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浙江省2013年高考数学仿真模拟试卷10(文科)



2013 年高考模拟试卷数学卷(文)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) (1)若复数 z ? 1 ? i,i 为虚数单位,则 (A)-1+i (B)1+i (C)1-i
2

z =( z ?1

)

(D)-1-

i

,B ? x x - ax ? 0? ,若A ? B, (2)已知集合 A ? x x ? 5x ? 6 ? 0? 则实数 a 的取 值范围
2

?

?

是(

)

(A) - 3 ? a ? 0 (B)a ? 0
2 2

(C)a ? -3

(D) R

(3)若 a、b 为实数,则“a +b <1”是“|a|<1,|b|<1”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (4)已知 a、b 是异面直线,P 是 a、b 外的一点,则下列结论中正确的是( ) (A)过 P 有且只有一条直线与 a、b 都垂直 (B)过 P 有且只有一条直线与 a、b 都平行 (C)过 P 有且只有一个平面与 a、b 都垂直 (D )过 P 有且只有一个平面与 a、b 都平行 (5)将 y=cosx 的图像向左平移 a 个单位长度或向右平移 b 个单位长度(a、b 均为正数),可 得到 y = cos(x +

?
3

)的图像,则|a-b|的最小值为( ) 4 ? 3

(A )

?
3

2 (B) ? 3

(C)

(D)2?

(6)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A) 8 ?

14 3 14 3

(B) 2? ?

2 3 3

(C) 2? ?

(D) 8 ?

2 3 3

开始

(7)在 120 个零件中,有一等品 24 个,二等品 36 个,三等品 6 0 个。用 分层抽样法从中抽取容量为 20 的样本, 则二等品中每个个体被抽取 到的概率是( )

S ? 0,i ? 1
a ? i ? 2i

1 (A ) 6

1 (B) 36

1 (C) 60

1 (D) 24

s ?s ?a

结束
输出i


(8)阅读如图所示的程序框图, 运 行相应的程序,输出 的 i 值等于( ) (A)2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 否

i ?i ?1
s ? 11 ?

(9)设 F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0)的左、右两个焦点,若双曲线右支 a2 b

上存在一点 P,使(OP ? 的离心率是( )

OF2 ) ? PF2 ? 0 (O 为坐标原点),且 PF1 ?

3 PF2 ,则双曲线

(A )

3 ?2 2

(B) 3 ? 2

(C)

3 ?1 2

(D) 3 ? 1

(10) 设 f(x) 、 g(x) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 当 x<0 时 ,

f’ (x)g(x) + f(x)g’ (x) ? 0 ,且 g(-2)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( )

(A) (-2,0) ? (2, ? ?) (B) (-2,0) ? (0, 2) (C) (-?,-2) ? (2, ? ?) (D) (-?,-2) ? (0, 2)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) (11)函数 f(x ) ? ?

? x 2?x ? 2,x ? 0 ?? 1 ? ln x ,x ? 0

的零点个数为______.

?x ? 0 ? (12) 已 知 点 P(x 、 y) 满 足 条 件 ?y ? x (k 为 ? 2x ? y ? k ? 0 ?
常数),若 z=x+3y 的最大值为 8,则 k=______. (13)为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名 高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如下图.由于将部 分数据丢失,但知道后 5 组频数和为 62,设视力在 4.6 到 4.8 之间的学生数为 a,最大频率为 0.32,则 a 的值为 . (第 13 题) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 (14)已知平面向量 ?、?(? ? 0,? ? ? )满足 ? ? 1,且?与? - ? 的夹角为 120 ,则

? ? 的取值范围是______.
(15)设 S n 为数列 ?a n ? 的前 n 项和,若

S2 n (n ? N* ) 是非零常数,则称该数列 ?a n ? 为“和等比 Sn

数列”.若数列 {bn } 是首项为 3,公差为 d (d ? 0) 的等差数列,且数列 {bn } 是“和等比 数列”,则 d ? .

(16)已知 x ? 0,y ? 0 ,且 x ? y ?

9 1 ? ? 10 ,则 x ? y 的最大值为 x y



(17)已知等腰三角形腰上的中线长为 3 ,则该三角形的面积的最大值是________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

? ?? (18)(本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos2 x ? m 在区间 ?0, ? 上 ? 2?

的最大值为 2 . (1)求常数 m 的值; (2)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边是 a , b , c ,若 f ( A) ? 1 , sinB ? 3 sinC ,
?ABC 面积为

3 3 . 求边长 a . 4

(19)(本题满分 14 分)设⊙C1, ⊙C2, ?,⊙Cn 是圆心在抛物线 y=x 上的一系列圆,它 们圆心的横坐标分别记为 a1,a2,?, an, 已知 a1= n)都与 x 轴相切,且顺次两圆外切。 (1)求证: ?

2

1 , a1>a2>?>an>0, 若⊙Ck(k=1,2,3,?, 4

?1? ? 是等差数列; ?a n ?

(2)求 an 的表达式; (3)求证:a1 +a2 +?+an <
2 2 2

1 4

(20)(本题满分 14 分) AB ? 平面 BCED, AB ? 2 3 ,四边形 BCED 是边长为 2 的菱形, 且 ?DBC ? 60?, 将 ?CDE 沿 CD 折起,使平面 BCD ? 平面MCD , (1)求点 A 到平面 BMC 的距离; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值.

(21)(本小题满分 15 分) 已知 a ? R ,设函数 f ( x) ?

1 3 a ?1 2 x ? x ? ax . 3 2

(I) 若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (3, f (3)) 处的切线方程; (II)求函数 f ( x) 在区间 [2,3] 上的最大值.

(22) (本小题满分 15 分)已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 上一点 A(m, 4) 到其焦点的距
2

离为

17 . 4

(I)求 p 与 m 的值; (II)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t (t ? 0) ,过 P 的直线交 C 于另一点 Q ,交 x 轴 于点 M ,过点 M 作抛物线的切线 MN,N(非原点)为切点,以 MN 为直径作圆 A, 若圆 A 恰好经过点 Q,求 t 的最小值. y N

Q\ Q

P O M x

2012 年高考模拟试卷数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C 9 D 10 D

二、填空题(本大题共 7 题,每小题 4 分,共 28 分) 11.2; 14.(0, 12.-6; 13.54 ; 16.8; 17.2

2 3 ] ; 3

15.6;

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (18)(本题满分 14 分) 解:(1) f ( x ) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos2 x ? m
? 3s i n 2 x ? (1 ? c o 2 s x) ? m
? 2( s i 2 n x?
? 2s i n 2x (?

…………………… 2 分

3 1 ?c o2 s x ? ) ? m ? 1 [来源:学科网 ZXXK] 2 2

?
6

)?m?1

…………………… 4 分[来

源:学科网 ZXXK]
? ?? ∵ x ? ?0, ? ? 2?

∴ 2x ?

?
6

? ? 7? ? ?? , ? ?6 6 ?

…………………… 5 分

?? ? ? ? ? 7? ? ∵ 函数 y ? sint 在区间 ? , ? 上是增函数,在区间 ? , ? 上是减函数 ?6 2? ?2 6 ?

? ? ?? ∴当 2 x ? ? ? ? 即 x ? 时,函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上取到最大值. 6 ? 2? 6 2

? 此时, f ( x )m a x ? f ( ) ? m ? 3 ? 2 得 m ? ?1 6
(2)∵ f ( A) ? 1 ∴ sin( 2A ? ∴ 2 sin( 2A ?

…………………… 7 分

?
6

)?1

?
6

)?

? 1 ,解得 A ? 0 (舍去)或 A ? 3 2
a b c ? ? sin A sinB sinC

…………………… 9 分

∵ sinB ? 3 sinC , ∴ b ? 3c

…………①
3 3 4

…………………… 11 分

∵ ?ABC 面积为 ∴ S ?ABC ?

1 1 ? 3 3 bc sin A ? bc sin ? 2 2 3 4 即 bc ? 3 …………② 由①和②解得 b ? 3, c ? 1

[来源:学科网] …………………… 12 分 …………………… 13 分

∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 3 2 ? 1 2 ? 2 ? 3 ? 1 ? cos ∴ a? 7

?
3

…………………… 14 分

(19) (本题满分 14 分)
2 2 2 解:(1)由题意知: ⊙Cn : rn = y n = xn = an , ⊙Cn ?1 : rn ?1 ? an ?1 , 2 2 所以 Cn ?1 (an ?1 , an ? 1 ), Cn (an , an ), …………………… 2 分

? Cn ?1Cn ? rn ?1 ? rn ,
2 2 2 2 2 ? (an ?1 ? an )2 ? (an ? 1 ? an ) ? an ? 1 ? a n , …………………… 4 分 [ 来

源:Z&xx&k.Com]
2 2 两边平方,整理得 (an ?1 ? an )2 ? 4an ? 1an …………………… 5 分

? an ?1 ? an ,? an ?1 ? an ? 2an ?1an
? 1 1 ? ?2 an an ? 1

…………………… 6 分 …………………… 7 分

?1? 1 故 ? ?是以 ? 4 为首项,公差为 2 的等差数列。……… 8分 a1 ? an ?
(2)由(1)知,
1 1 ? 4 ? 2(n ? 1),?an ? 。 an 2n ? 2
…………… 10 分

2 (3)? an ?

1 1 1 1 ? ? ? 2 4 (n ? 1) 4 n(n ? 1)

…………… 11 分

1 1 1 ? ( ? ) 4 n n?1
2 1 2 2 2 n

……………… 12 分
n

1 1 1 1 1 1 1 1 ?a ? a ? ? ? a ? ? ( ? ) ? (1 ? )? ? ? k ?1 4 n?1 4 4(n ? 1) 4 k ?1 4 k
…………………… 14 分

(20) (本题满分 14 分) 解:(1)如图,取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB⊥CD,OM⊥CD,……… 1分 又平面 MCD⊥平面 BCD,则 MO⊥平面 BCD,…………………… 3 分 所以 MO//AB, …………………… 4 分 A、B、O、M 共面,延长 AM、BO 相交于 E,[来源:Z_xx_k.Com] 则∠ AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角, OB=MO= 3 ,MO//AB,MO//面 ABC,M、O 到平 面 ABC 的距离相等, ……………… 6 分 作 OH⊥BC 于 H,连结 MH,则 MH⊥BC,求得 OH=OCsin60o=

3 15 ,MH= ,……………… 8 分 2 2
2 15 。…………… 10分 5

利用体积相等得,V A ? MBC ? V M ? ABC ? d ?

(2)CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线, 由(1)知,O 是 BE 的中点,则 BCED 是菱形,作 BF⊥EC 于 F,连结 AF,则 AF⊥EC,所以∠AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角,… 12 分 设为θ,因为∠BCE=120o,所以∠BCF=60o, 所以 BF=BC·sin60o= 3 ,tanθ=

AB 2 5 ? 2,sinθ ? , BF 5

所以,所求二面角的正弦值是
(21) (本题满分 15 分) 解:( I) a ? 2 时, f ( x) ?

2 5 。………………… … 14 分 5

1 3 3 2 x ? x ? 2 x ,所以 f '( x) ? x 2 ? 3x ? 2 ??2 分 3 2 3 所以 f '(3) ? 2 ,而 f (3) ? , ??4 分 2

所以切线方程为 y ?

3 9 ? 2( x ? 3) 即 y ? 2 x ? (一般式: 4 x ? 2 y ? 9 ? 0 ) 2 2
??5 分

(II) f '( x) ? x ? (a ? 1) x ? a ? ( x ? 1)( x ? a)
2

(1)当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 [2,3] 上单调递增,故 f ( x)max = f (3) ?

9 3 ? a 2 2 9 3 ? a 2 2

??6 分 (2)当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 [2,3] 上单调递增,故 f ( x)max = f (3) ? (3)当 a ? 1 时, ① 1 ? a ? 2 时,在 [2,3] 上 f '( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 [2,3] 上单调递增,故

??7 分

f ( x)max = f (3) ?

9 3 ? a 2 2

??8 分

② 2 ? a ? 3 时,在 [2, a) 上 f '( x) ? 0 ,在 (a,3] 上 f '( x) ? 0 ,故[来源:学。科。 网 Z。X。X。K]

2 9 3 f ( x)max =max{ f (2), f (3) },而 f (2) ? , f (3) ? ? a ,??10 分 3 2 2 23 9 3 所以当 2 ? a ? 时, f (3) ? f (2), 故 f ( x)max = f (3) ? ? a ??11 分 9 2 2 23 2 当 ? a ? 3 时, f (3) ? f (2), 故 f ( x)max = f (2) ? ??12 分 9 3
③ a ? 3 时,在 [2,3] 上 f '( x) ? 0 , 即 f ( x) 在区间 [2,3] 上单调递减, 故 f ( x)max = f (2) ?

2 3

??13 分

综上所述: f ( x) max

23 ?9 3 ? a(a ? ) ? ?2 2 9 ?? 2 23 ? (a ? ) ? 9 ? 3

??15 分

(22)(本题满分 15 分) (Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程: y ? ?

p ,根据抛物线定义 2 p 17 1 点 A(m,4) 到焦点的距离等于它到准线的距离,即 4 ? ? ,解 得 p ? 2 4 2
??4 分

? 抛物线方程为: x 2 ? y ,将 A(m,4) 代入抛物线方程,解得 m ? ?2
(Ⅱ)由题意知,过点 P(t , t ) 的直线 PQ 斜率存在且不为 0,设其为 k 。
2



l PQ : y ? t ? k ( x ? t )
2

y ? 0, x ?
,当

? t 2 ? kt , k

M(


? t 2 ? kt ,0) k ??6 分

? y ? t 2 ? k (x ? t) ? 2 x2 ? y 联立方程 ? ,整理得: x ? kx ? t (k ? t ) ? 0
即: ( x ? t )[ x ? (k ? t )] ? 0 ,解得 x ? t , 或 x ? k ? t

? Q(k ? t , (k ? t ) 2 )
而以 MN 为直径的圆 A 恰好经过点 Q

??8 分

1 ? QN ? QP ,? 直线 NQ 斜率为 k ?
1 ? l NQ : y ? (k ? t ) 2 ? ? [ x ? (k ? t )] k ,

??10 分

1 ? ? y ? (k ? t ) 2 ? ? [ x ? (k ? t )] ? k 2 ? x ? y ? 联立方程
整理得: x ?
2

1 1 kx2 ? x ? (k ? t )[k (k ? t ) ? 1] ? 0 [来 即: x ? (k ? t ) ? (k ? t ) 2 ? 0 , k k
x?? k (k ? t ) ? 1 k ,或 x ? k ? t

源:学#科#网]

[kx ? k (k ? t ) ? 1][ x ? (k ? t )] ? 0 ,解得:

? N (?

k (k ? t ) ? 1 [k (k ? t ) ? 1]2 , ) k k2 ,
[k (k ? t ) ? 1] 2 (k 2 ? kt ? 1) 2 k2 ? ? k (k ? t ) ? 1 ? t 2 ? kt k (t 2 ? k 2 ? 1) ? ? k k
k切 ? y?
k ( k ?t ) ?1 x?? k

??12 分

? K NM

?

而抛物线在点 N 处切线斜率:

? 2k ( k ? t ) ? 2 k

?
? MN 是抛物线的切线,
2 2

(k 2 ? kt ? 1) 2 ? 2k (k ? t ) ? 2 ? k k (t 2 ? k 2 ? 1) ,

??14 分

整理得 k ? tk ? 1 ? 2t ? 0

? ? ? t ? 4(1 ? 2t ) ? 0 ,解得
2 2

t??

2 2 2 ? t min ? t? 3 (舍去),或 3 3,
??15 分



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