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江苏省扬州中学2016届高三数学3月质量检测试题



江苏省扬州中学 2015—2016 学年第二学期质量检测 高 三 数 学 试 卷
2016.3

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置) x ? ? ? 0? ,则 M ? N ? __________. 1.已知集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 1? , N ? ? x | ? x ?1 ? 2.复数 z ? i(1 ? i) ( i 是虚数单位)在复平面内所对应点的在第__________象限. 3.执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值为__________.

频率 组距 0.035 0.030 0.020 0.010 0.005 80 90 100 110 120 130 车速(km/h)

第 3 题图

第 4 题图

4.在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计,统计结果 如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h~120km/h,试估计 2000 辆车 中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有________辆. 5.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a3 ? a9 ? a10 ? a8 .若 an =0 ,则n= .

6. “ a ? 1 ”是“函数 f ( x ) ? a ? x ? cos x 在 R 上单调递增”的_______________条件. (空格处请填写“充 分不必要条件” 、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 7.在区间 [?1,1] 上随机取一个数 x, cos

?x 1 的值介于 [0, ] 的概率为 2 2



8. 已知正六棱锥底面边长为 2 ,侧棱长为 4 ,则此六棱锥体积为 _______. 9.函数 y ? 1 ? 2 x ? a ? 4 x 在 x ? (??,1] 上 y ? 0 恒成立,则 a 的取值范围是 10.已知 F 是椭圆 C1 : .

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的一个公共焦点,A,B 分别是 C1 , C2 在第二、四象限的 4


公共点.若 AF ? BF ? 0 ,则 C2 的离心率是

-1-

11. 平行四边形 ABCD 中, ?BAD ? 60? , AB ? 1, AD ? 2, P 为平行四边形内一点,且 AP ?

2 ,若 2

AP ? ? AB ? ? AD(?, ? ? R) ,则 ? ? 2u 的最大值为
12. 已知 ?ABC ,若存在 ?A1 B1C1 ,满足



cos A cos B cos C ? ? ? 1 ,则称 ?A1 B1C1 是 ?ABC sin A1 sin B1 sin C1


的 一个“友好”三角形.若等腰 ?ABC 存在“友好”三角形,则其底角的弧度数为

13. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ( x) ? x ? a ? a ( a ? R ) .若

?x ? R, f ( x ? 2016 ) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围是



14. 若函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? n (m, n ? R) 在 [- 1,1] 上存在零点,且 0 ? n ? 2m ? 1 ,则 n 的取值范围 是 .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.如图,已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC , M , N 分别是棱 CC1 , AB 中点. (1)求证: CN ⊥平面 ABB 1A 1; (2)求证: CN ∥平面 AMB 1;

16.设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a ? b tan A ,且 B 为钝角. (1)证明: B ? A ?

?
2



(2)求 sin A ? sin C 的取值范围.

17.某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 30 km(忽略内、外环线长度差异). (1) 当 9 列列车 同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 10 min,求内环线列车的最小平 均速度; (2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 km/h,外环线列车平均速度为 30 km/h.现内、外环线共 有 18 列列车全部投入运行,问:要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短,则 内、外环线应各投入几 列列车运行?

-2-

y 2 x2 x2 y 2 18. 如图, 曲线 ? 由两个椭圆 T1 : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 和椭圆 T2 : 2 ? 2 ? 1? b ? c ? 0 ? 组成, 当 a, b, c 成 a b b c
等比数列时,称曲线 ? 为“猫眼曲线”.若猫眼曲线 ? 过点 M 0, ? 2 ,且 a, b, c 的公比为 (1)求猫眼曲线 ? 的方程;

?

?

2 . 2

(2)任作斜率为 k ? k ? 0? 且不过原点的直线 与该曲线相交,交椭圆 T1 所得弦的中点为 M ,交椭圆 T2 所得

k OM 为与 k 无关的定值 ; K ON (3) 若斜率为 2 的直线 l 为椭圆 T2 的切线,且交椭圆 T1 于点 A, B , N 为椭圆 T1 上的任意一点(点 N 与 点 A, B 不重合) ,求 ?ABN 面积的最大值.
弦的中点为 N ,求证:

y

o

x

? b1 ? ?1 a1 ? 1 ? ? 19.已知两个无穷数列 ?an ? ,?bn ? 分别满足 ? , ? bn ?1 , ? an ?1 ? an ? 2 ? b ? 2 ? n * 其中 n ? N ,设数列 ?an ? ,?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,
(1)若数列 ?an ? ,?bn ? 都为递增数列,求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?cn ? 满足:存在唯一的 正整数 k ( k ? 2 ),使得 ck ? ck ?1 ,称数列 ?cn ? 为“ k 坠点数列” ①若数列 ?an ? 为“5 坠点数列”,求 Sn ; ②若数列 ?an ? 为“ p 坠点数列”,数列 ?bn ? 为“ q 坠点数列”,是否存在正整数 m ,使得 Sm?1 ? Tm , 若存在,求 m 的最大值;若不存在,说明理由.

-3-

20.已知函数 f ( x) ? (1)若 a ?

2ax 2 ? bx ? 1 ( e 为自然对数的底数). ex

1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; 2

(2)若 f (1) ? 1 ,且方程 f ( x) ? 1 在 (0,1) 内有解,求实数 a 的取值范围.

1.已知矩阵

数学Ⅱ ? 1 0 1 2 ? ? ? ? ?1 A?? ? ,B ? ?0 6 ? ,求矩阵 A B. 0 2 ? ? ? ?

2.直角坐标系 xoy 内,直线 l 的参数方程 ? 标方程为 ? ? 2 2 sin(? ?

? x ? 2 ? 2t ,以 OX 为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐 (t 为参数) ? y ? 1 ? 4t

?
4

) ,确定直线 l 和圆 C 的位置关系.

-4-

3.计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 X (年入 流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年, 不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段 的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1)求在未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如 下关系; 年入流量 X 发电机最多可运行台数

40 ? X ? 80
1

80 ? X ? 120
2

X ? 120
3

若某台发电 机运行, 则该台发电机年利润为 5000 万元; 若某台发电机未运行, 则该台发电机年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应 安装发电机多少台?

4.设数列 ?an ? ( n ? N )为正实数数列,且满足

?C a a
i ?0

n

i n i n ?i

2 . ? an

-5-

(1)若 a2 ? 4 ,写出 a 0 , a1 ; (2)判断 ?an ? 是否为等比数列?若是,请证明;若不是,请说明理由.

高三数学质量检测参考答案 1. {x | 0 ? x ? 1} 2.二 3. 4 4.1700 5.5

2016.3 6. 充分不必要条件 7.

1 3

8.12 9.(﹣ ,+∞)10.

6 2

11.

6 3

12

3? 8

13. a ? 504

14. ??3,9 ? 4 5 ? ? ?

15.解: (Ⅰ)证明:因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

AA1 ? 底面 ABC ,
又因为 CN ? 平面 ABC ,所以 AA1 ? CN . 因为 AC ? BC , N 是 AB 中点, 所以 CN ? AB . 因为 AA1 ? AB ? A , 所以 CN ? 平面 ABB1 A 1. ???4 分 ???5 分 ???7 分 ???2 分

(Ⅱ)证明:取 AB1 的中点 G ,连结 MG , NG ,因为 N , G 分别是棱

AB , AB1 中点,所以 NG ∥ BB1 , NG ?
又因为 CM ∥ BB1 , CM ?

1 BB1 . 2

???8 分

1 BB1 , 2

所以 CM ∥ NG , CM = NG .所以四边形 CNGM 是平行四边形. 所以 CN ∥ MG . 因为 CN ? 平面 AMB1 , MG ? 平面 AMB1 , 所以 CN ∥平面 AMB1 . 16.解析: (1)由 a ? b tan A 及正弦定理,得 即 sin B ? sin( ???10 分 ???12 分 ???14 分

sin A a sin A ? ? ,∴ sin B ? cos A , cos A b sin B

?
2

? A) ,............... 4 分

-6-

又 B 为钝角,因此 故B ?

?

? A ? ( , ? ) ,(不写范围的扣 1 分) 2 2

?

?
2

? A ,即 B ? A ?

?
2

;............ 6 分

(2)由(1)知, C ? ? ? ( A ? B)

? ? ? ? ? (2 A ? ) ? ? 2 A ? 0 ,∴ A ? (0, ) ,................ 8 分
2 2
4
于是 sin A ? sin C ? sin A ? sin(

?
2

? 2 A)

1 9 ? sin A ? cos 2 A ? ?2sin 2 A ? sin A ? 1 ? ?2(sin A ? ) 2 ? ,............10 分 4 8
∵0 ? A?

?
4

,∴ 0 ? sin A ?

2 2 1 9 9 ,因此 ? ?2(sin A ? )2 ? ? ,由此可知 sin A ? sin C 的取值范 2 2 4 8 8

围是 (

2 9 , ] .............................14 分 2 8

30 17.解:(1) 设内环线列车运行的平均速度为 v km/h,由题意可知 ×60≤10?v≥20.所以,要使内环线乘 9v 客最长候车时间为 10 min,列车的最小平均速度是 20 km/h. (2) 设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入(18-x)列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间分 60 ? 30 72 30 60 ?72 别为 t1、t2 min,则 t1= ×60= ,t2= ×60= .于是有 t=|t1-t2|=? - ? 25x x 30(18-x) 18-x ? x 18-x?

60 ? 72 ? , x ? 9, x ? N * ? ? x x ? 18 =? 在(0,9)递减,在(10,17)递增.又 t (9) ? t (10) ,所以 x=10,所 ??( 72 ? 60 ),10 ? x ? 17, x ? N ? x x ? 18 ?
以当内环线投入 10 列,外环线投入 8 列列车运行时,内、外环线乘客最长候车时间之差最短. 18. b ? 2 ,? a ? 2, c ? 1, (2 分)

x2 y 2 y2 (4 分) ? ? 1 ,?T2 : ? x 2 ? 1 ; 4 2 2 (2)设斜率为 k 的直线交椭圆 T1 于点 C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,线段 CD 中点 M ? x0 , y0 ? x ?x y ? y2 ? x0 ? 1 2 , y0 ? 1 2 2 2 2 ? x1 y ? 1 ?1 ? ? 4 ? x ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 (6 分) 2 由? 2 ,得 1 2 4 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 2 ? 4 ? k 存在且 k ? 0 ,? x1 ? x2 ,且 x 0 ? 0 y ?y y 1 1 ? 1 2 ? 0 ? ? ,即 k ? k OM ? ? (8 分) x1 ? x2 x0 2 2 同理, k ? k ON ? ?2 k 1 ? OM ? 得证 (10 分) k ON 4 ?T1 :
-7-

(3)设直线 l 的方程为 y ?

2x ? m

? y ? 2x ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,? b ? 2c x ? 2 2mc x ? m c ? b c ? 0 ?y x2 ? 2 ? 2 ?1 c ?b ? ? ? 0 ,? m2 ? b2 ? 2c 2

?

?

l1 : y ? 2 x ? b 2 ? 2c 2

(12 分)

? y ? 2x ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ? b ? 2a x ? 2 2ma x ? m a ? b a ? 0 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a ? ? ? 0 ,? m2 ? b2 ? 2a 2

?

?

l2 : y ? 2 x ? b 2 ? 2a 2
两平行线间距离: d ?

b2 ? 2c2 ? b2 ? 2a 2 3

(14 分)

? AB ?

2 3ab 2a 2 ? 2c 2 b2 ? 2a 2

AB ?

?8 2 ?

2

? 4?5? 4

5

4 3 d? ? 5

10 ? 2

? 2?

2

? ? ?1?

?
2

10 ? 2 3

1 4 3 10 ? 2 2 10 ? 4 S? ? ? ? 2 5 5 3 ?ABN 的面积最大值为

(16 分)

19.(1)数列 ?an ? ,?bn ? 都为递增数列,∴ an?1 ? an ? 2 , b2 ? ?2b1, bn?2 ? 2bn?1, n ? N ? , ∴ an ? 2n ? 1,????????????????????????????2 分

? ?1, n ? 1 bn ? ? n ?1 ;???????????????????????????4 分 ?2 , n ? 2 (2)①∵数列 ?an ? 满足:存在唯一的正整数 k =5 ,使得 ak ? ak ?1 ,且 an?1 ? an ? 2 ,
∴数列 ?an ? 必为 1,3,5, 7,5, 7,9,11, ??? ,即前 4 项为首项为 1,公差为 2 的等差数列,从第 5 项开始为 首项 5,公差为 2 的等差数列,??????????????5 分

?n 2 , n ? 4 ? 故 Sn ? ? 2 ;?????????????????????7 分 ? ?n ? 4n ? 15, n ? 5
2 2 ② ∵ bn | bn |? 2n?1 ?1 ? 4bn ,即 bn ?1 ? ?2bn ,?

而数列 ?bn ? 为“ q 坠点数列”且 b1 ? ?1 ,∴数列 ?bn ? 中有且只有两个负项. 假设存在正整数 m ,使得 Sm +1 ? Tm ,显然 m ? 1 ,且 Tm 为奇数,而 ?an ? 中各项均为奇数,∴ m 必为 偶数.????????????????9 分

Sm?1 ? 1 ? 3 ????? ? 2m ? 1? ? (m ? 1)2
m 2

i.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 21 ???? ? 2m?2 ? 2m?1 ? 2m ? 3 当 m ? 6 时, 2 ? 3 ? (m ? 1) ,故不存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立 ii.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 21 ???? ? 2m?2 ? 2m?1 ? ?3 ? 0
-8-

显然不存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立

1 m ?3 ? ?2m? 2 ? 2m?1 ? 2m?1 ? 3 iii.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 2 ? ??? ? +2

?

? ?

?

当 2m?1 ? 3 ? (m ? 1)2 时,才存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立 当 m ? 6 时, q ? 6 ,构造: ?an ? 为 1,3,1,3,5, 7,9, ??? , ?bn ? 为 ?1, 2, 4,8, ?16,32, ??? 此时 p ? 3 , q ? 5 , 所以 m 的最大值为 6 .????????????16 分 所以 m ? 6

20.(1)当 a ?

1 , f ( x) ? ( x 2 ? bx ? 1)e? x , f ?( x) ? ?[ x 2 ? (b ? 2) x ? 1 ? b]e? x ,..1 分 2
...........2 分 ......3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? 1 ? b .当 b ? 0 时, f ?( x) ? 0 .

当 b ? 0 , 1 ? b ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , x ? 1 ? b 或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 b ? 0 , 1 ? x ? 1 ? b 时, f ?( x) ? 0 , x ? 1 ? b 或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以, b ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 (??,??) ;

b ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (1 ? b,1) ,递减区间为 (??,1 ? b) , (1,??) ;
b ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (1,1 ? b) ,递减区间为 (??,1) , (1 ? b,??) .
(2)由 f (1) ? 1 得 2a ? b ? 1 ? e , b ? e ? 1 ? 2a ,
x 2 由 f (1) ? 1 得 e x ? 2ax2 ? bx ? 1 ,设 g ( x) ? e ? 2ax ? bx ?1 ,

.....4 分

则 g ( x) 在 (0,1) 内有零点.设 x0 为 g ( x) 在 (0,1) 内的一个零点,则由 g (0) ? 0, g (1) ? 0 知 g ( x) 在区间

(0, x0 ) 和 ( x0 ,1) 上不可能单调递增,也不可能单调递减,设 h( x) ? g ?( x) ,则 h( x) 在区间 (0, x0 ) 和 ( x0 ,1) 上
均存在零点,即 h( x) 在 (0,1) 上至少有两个零点. 当a ? 当a ? 当

g ?( x) ? e x ? 4ax ? b , h?( x) ? e x ? 4a .

1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在区间 (0,1) 上递增, h( x) 不可能有两个及以上零点;.6 分 4 e 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在区间 (0,1) 上递减, h( x) 不可能有两个及以上零点;.7 分 4

1 e ? a ? 时,令 h?( x) ? 0 得 x ? ln(4a) ? (0,1) ,所以 h( x) 在区间 (0, ln(4a)) 上递减,在 (ln(4a),1) 上 4 4
............8 分 ........9 分

递增, h( x) 在区间 (0,1) 上存在最小值 h(ln(4a)) .

若 h( x) 有两个零点,则有: h(ln(4a)) ? 0 , h(0) ? 0 , h(1) ? 0 .

1 e h(ln( 4a)) ? 4a ? 4a ln( 4a) ? b ? 6a ? 4a ln( 4a) ? 1 ? e( ? a ? ) 4 4
设 ? ( x) ?

3 1 x ? x ln x ? 1 ? e, (1 ? x ? e) ,则 ? ?( x) ? ? ln x ,令 ? ?( x) ? 0 ,得 x ? e . 2 2

当 1 ? x ? e 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 递增,当 e ? x ? e 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 递减,

?( x)max ? ?( e ) ? e ?1 ? e ? 0 ,所以 h(ln(4a)) ? 0 恒成立.

..........10 分

-9-

由 h(0) ? 1 ? b ? 2a ? e ? 2 ? 0 , h(1) ? e ? 4a ? b ? 0 ,得 当

e?2 1 ?a? . 2 2

e?2 1 ? a ? 时,设 h( x) 的两个零点为 x1 , x2 ,则 g ( x) 在 (0, x1 ) 递增,在 ( x1 , x2 ) 递减,在 ( x2 ,1) 递增, 2 2

所以 g ( x1 ) ? g (0) ? 0 , g ( x2 ) ? g (1) ? 0 ,则 g ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内有零点. 综上,实数 a 的取值范围是 (

e?2 1 , ). 2 2

........16 分

高三数学附加题参考答案

2016.3

??1 0 ? ? , A?1 B ? ? ?1 ?2? 1. 1. A ? ? ?0 3? ? 0 1? ? ? ? 2?
?1

? x ? 2 ? 2t ? y ? 1 ? 4t ,消去参 数 t ,得直线 l 的普通方程为 y ? 2 x ? 3 , 2. (1)由 ?

? ? 2 2 sin?? ?


? ?

??

? 4 ? ,即 ? ? 2?sin ? ? cos? ? ? ? 2 ? 2?? sin ? ? ? cos? ? ,
2 2

消去参数 ? ,得直角坐标方程为 ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ..............5 分 由(1)得圆心 C?1,1? ,半径 r ?

2,



C 到 l 的距离

d?

2 ?1? 3 2 2 ? 12

?

2 5 ? 2?r 5



所以,直线 l 与圆 C 相交........................ 10 分

- 10 -

4.(1) a0 ? 1, a1 ? 2

- 11 -



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