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高二理科数学周练试题答案1219



高二理科数学周练试题答案: 一、 选择题:BDDCDA ADADDB 填空题(13) 2 15 二、 三、解答题 17.用 m 表示“ A1 被抽中”这一事件, P ? m ? ? 14. __

7 5 ___.15、a≤8 16. 3 10
4 1 ? . (5 分) 12 3

(2)用 N 表示“ B1和C1 不全被选中”

这一事件,则其对立事件 N 表示“ B1和C1 全被选 中”,事件 N 由 3 各基本事件组成,因而 P N ?

? ?

3 1 ? ,由对立事件的概率公式得 12 4

P ? N ? ? 1?

1 3 ? . (10 分) 4 4

18.(满分 12 分)

解:以 D1 A1 、 D1C1 、 D1D 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(1, 0,1) 、 B(1,1,1) 、 C (0,1,1) 、 D(0, 0,1) ,

z D A E B N

C

A1 (1,0,0) 、 B1 (1,1,0) 、 C1 (0,1,0) 、 D1 (0,0,0) ,

1 1 1 1 1 D1 F E (1, ,1) 、 F (0, , 0) 、 M (1, , 0) 、 N ( ,1, ) , 2 2 2 2 2 ???? ? ???? ???? ? 1 1 1 1 1 (1) MN ? ( ? , , ) , A1 E ? (0, ,1) , A1 F ? ( ?1, , 0) A1 M B1 x 2 2 2 2 2 1 ? 1 ? ? ???? ? 2b?c ?0 ? a ? 2b ? ? n ? A1 E ? 0 ? ? ? 设平面 A EF 的法向量 n ? (a, b, c) ,则 ? ? ???? , ?? ?? ? 1 ?n ? A1 F ? 0 ??a ? 1 b ? 0 ?c ? ? 1 b ? ? ? ? 2 ? 2 ???? ? ? ???? ? ? ? 令 b ? 2 ,则 n ? (1, 2, ?1) ,∵MN ? n ? 0 ,∴MN ? n ,∴MN //平面 A EF ; 1 ???? ? ? ???? ? | B A1 ? n | 6 (2) B1 A ? (0, ?1,0) ,则 B1 到平面 A EF 的距离 d ? 1 ? 。 ? 1 1 3 |n|
19、 (Ⅰ)设 N ( x , y ) , M ( x0 , 0 ) , P ( 0 , y0 )则 = ( x , y – y0 ) 由 · =0 得 x0 + =0 ① = (x0 , – y0 )

C1

y



+
2

= 0,得( x + x0 , y – 2y0 ) = 0





代入①得,y = 4x 即为所求

(Ⅱ)设 l 方程为 y =k ( x – 1 ) , 由

消去 x,得 y –

2

=0

设 A (x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则 y1y2 = – 4,

,于是



同理,

.

于是 20、(1)连接 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意知 SO⊥平面 ABCD,以 O 为坐标原点, 别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系. 、 、 分

设底面边长为 a,则高 SO= a.于是 S

,D

,C

,

=

,

=

,

·

=0,故 OC⊥SD,从而 AC⊥SD.

(2)平面 PAC 的一个法向量为

=

,平面 DAC 的一个法向量

=

,则

cos<

,

>=

= ,故所求二面角的大小为 30°.

(3)在棱 SC 上存在一点 E 使 BE∥平面 PAC.由(2)知

是平面 PAC 的一个法向量,且

=

,

=

,



=t

(0≤t≤1),

=

+

=

+t

=

,而

·

=0?t= ,

即当 SE∶EC=2∶1 时,BE∥平面 PAC. 21. 解:(Ⅰ )要使得不等式

f ( x0 ) ? m ? 0 能成立,只需 m ? f ( x) min 。

求导得:

f ' ( x) ? 2(1 ? x) ? 2 ?

1 2 x( x ? 2) ? 1? x x ?1 ,

………3分

∵ 函数 f ( x) 的定义域为 (?1, ??) ,

? 当 x ? (?1, 0) 时, f ( x) ? 0 ,∴ 函数 f ( x) 在区间 (?1, 0) 上是减函数; ? 当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? 0 ,∴ 函数 f ( x) 在区间(0,+∞)上是增函数。


f ( x) min ? f (0) ? 1
2



∴m ? 1 。故实数 m 的最小值为 1 。

………6分

(Ⅱ f ( x) ? (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) 得: )由

g ( x) ? (1 ? x) 2 ? 2 ln(1 ? x) ? ( x 2 ? x ? a) ? x ? 1 ? 2 ln( x ? 1) ? a
由题设可得:方程 (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) ? a 在区间

?0, 2? 上恰有两个相异实根………8分



h ? x ? ? (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x )

。∵

h? ? x ? ? 1 ?

2 x ?1 ? 1 ? x x ? 1 ,列表如下:
1
0

x

0

? 0,1?


?1, 2 ?
+ 增函数

2

h? ? x ? h ? x?


1

减函数

2 ? 2 ln 2

3 ? 2 ln 3

h ? 0 ? ? h ? 2 ? ? 1 ? (3 ? 2 ln 3) ? 2(ln 3 ? 1) ? 2(ln e ? 1) ? 0
h ? x ?max ? 1
h ? x?
个 ,

,∴

h ? 0? ? h ? 2?



从而有 画出函数 有 两

h ? x ?min ? 2 ? 2 ln 2

………10分

在区间 异

h ? x? ? a ?0, 2? 上的草图(见右下) ?0, 2? 上恰 ,易知要使方程 在区间
实 。 根 , 只 需 :



2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3







a ? ? 2 ? 2 ln 2,3 ? 2 ln 3?

………12分

x2 y2 22.解:(1)设所求椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),右焦点为 F2(c,0). a b 因△AB1B2 是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2 为直角,因此|OA| c =|OB2|,得 b= .结合 c2=a2-b2 得 4b2=a2-b2,故 a2=5b2,c2=4b2,所以离 2 c 2 心率 e=a= 5. 5 1 在 Rt△AB1B2 中,OA⊥B1B2,故 S△AB1B2= · 1B2|· |B |OA|= 2

c |OB2|· |OA|= · 2.由题设条件 S△AB1B2=4,得 b2=4,从而 a2=5b2=20. b=b 2 x2 y2 因此所求椭圆的标准方程为: + =1. 20 4 (2)由(1)知 B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程为:x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0. 设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则 y1,y2 是上面方程的两根,因此 y1+y2= 4m 16 ,y1·2=- 2 y , 2 m +5 m +5

→ → → BQ 又B2P=(x1-2,y1),B2Q=(x2-2,y2),所以B2P·→ =(x1-2)(x2-2)+y1y2 2 =(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16 =- 16?m2+1? 16m2 16m2-64 - 2 +16=- , m2+5 m +5 m2+5

→ BQ 由 PB2⊥QB2,得B2P·→ =0,即 16m2-64=0,解得 m=± 2. 2 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为 x+2y+2=0 和 x-2y+2=0.



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