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交集、并集、集合的运算



交集、并集、集合的运算
【知识要点】 观察下面五个图.
A A B A B A B B ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ A ⑸ B

请回答各图表示的含义. 图⑴给出了两个集合 A、B. 图⑵阴影部分是集合 A、B 的公共部分. 图⑶阴影部分是由集合 A、B 组成. 图⑷集合 A 是集合 B 的真子集. 图⑸集合 B 是集合 A 的真子集. 强调: 图⑵阴

影部分叫做集合 A 与 B 的交集. 1、 交集 一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的交集. 记作 A∩B(读作: “A 交 B” ) 即 A∩B={ x| x?A,且 x? B} 图⑶阴影部分叫做集合 A 与 B 的并集. 2、 并集 一般地, 由所有属于 A 或属于 B 的元素所组成的集合, 叫做 A 与 B 的并集. 记作 A∪B(读作: “A 并 B” ) 即 A∪B={ x| x?A,或 x? B} 例题解析 [例 1]设 A={ x | x >-2}, B={ x | x <3},求 A∩B.

[例 2]设 A={ x | x 是等腰三角形}, B={ x | x 是直角三角形},求 A∩B.

[例 3]设 A={ 4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求 A∪B.

[例 4]设 A={ x | x 是锐角三角形}, B={ x | x 是钝角三角形},求 A∪B.

. [例 5]设 A={ x |-1< x <2}, B={ x |1< x <3},求 A∪B.

【能力提高】 一、交集并集性质的应用 例 1、已知集合 A={(x,y)|x2-y2-y=4},B={(x,y)|x2-xy-2y2=0},C={(x,y)|x- 2y=0},D{(x,y)|x+y=0}。 (1)判断 B、C、D 间的关系; (2)求 A∩B。

.二、交集、并集在实际生活中的应用 例 2、某学校高一(5)班有学生 50 人,参加航模小组的有 25 人,参加电脑小组的 有 32 人,求既参加航模小组,又参加电脑小组的人数的最大值和最小值。

三、数形结合思想与交集并集的应用 例 3、已知集合 A={x|-2<x<-1,或 x>0},B={x|a≤x≤b},满足 A∩B={x|0<x ≤2},A∪B={x|x>-2},求 a、b 的值。

追踪训练
1、集合 A={x|x<-3,或 x>3},B={x|x<1,或 x>4},则 A∩B=__________. 2、集合 A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若 A∩B={-3},则 a 的值 为___________. A、0 B、1 C、2 D、-1 2 2 已知 A={x|x -px+15=0},B={x|x -ax-b=0},且 A∪B={2,3,5},A∩B={3}, 求 p,a,b 的值

4、集合{3,x,x2-2x}中,x 应满足的条件是___________.

5、设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R}. (1)若 A∩B=B,求实数 a 的值。 (2)若 A∪B=B,求实数 a 的值。

1.并集的定义: 一般地,_________________________________________________,称为集合 A 与集合 B 的并集(union set) 记作__________读作“___________”. 交集的定义用符号语言表示为:__________________________________ 交集的定义用图形语言表示为:_________________________________ 注意: 并集(A∪B)实质上是 A 与 B 的所有元素所组成的集合,但是公共元素在同一 个集合中要注意元素的互异性. 2.并集的常用性质: (1) A∪A = A; (2) A∪ ? = A; (3) A∪B = B∪A; (4)(A∪B)∪C =A∪(B∪C); (5) A ? A∪B, B ? A∪B 3.集合的并集与子集: 思考: A∪B=A,可能成立吗?A∪ CU A 是什么集合? 【答】________________________ 结论: A∪B = B ? A ? B

【精典范例】 一、求集合的交、并、补集
例 1. 根据下面给出的 A 、B,求 A∪B①A={-1,0,1},B={0,1,2,3};②A={y|y=x2-2x}, B={x||x|≤3};③A={梯形},B={平行四边形}.

例 2. 已知全集 U=R,A={x|-4≤x<2},B=(-1,3),P={x|x≤0,或 x≥ 求: ①(A∪B)∩P ② (CU B) ∪P ③ (A∩B)∪ (CU P) .

5 }, 2

例 3: 已知集合 A={y|y=x-1,x∈R},B={(x,y)|y=x2-1,x∈R},C={x|y=x+1,y≥3}, 求 (A

C)

B.

追踪训练一
1.设 A=(-1,3],B=[2,4) ,求 A∪B;

2.已知 A={y|y=x2-1},B={y|x2=-y+2} 求 A∪B;

3.写出阴影部分所表示的集合:

U A 图1 B

U A

B C 图2

4.集合 U={1,2,3,4,5,6},B={1,4} A={2,3,5} 求: CU ( A

B)与 (CU A) (CU B) .

二、运用并集的性质解题

例 4: 已知集合 A={x|x2-1=0 },B={x|x2-2ax+b=0},A∪B=A,求 a,b 的值或 a,b 所满足的条件.

追踪训练二
1.若集合 P={1,2,4,m},Q={2,m },满足 P∪ Q={1,2,4,m},求实数 m 的值组成的集 合.
2

2. 已知集合 A={x|x2-4x+3=0},B={x|x2-ax-1=0},C={x|x2-mx+1=0},且 A∪B=A A∩C=C,求 a,m 的值或取范围.

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