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数学:5.1.4《不等式的证明》(北师大版选修)



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玉京峰

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巨蟒出山

天 下 第 一 仙 峰

流泉飞瀑 云海雾涛

世 上 无 双 福 地

>
国庆放假期间,邀上几个同事去了趟三清山, 正好遇见景区推出2套门票优惠方案

问题
门票优惠方案,具体如下: 旺季门票原价为200元,现推出两套优惠方案(两人以 上集体购票时可选择以下任意一种方案) 优惠方案A:买全票一张,则其余票可享受八折优惠; 优惠方案B:按团体购票,一概优惠30元. 为了使门票花费最少,请各位同学用你们的智慧帮我 想一想我该选择哪种方案?说说你的想法.

门票原价为200元, 优惠方案A:买全票一张,则其余票可享受八折优惠; 优惠方案B:按团体购票,一概优惠30元.

同学们一定会问: 老师去了多少人?
人数 方案A 方案B 3 4 5 520 680 840 510 680 850

答:一共去了3-5人

合作交流:分成3组,每组讨论一种情况. 方案选择 B A或B A 如果人数不确定, 又该如何去讨论 这个问题呢?

设人数为n,方案A花费费用为f(n), 方案B花费费用为g(n).则
方案A:f(n)=200+(n-1)×200×0.8=160n+40 方案B:g(n)=(200-30)n=170n 要知道f(n)与g(n)的大小关系 应作差比较f(n)-g(n)与0的大小.

一.比较法

我们要证明a>b,只要证明a-b>0即可, 要证明a<b,只要证明a-b<0即可. 这种方法就称为求差比较法.

例1. 求证: x ? 3 ? 3x 证明: x 2 ? 3 ? 3x ? ( x ? 3 ) 2 ? 3 ? 0 ?
2

? x ? 3 ? 3x
2

2

4

变式1:当1<x<2时,求证 x

2

? 2 < 3x

证明:x2 ? 2 ? 3x ? ( x ?1)( x ? 2) <0

? x ? 2 ? 3x
2

归纳
一般步骤: 作差-变形-判断符号 变形是关键: 1°变形常用手段: 2°变形常见形式是:
?

配方法,因式分解法 1.变形为常数; 2.几个平方和; 3.一个常数与几个平方和; 4.几个因式的积的形式.

思考:已知a ? 0, b ? 0, 求证: a ? b ? a b ? ab .
4 4 3 3

思路分析:作差——变形——定号 配方? 因式分解?

当作差后很难或无法通过变形判断 符号时,就要另寻其他解法.
我们知道如果在 a.b均为正数的情况下, 有 a>b
a 所以要证明a>b,只要证明 ? 1 即可,要证 b a 明a<b,只要证明 ? 1即可. b
这种方法就称为求商比较法.

a ?? b

例2:已知a>b>0,求证:aabb>abba
思路分析:作商——变形——与1比较 大小

变式:若条件改为a>0且b>0, aabb>abba 还成立吗?
求商比较法前提是:两个数都应为正数.

例3:求证 7+ 5 ? 2 6.
证明思路:
2 2 ? ( 7 + 5) ? 2 6) ? (

7 + 5 ? 2 6,

? 要证明 7 + 5 ? 2 6,
2 只需要证明( 7 + 5 2 ? 2 6)? ? ? ) ( ???

分析法
从求证的不等式出发,层层推出使这个不等式成立 的充分条件,直到得到一个明显成立的不等式或一 个比较容易证明的不等式为止,这种证明方法叫做 分析法。

a?b 思考:已知 a ? 1, b ? 1, 求证: ? 1. 1 ? ab
思路分析:寻找满足结论的充分条件:
平方——变形——得到证明

方法小结
一.比较法:
①比较法可分为求差比较法(简称作差法)和求商 比较法(简称作商法).注意二者的区别. ②一般地,证幂、指数不等式时,常用求商法;证 对数不等式,多项式,分式时,常用求差法. ③当“差”或“商”中含有字母而无法判定时,一 般需对字母的取值进行分类讨论. 二.分析法: 若证命题B为真,只需证B1为真,从而又只需证B2 为真,从而又……只需证A为真,今已知A为真, 用推出符号简化,即B B1 B2 … Bn A

布置作业 A组.(必做)课本:P 1.2.3.4 18 B组(选做)

已知a,b,c∈R+,
1 1 1 (1)求证:(a+b+c) ( a ? b ? c )

≥9

1 1 1 (2)若a+b+c=1,求证: ? ? ≥9 a b c

二中美丽的雪景



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