi ]? xia ?1
a

n

n

a

n

i ?1

i ?1

i ?1

再取对数得:

5

ln L ? n ln(?a) ? ? ? xi ? (a ? 1)? ln( xi )
a i ?1 i ?1

n

n

再求 ln L 对 ? 的导数:

d ln L an n a ? ? ? xi d? ?a i ?1



d ln L an n a ? ? ? xi ? 0 ,得 ? ? d? ?a i ?1

n

?x
i ?1

n

a i

所以未知参数 ? 的最大似然估计量为

n

?x
i ?1

n


a i

练习:设总体 X 的密度函数为

?? x ? ?1 0 ? x ? 1 f ( x, ? ) ? ? (? ? 0) ? 0 others

X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一组样本,求参数α 的最大似然估计(同步 52 页三、5) 十、区间估计 总体 X 服从正态分布 N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为 X 的一个样本 1:σ 2 已知,求μ 的置信度为 1-α 置信区间

( X ? u?

?
n

, X ? u?

?
n

)

2:σ 2 未知,求μ 的置信度为 1-α 置信区间

( X ? t? (n ? 1)

S S , X ? t? (n ? 1) ) n n

3:求σ 2 置信度为 1-α 的置信区间

( n ? 1 )S 2 ( n ? 1 )S 2 ( 2? , 2 ? )

?

2

( n ?1 )

?

1? ( n ? 1 ) 2

例:设某校学生的身高服从正态分布,今从该校某班中随机抽查 10 名女生,测得数据经计 算如下: x ? 162 .67 , s ? 18.43 。求该校女生平均身高的 95%的置信区间。
2

6

解: T ?

X ?u S n

~ t (n ? 1) ,由样本数据得 n ? 10 , x ? 162 .67 , s 2 ? 18.43,? ? 0.05
95 % 的 置 信 区 间 为

查 表 得 : t0.05(?)=2.2622, 故 平 均 身 高 的

( x ? t 0.05 (9)

s n

, x ? t 0.05 (9)

s n

) ? (159 .60,165 .74)

例:从总体 X 服从正态分布 N(μ ,σ 2)中抽取容量为 10 的一个样本,样本方差 S2=0.07, 试求总体方差σ 2 的置信度为 0.95 的置信区间。 解:因为

(n ? 1) S 2

?

2

~ ? 2 (n ? 1) ,所以 ? 2 的 95%的置信区间为:

(

( n ? 1) S 2 ( n ? 1) S 2 , ), ? ? 2 (n ? 1) ? 1? ? 2 (n ? 1)
2 2

其中 S =0.07,

2

? ? 2 (n ? 1) ? ? 0.025 2 (9) ? 19 .023, ? 1? ? 2 (n ? 1) ? ? 0.975 2 (9) ? 2.70
2 2

,所以 (

(n ? 1)S 2
2

? ? 2 (n ? 1) ?1? ? 2 (n ? 1)
2

,

(n ? 1) S 2

) =(

9 ? 0.07 9 ? 0.07 , ) 19.023 2.70

=(0.033,0.233)

例: 已知某种材料的抗压强度 X ~ N (? , ? 2 ) , 现随机地抽取 10 个试件进行抗压试验, 测得数 据如下: 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469. (1)求平均抗压强度 ? 的点估计值; (2)求平均抗压强度 ? 的 95%的置信区间; (3)若已知 ? =30, 求平均抗压强度 ? 的 95%的置信区间; (4)求 ? 2 的点估计值; (5)求 ? 2 的 95%的置信区间;

? ? X ? 457 .5 0 解: (1) u
(2) 因为 T ?

X ?u ~ t (n ? 1) , 故参数 ? 的置信度为 0.95 的置信区间是: S n

{X ?

S n

t ? (n ? 1), X ?
2

S n

t ? (n ? 1)} , 经计算 x ? 457.50 ,s = 35.276, n =10,
2

查自由度为 9 的分位数表得, t0.05 (9) ? 2.262 ,故

7

{X ?

S S t? (n ? 1), X ? t? (n ? 1)}= n n 35.22 10 ? 2.262 ,457 .50 ? 35.22 10 ? 2.262} ={432.30, 482.70}

{457 .50 ?

(3) 若已知 ? =30, 则平均抗压强度 ? 的 95%的置信区间为:

{X ?

?
n

u? , X ?
2

?
n

u? } = {457 .50 ?
2

30 10

? 1.96,457 .50 ?

30 10

? 1.96}

={438.90,476.09}

? 2 =S2=1 240.28 (4) ?
(5) 因为
(n ? 1) S 2

?2

~ ? 2 (n ? 1) ,所以 ? 2 的 95%的置信区间为:

{

(n ? 1) S 2
2
2

? ? (n ? 1) ?1? ? (n ? 1)
2
2
2

,

(n ? 1)S 2

} ,其中 S2=1 240.28,

? ? 2 (n ? 1) ? ? 0.025 2 (9) ? 19 .023, ? 1? ? 2 (n ? 1) ? ? 0.975 2 (9) ? 2.70 ,所以
2

{

(n ? 1) S 2
2
2

? ? (n ? 1) ?1? ? (n ? 1)
2
2

,

(n ? 1)S 2

} ={

9 ? 1 240 .28 9 ? 1 240 .28 , } 19.023 2.70

={586.79,4134.27} 十一、假设检验 1. 已知方差 σ2,关于期望 μ 的假设检验

U?

X ? ?0 ~ N (0,1) ?0 / n

(? 0为已知)

2.

未知方差 σ2,关于期望 μ 的假设检验

T?

X ? ?0 ~ t (n ? 1) S/ n

3.

未知期望 μ,关于方差 σ2 的假设检验

? ?
2

(n ? 1) S 2

?

2 0

~ ? 2 (n ? 1)
8

例:已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布 N(4.55,0.112),现在测定了 9 炉铁水,含碳 量平均数 x

? 4.445 ,样本方差 S 2=0.0169。若总体方差没有变化,即σ 2=0.121,问总

体均值μ 有无显著变化?(α =0.05) (同步 50 页四、1) 解:原假设 H0:μ =4.55 统计量 U

?

x ? 4.55 0.11 / 9

,当 H0 成立时,U 服从 N(0,1)

对于α =0.05,U0.025=1.96

U ?

4.445 ? 4.55 ? 2.86 ? 1.96 0.11 / 9

故拒绝原假设,即认为总体均值μ 有显著变化 练习:某厂生产某种零件,在正常生产的情况下,这种零件的轴长服从正态分布,均值为 0.13 厘米。若从某日生产的这种零件中任取 10 件,测量后得 x ? 0.146 厘米,S=0.016 厘米。问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样?(α =0.05) (同步 52 页四、2) 【 不一样 】 例: 设某厂生产的一种钢索, 其断裂强度 X kg/cm2 服从正态分布 N ( ? ,402 ) . 从中选取一个容 量为 9 的样本 , 得 X ? 780 kg/cm2. 能否据此认为这批钢索的断裂强度为 800 kg/cm2 ( ? ? 0.05 ). 解: H0:u=800. 采用统计量 U=

X ? u0

?

n
2

其中σ =40, u0=800, n=9, ? ? 0.05 ,查标准正态分布表得 U ? =1.96 |U |= |

780 ? 800 |? 1.5 , 40 9
2

| U |< U ? , 应接受原假设,即可以认为这批钢索的断裂强度为 800kg/cm2. 练习:某厂生产铜丝,生产一向稳定。现从该厂产品中随机抽出 10 段检查其折断力,测后 经计算: X ? 287 .5 ,

?(X
i ?1

10

2 i

? X ) ? 160 .5 。假定铜丝折断力服从正态分布,问是否可相

信该厂生产的铜丝的折断力方差为 16?(α =0.1) (同步 46 页四、2) 【是】 十二、证明题: 例: 总体 X ~ U (? ,2? ) , 其中 ? ? 0 是未知参数, 又 X 1 , X 2 , ?, X n 为取自该总体的样本, X 为样
X 是参数 ? 的无偏估计. (同步 39 页四、2) 本均值. 证明: ?? ? 2 3

? 证明: 因为 E?

2 ?2 3 EX ? 3 EX ?

2 3? 3 2

=? ,

? 故? ?

2 3

X 是参数 ? 的无偏估计.

9

?) ? 0 , 证明: 例:设 ?? 是参数 ? 的无偏估计量, D (?

?? 2 不是 ? 2 的无偏估计量.

?) ? ? , 证明:因为 ?? 是参数 ? 的无偏估计量,所以 E (? ? 2 ) ? ( E? ?) 2 ? E (? ? 2 ) ? ? 2 ? 0 , 即 E (? ? ) ? E (? ?2 ) ? ? 2 , D (?
故 ?? 2 不是 ? 2 的无偏估计量. (同步 39 页四、3) 其它证明题见同步练习 46 页五、50 页五、 十三、其它题目 例:设随机变量 X 在区间[2,5]上服从均匀分布,求对 X 进行的三次独立观测中,至少有两 次的观测值大于 3 的概率。 解:P(X>3)=

?

5

3

20 2 1 2? 2? ?1? 2? 2? dx= , 则所求概率即为 C 3 ? ? ? ? ? C 3 ? ? ? 27 3 3 ? 3? ? 3? ?3?

2

3

练习:设测量误差 X~N(0,100),求在 100 次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对 值大于 19.6 的概率,并用泊松分布求其近似值(精确到 0.01) 。 解:由于 X~N(0,100),则 P(|X|>19.6)=1- P(|X| ? 19.6)=2[1- ? (1.96)]=0.05 且显然 Y~B(100,0.05),故 P(Y ? 3) =1- P(Y ? 2)=1- 0.95
100 2 ? 100 ? 0.05 ? 0.95 99 ? C100 ? 0.05 2 ? 0.95 98

设?= np =100×0.05=5,且 Y?P(5),则

P(Y ? 3)=1- P(Y ? 2)=1-

? k! 5
k ?0

2

1

k

e ?5 ? 1 ? 0.124652 =0.875348

例:对某地抽样调查的结果表明,考生的外语成绩(按百分制计)近似服从正态分布,平 均 72 分,且 96 分以上的考生数占 2.3%。求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率。 解:设 X 表示考生的外语成绩,且 X~N(72, ? ),则
2

P(X >96)=1-P(X ? 96)=1- ? (
即? (

24

?

)=0.023,

24

?

)=0.977,查表得

24

故 P(60 ? X ? 84)=P(-1 ?

X ? 72 ? 1)=2 ? (1)-1=0.682 12

?

=2,则 ? =12,即且 X~N(72,144),

其它题目(主要是选择题和填空题,见同步练习后面的 5 套模拟题) ,具体题号如下: 同步练习:模拟题一:42 页 一 1,2,3,4,5,7,8,二 1,3 模拟题二:44 页 一 1,4,7,8,9 二 4,5 模拟题三:46 页 一 1 ,2,5 二 1,2,4 模拟题四:48 页 一 1,2,3,4,6,7 二 1,2,3 模拟题五:51 页 一 1,2,3,4,5 二 2,3,4,5,6
10



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