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人教版数学必修二第四章 圆与方程 知识点总结


第四章

圆与方程

4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程

1.以(3,-1)为圆心,4 为半径的圆的方程为( ) A.(x+3)2+(y-1)2=4 B.(x-3)2+(y+1)2=4 C.(x-3)2+(y+1)2=16 D.(x+3)2+(y-1)2=16 2.一圆的标准方程为 x2+(y+1)2=8,则此圆的圆心与半径分别为( ) A.(1,0),4 B.(-1,0),2 2 C.(0,1),4 D.(0,-1),2 2 3.圆(x+2)2+(y-2)2=m2 的圆心为________,半径为________. 4.若点 P(-3,4)在圆 x2+y2=a2 上,则 a 的值是________. 5.以点(-2,1)为圆心且与直线 x+y=1 相切的圆的方程是____________________. 6.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 7.一个圆经过点 A(5,0)与 B(-2,1),圆心在直线 x-3y-10=0 上,求此圆的方程.

8.点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则 a 的取值范围是( A.|a|<1 1 B.a< 13 1 C.|a|< 5 1 D.|a|< 13 9.圆(x-1)2+y2=25 上的点到点 A(5,5)的最大距离是__________.

)

2

10.设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 3,求 a 的值.

4.1.2 圆的一般方程

1.圆 x2+y2-6x=0 的圆心坐标是________. 2.若方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以(2,-4)为圆心,以 4 为半径的圆,则 F= ________. 3.若方程 x2+y2-4x+2y+5k=0 表示圆,则 k 的取值范围是( ) A.k>1 B.k<1 C.k≥1 D.k≤1 4.已知圆的方程是 x2+y2-2x+4y+3=0,则下列直线中通过圆心的是( ) A.3x+2y+1=0 B.3x+2y=0 C.3x-2y=0 D.3x-2y+1=0 5.圆 x2+y2-6x+4y=0 的周长是________. 6.点(2a,2)在圆 x2+y2-2y-4=0 的内部,则 a 的取值范围是( ) A.-1<a<1 B.0<a<1 1 C.-1<a< 5 1 D.- <a<1 5 7.求下列圆的圆心和半径. (1)x2+y2-x=0; (2)x2+y2+2ax=0(a≠0); (3)x2+y2+2ay-1=0.

8.过点 A(11,2)作圆 x2+y2+2x-4y-164=0 的弦,其中弦长为整数的共有( ) A.16 条 B.17 条 C.32 条 D.34 条 9. 已知点 A 在直线 2x-3y+5=0 上移动, 点 P 为连接 M(4, -3)和点 A 的线段的中点, 求 P 的轨迹方程.

10.已知方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0 表示一个圆. (1)求 t 的取值范围; (2)求圆的圆心和半径; (3)求该圆的半径 r 的最大值及此时圆的标准方程.

4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系

1.直线 y=x+3 与圆 x2+y2=4 的位置关系为( ) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 2.下列说法中正确的是( ) A.若直线与圆有两个交点,则直线与圆相切 B.与半径垂直的直线与圆相切 C.过半径外端的直线与圆相切 D.过圆心且与切线垂直的直线过切点 3.若直线 x+y=2 与圆 x2+y2=m(m>0)相切,则 m 的值为( ) 1 2 A. B. C. 2 D.2 2 2 4.(2013 年陕西)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位 置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 5.经过点 M(2,1)作圆 x2+y2=5 的切线,则切线方程为( ) A. 2x+y=5 B. 2x+y+5=0 C.2x+y=5 D.2x+y+5=0 6.(2013 年浙江)直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得的弦长等于________. 7.已知直线 kx-y+6=0 被圆 x2+y2=25 所截得的弦长为 8,求 k 的值.

8.由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最小值为( A.1 B.2 2 C. 7 D.3 9.已知圆 C:(x-2)2+(y-3)2=4,直线 l:(m+2)x+(2m+1)y=7m+8. (1)证明:无论 m 为何值,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时,求 m 的值.

)

10.已知圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l∶ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB=2 2时,求直线 l 的方程.

4.2.2 圆与圆的位置关系

1.已知两圆的方程 x2+y2=4 和 x2+y2-6x+8y+16=0,则此两圆的位置关系是( ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 2.圆 x2+y2+2x+1=0 和圆 x2+y2-y+1=0 的公共弦所在直线方程为( ) A.x-2y=0 B.x+2y=0 C.2x-y=0 D.2x+y=0 3.已知直线 x=a(a>0)和圆(x+1)2+y2=9 相切,那么 a 的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4.两圆 x2+y2-4x+2y+1=0 与 x2+y2+4x-4y-1=0 的公切线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 5.已知两圆相交于两点 A(1,3),B(m,-1),两圆圆心都在直线 2x-y+c=0 上,则 m +c 的值是( ) A.-1 B.2 C.3 D.0 6.圆 x2+y2-2x-5=0 与圆 x2+y2+2x-4y-4=0 的交点为 AB,则线段 AB 的垂直平 分线方程为( ) A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0 7.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2 3,求实数 a 的值.

8.两圆(x-3)2+(y-4)2=25 和(x-1)2+(y-2)2=r2 相切,则半径 r=____________. 9.已知两圆 C1:x2+y2-10x-10y=0 与 C2:x2+y2+6x-2y-40=0, 求:(1)它们的公共弦所在直线的方程; (2)公共弦长.

10.已知圆 x2+y2-4ax+2ay+20(a-1)=0. (1)求证:对任意实数 a,该圆恒过一定点; (2)若该圆与圆 x2+y2=4 相切,求 a 的值.

4.2.3 直线与圆的方程的应用

1.方程 x2+y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示的圆( ) A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于直线 x-y=0 对称 D.关于直线 x+y=0 对称 2.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 为( ) A.0 或 2 B.2 C. 2 D.无解 3.过原点的直线与圆(x+2)2+y2=1 相切,若切点在第三象限,则该直线方程为( A.y= 3x B.y=- 3x 3 C.y= x 3 3 D.y=- x 3 4.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相离,则点 P(a,b)与圆的位置关系是( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.都有可能 5.圆 x2+y2-4x-4y-1=0 上的动点 P 到直线 x+y=0 的最小距离为( ) A.1 B.0 C.2 2 D.2 2-3 6. 过点 P(2,1)作圆 C: x2+y2-ax+2ay+2a+1=0 的切线只有一条, 则 a 的取值是( A.a=-3 B.a=3 C.a=2 D.a=-2 7.与圆 x2+y2-4x-6y+12=0 相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有( ) A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条

)

)

8.设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点 P(3,1),则直线 AB 的方程为____________. y 9.若实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么 的最大值为( ) x 1 3 3 A. B. C. D. 3 2 3 2 10.已知圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 及点 Q(-2,3). (1)若点 P(a,a+1)在圆上,求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率; (2)若 M 为圆 C 上任一点,求|MQ|的最大值和最小值; n-3 (3)若实数 m,n 满足 m2+n2-4m-14n+45=0,求 k= 的最大值和最小值. m+2

4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系

1.点 P(-1,0,1)位于( ) A.y 轴上 B.z 轴上 C.xOz 平面内 D.yOz 平面内 2.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于 x 轴的对称点的坐标是( ) A.(-2,1,-4) B.(-2,-1,-4) C.(2,-1,4) D.(2,1,-4) 3.点 P(-4,1,3)在平面 yOz 上的投影坐标是( ) A.(4,1,0) B.(0,1,3) C.(0,3,0) D.都不对 4.在空间直角坐标系中,点 P(1, 2, 3),过点 P 作平面 yOz 的垂线 PQ 垂足为 Q, 则 Q 的坐标为( ) A.(0, 2,0) B.(0, 2, 3) C.(1,0, 3) D.(1, 2,0)

5.点(2,-3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A.y 轴上 B.xOy 平面上 C.xOz 平面上 D.第一象限内 6.设 x,y 为任意实数,相应的点 P(x,y,3)的集合是( A.z 轴上的两个点 B.过 z 轴上的点(0,0,3),且与 z 轴垂直的直线 C.过 z 轴上的点(0,0,3),且与 z 轴垂直的平面 D.以上答案都有可能 7.点 A(1,-3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为( A.(3,-1,5) B.(3,7,4) C.(0,-8,1) D.(7,3,1) )

)

8.已知点 A(3,y,4),B(x,4,2),线段 AB 的中点是 C(5,6,z),则 x=______,y=______, z=________. 9.点 P(2,3,5)到平面 xOy 的距离为________.

10.如图 K431,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,且边长为 2a,棱 PD ⊥底面 ABCD,|PD|=2b,取各侧棱的中点 E,F,G,H,试建立适当的空间直角坐标系, 写出点 E,F,G,H 的坐标.

图 K431

4.3.2 空间两点间的距离公式

1.在空间直角坐标系中,点 A(2,1,5)与点 B(2,1,-1)之间的距离为( ) A. 6 B.6 C. 3 D.2 2.坐标原点到下列各点的距离最大的是( ) A.(1,1,1) B.(2,2,2) C.(2,-3,5) D.(3,3,4) 3. 已知 A(1,1,1), B(-3, -3, -3), 点 P 在 x 轴上, 且|PA|=|PB|, 则点 P 的坐标为( ) A.(-3,0,0) B.(-3,0,1) C.(0,0,-3) D.(0,-3,0) 4.设点 B 是 A(-3,2,5)关于 xOy 平面的对称点,则|AB|=( ) A.10 B. 10 C.2 10 D.40 5. 已知空间坐标系中, A(3,3,1), B(1,0,5), C(0,1,0), AB 的中点为 M, 线段 CM 的长|CM| =( ) 53 53 A. B. 4 2 53 13 C. D. 2 2 6.方程(x-12)2+(y+3)2+(z-5)2=36 的几何意义是____________________________. 7.已知点 A 在 y 轴上,点 B(0,1,2),且|AB|= 5,求点 A 的坐标.

8.以 A(1,2,1),B(1,5,1),C(1,2,7)为顶点的三角形是________三角形. 9.已知点 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x 的值为________.

10.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1)和 B(1,0,-3),问: (1)在 y 轴上是否存在点 M,满足|MA|=|MB|; (2)在 y 轴上是否存在点 M,使△MAB 为等边三角形?若存在,试求出点 M 的坐标.

第四章 圆与方程
4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 1.C 2.D 3.(-2,2) |m| 4.± 5 5.(x+2)2+(y-1)2=2 6.A 解析:方法一(直接法):设圆心坐标为(0,b),则由题意知 ?0-1?2+?b-2?2=1, 解得 b=2,故圆的方程为 x2+(y-2)2=1. 方法二(数形结合法):作图由点到圆心的距离为 1,易知圆心为(0,2),故圆的方程为 x2 +(y-2)2=1. 7.解:方法一:设圆心 P(a,b), ?a-3b-10=0, 则? ? ?a-5?2+b2= ?a+2?2+?b-1?2,
?a=1, ? 解得? ?b=-3. ?

圆的半径 r= ?a-5?2+b2= ?1-5?2+?-3?2=5. ∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=25. 5-2 0+1? 方法二:线段 AB 的中点 P′? ? 2 , 2 ?, 3 1? 1-0 1 即 P′? ?2,2?.直线 AB 的斜率 k=-2-5=-7. 3 1 x- ?, ∴弦 AB 的垂直平分线的方程为 y- =7? 2 ? 2? 即 7x-y-10=0. ? ? ?x-3y-10=0, ?x=1, 解方程组? 得? 即圆心 P(1,-3). ?7x-y-10=0, ?y=-3. ? ? 圆的半径 r= ?1-5?2+?-3?2=5. ∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=25. 8.D 9. 41+5 10. 解: ∵弦 AB 的长为 2 |a-2+3| 3, 则由垂径定理, 圆心(1,2)到直线的距离等于 1, ∴ a2+1

=1,∴a=0. 4.1.2 圆的一般方程 1.(3,0) 2.4 3.B 4.A 5.2 13π 6.A 1?2 2 1 1 ?1 ? 7.解:(1)? ?x-2? +y =4,圆心?2,0?,半径 r=2. (2)(x+a)2+y2=a2,圆心(-a,0),半径 r=|a|. (3)x2+(y+a)2=1+a2,圆心(0,-a),半径 r= 1+a2. 8.C 解析:圆的标准方程是:(x+1)2+(y-2)2=132,圆心(-1,2),半径 r=13.过点 A(11,2)的最短的弦长为 10,最长的弦长为 26(分别只有一条),还有长度为 11,12,…,25 的 各 2 条,所以共有长为整数的弦 2+2×15=32(条). 9.解:设点 P 的坐标为(x,y),A 的坐标为(x0,y0). ∵点 A 在直线 2x-3y+5=0 上,∴有 2x0-3y0+5=0.

x , ?x=4+ 2 又∵P 为 MA 的中点,∴有? -3+y ?y= 2 .
0 0

? ?x0=2x-4, ∴? ?y0=2y+3. ? 代入直线的方程,得 2(2x-4)-3(2y+3)+5=0, 化简,得 2x-3y-6=0 即为所求. 10.解:(1)由圆的一般方程,得 [-2(t+3)]2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0, 1 解得- <t<1. 7 -2?t+3? 2?1-4t2?? (2)圆心为?- ,- 2 2 ? ?, 即(t+3,4t2-1), 1 半径 r= [-2?t+3?]2+4?1-4t2?2-4?16t4+9? 2

= -7t2+6t+1. (3)r= -7t2+6t+1= 3?2 16 -7? ?t-7? + 7 , 7 ,

3 4 所以当 t= 时,rmax= 7 7 24 ?2 ? 13?2 16 故圆的标准方程为? ?x- 7 ? +?y+49? = 7 . 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 1.D 2.D 3.D 4.B 解析:点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,有 a2+b2>1,圆心到直线 ax+by=1 1 的距离为 d= 2 <1=r,所以直线与圆 O 相交. a +b2 5.C 解析:因为点(2,1)在圆 x2+y2=5 上,所以切线方程为 2x+y=5. 6.4 5 解析:圆(x-3)2+(y-4)2=25,圆心(3,4)到直线 2x-y+3=0 的距离为 d= |6-4+3| = 5,弦长等于 2 52-? 5?2=4 5. 5 7. 解: 设直线 kx-y+6=0 被圆 x2+y2=25 所截得的弦长为 AB, 其中点为 C, 则△OCB 为直角三角形. |AB| 因为圆的半径为|OB|=5,半弦长为 =|BC|=4, 2 所以圆心到直线 kx-y+6=0 的距离为 3. 6 由点到直线的距离公式得 2 =3.解得 k=± 3. k +1 8.C 9.(1)证明:由(m+2)x+(2m+1)y=7m+8, 得 mx+2x+2my+y=7m+8, 即 m(x+2y-7)+(2x+y-8)=0. ?x+2y-7=0, ?x=3, ? ? 由? 解得? ? ? ?2x+y-8=0, ?y=2. ∴无论 m 为何值,直线 l 恒过定点(3,2). (2)解:过圆内的一点的所有弦中,最长的弦是过该点的直径,最短的弦是垂直于过该

点的直径的那条弦, ∵圆心(2,3),定点(3,2),直径的斜率为-1, ∴最短的弦的斜率为 1, 故最短弦的方程为 x-y-1=0.∴m=-1. 10.解:将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方,得标准方程为 x2+(y-4)2=4,则此 圆的圆心为(0,4),半径为 2. |4+2a| (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 2 =2. a +1 3 3 解得 a=- .故当 a=- 时,直线 l 与圆 C 相切. 4 4 (2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,

?CD= a +1, 得?CD +DA =AC =2 , AB= 2, ?DA=1 2
|4+2a|
2 2 2 2 2

解得 a=-7 或 a=-1.

∴直线 l 的方程是 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 4.2.2 圆与圆的位置关系 1.B 2.D 3.A 4.C 解析:圆化为标准方程,得(x-2)2+(y+1)2=4,(x+2)2+(y-2)2=9,∴圆心 O1(2,-1),r1=2,O2(-2,2),r2=3.∵|O1O2|=5=r1+r2,∴两圆外切.∴公切线有 3 条. 5.D 6.A 1 7.解:由已知两个圆的方程可得相交弦的直线方程为 y= .利用圆心(0,0)到直线的距离 a 1 1 2 2 ? ? ? d=? ?a?,得?a?= 2 -? 3? =1,解得 a=1 或 a=-1(舍). 8.5-2 2 9.解:(1)将两圆方程 C1:x2+y2-10x-10y=0 与 C2:x2+y2+6x-2y-40=0 相减, 得 2x+y-5=0. ∴公共弦所在直线的方程为 2x+y-5=0. (2)圆 C1:x2+y2-10x-10y=0 的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50,圆心为(5,5),半径 为 5 2,圆心到直线 2x+y-5=0 的距离为 2 5,根据勾股定理和垂径定理,知公共弦长 为 2 30. 10.(1)证明:将圆的方程整理,得(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0,此方程表示过圆 2 x +y2=20 与直线-4x+2y+20=0 的交点的圆系, ?x2+y2=20, ?x=4, ? ? 解方程组? 得? ? ? ?4x-2y-20=0, ?y=-2. 故对任意实数 a,该圆恒过定点(4,-2). (2)解:圆的方程可化为 (x-2a)2+(y+a)2=5a2-20a+20=5(a-2)2. ①若两圆外切,则 2+ 5?a-2?2= 5a2, 5 5 解得 a=1+ 或 a=1- (舍); 5 5 ②若两圆内切,则| 5?a-2?2-2|= 5a2, 5 5 解得 a=1- ,或 a=1+ (舍). 5 5 5 综上所述,a=1± . 5 4.2.3 直线与圆的方程的应用

1.D 解析:该圆的圆心(-a,a),在直线 x+y=0 上,故关于直线 x+y=0 对称. |m| 2.B 解析:圆心(0,0)到直线 x+y+m=0 的距离 d= = m,m=2. 2 3.C 1 4.C 解析:由于直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相离,则 2 2>1,即 a2+b2<1, a +b ∴P 在圆内. 5.C 6.A 7.A 解析:过原点的直线也满足条件. 8.x+y-4=0 9.D 解析:方法一:∵实数 x,y 满足(x-2)2+y2=3, ∵记 P(x,y)是圆(x-2)2+y2=3 上的点, y 是直线 OP 的斜率,记为 k.∴直线 OP:y=kx,代入圆的方程,消去 y,得(1+k2)x2- x 4x+1=0.直线 OP 与圆有公共点的充要条件是 Δ=(-4)2-4(1+k2)≥0, ∴- 3≤k≤ 3. |k· 2-0| 方法二:同方法一,直线 OP 与圆有公共点的条件是 2 ≤ 3,∴- 3≤k≤ 3. k +1 10.解:(1)∵点 P(a,a+1)在圆上, ∴a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0. 解得 a=4,∴P(4,5). ∴|PQ|= ?4+2?2+?5-3?2=2 10, 3-5 1 kPQ= = . -2-4 3 (2)∵圆心坐标 C 为(2,7),半径为 2 2, ∴|QC|= ?2+2?2+?7-3?2=4 2. ∴|MQ|max=4 2+2 2=6 2, |MQ|min=4 2-2 2=2 2. (3)设点(-2,3)的直线 l 的方程为 y-3=k(x+2), 即 kx-y+2k+3=0,方程 m2+n2-4m-14n+45=0, 即(m-2)2+(n-7)2=8 表示圆. 易知直线 l 与圆方程相切时,k 有最值, |2k-7+2k+3| ∴ =2 2.∴k=2± 3. 1+k2 n-3 ∴k= 的最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3. m+2 4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系 1.C 解析:点 P 的 y 轴坐标为 0,则点 P 在平面 xOz 上. 2.B 解析:点 P(a,b,c)关于 x 轴的对称点为 P′(a,-b,-c). 3.B 4.B 5.B 6.C 7.B 8.7 8 3 9.5 10.解:由图知,DA⊥DC,DC⊥DP,DP⊥DA, 故以 D 为原点,DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. ∵E,F,G,H 分别为侧棱中点,由立体几何知识可知,平面 EFGH∥底面 ABCD, 从而这 4 个点的竖坐标都为 P 的竖坐标的一半,也就是 b. 由 H 为 DP 的中点,得 H(0,0,b). E 在底面 ABCD 上的投影为 AD 的中点, ∴E(a,0,b).同理 G(0,a,b). F 在坐标平面 xOz 和 yOz 上的投影分别为点 E 和 G,

故 F 与 E 的横坐标相同,都是 a,点 F 与 G 的纵坐标也同为 a, 又 F 的竖坐标为 b,故 F(a,a,b). 4.3.2 空间两点间的距离公式 1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.以点(12,-3,5)为球心,半径长为 6 的球 7.解:由题意设 A(0,y,0),则 ?y-1?2+4= 5,得 y=0 或 y=2, 故点 A 的坐标为(0,0,0)或(0,2,0). 8.直角 解析:因为|AB|2=9,|BC|2=9+36=45,|AC|2=36,所以|BC|2=|AB|2+|AC|2, 所以△ABC 为直角三角形. 8 9. 解析:|AB| 7 = ?x-1?2+?5-x-x-2?2+?2x-1-2+x?2 8?2 5 = 14? ?x-7? +7, 8 故当 x= 时,|AB|取得最小值. 7 10.解:(1)假设在 y 轴上存在点 M,满足|MA|=|MB|. 设 M(0,y,0),由|MA|=|MB|,可得 32+y2+12= 12+y2+32. 显然,此式对任意 y∈R 恒成立. ∴y 轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|. (2)假设在 y 轴上存在点 M,使△MAB 为等边三角形. 由(1)可知,y 轴上任一点都有|MA|=|MB|, ∴只要满足|MA|=|AB|,就可以使得△MAB 是等边三角形. ∵|MA|= 10+y2, |AB|= ?1-3?2+?0-0?2+?-3-1?2= 20, ∴ 10+y2= 20,解得 y=± 10. 故 y 轴上存在点 M,使△MAB 为等边三角形,点 M 的坐标为(0, 10,0)或(0,- 10, 0).


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