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浙江省宁波市2009—2010学年八校联考高二下学期期末考试数学试题(理科)



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宁波市

2009学年 高二期末八校联考数学试卷(理科) 第二学期
校对:王君 陈亮

考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.所有答案必须写在答题卷上,写在试题卷上无效。

3.考试结束,只需上交答题卷,不得使用计算器。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.设 z = 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z +
2

2 = z
C. 1 ? i D. 1 + i

A. ?1 ? i

B. ?1 + i

2.若集合 M = { y | y = 3 x }, N = {x | y = 1 ? 3 x }, 那么 M∩N=
1 A. [0, ] 3 1 B. (0, ] 3 C. (0,+∞) D. [0,+∞)

3.设 a = ( x,4,3), b = (3,2, z ) ,且 a // b ,则 xz 等于
A. ? 4 B. ? 9 C. 9 D.

64 9

4.已知函数 f ( x ) = ax 2 + bx + 3a + b 是定义域为 [ a ? 1,2 a ] 的偶函数,则 a + b 的值
A .0 B.

1 3

C .1

D. ? 1

[来源:学,科,网]

5.对于定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x + 3) = f ( x ) ,若 f (?1) =1,则

f (1) + f (2) + ? + f (10) =
A.0 B. ? 1 C .1 D.10
1 3 5 7 13 15 17 19

6. 对于大于 1 的自然数 m 的 n 次幂可用奇数进行如图所示

的“分裂”,仿 此,记 5 的“分裂”中的最小数为 a ,而 5 的
“分裂”中最大的数是 b ,则 a + b =

3

2

1 22 3 3 23 33 5 32

1 3 5 7 9 11 43 42

A.30 C.32

B.26 D.36

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7.若函数 f ( x ) 在 R 上可导,且 f ( x ) = x + 2 f ′ ( 2 ) x + 3 ,则
2

A. f ( 0 ) < f ( 6 )

B. f ( 0 ) = f ( 6 )

C. f ( 0 ) > f ( 6 )

D.无法确定

8.函数 f (x ) 在定义域 R 内可导,若 f (1 ? x ) = f (1 + x ) ,且当 x ∈ (?∞,1) 时, ( x ? 1) f ′( x ) < 0 ,设

1 a = f (0) , b = f ( ) , c = f (3) ,则 2
A. a < b < c B. b < c < a C. c < b < a D. c < a < b

9.若关于 x 的不等式 2? | x ? a |> x 2 至少有一个负数解,则实数 a 的取值范围是

9 5 7 7 <a<2 B. ? < a < 2 C. ? < a < 2 D. ? < a < 3 4 4 4 3 1 3 2 10.已知函数 y = x + x + x 的图象 C 上存在一点 P 满足:若过点 P 的直线 l 与曲线 C 交于不同于 P 的 3
A. ? 、N ,恒 有 y1 + y 2 为 定值 y 0 ,则 y 0 的值为 两点 M( x1 , y1 ) ( x 2 , y 2 ) A. ?

1 3

B. ? 2

C. ?

4 3

D. ?

2 3

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.如果复数 z = a 2 + a ? 2 + ( a 2 ? 3a + 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为 12.曲线 y = xe x + 2 x + 1 在点(0,1)处的切线方程为 13.函数 y = ▲ ▲

2x +1 的值域是 2x ?1



14.已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 AB = 4, AD = 3, AA1 = 5,

∠BAD = 90。 ∠BAA1 = ∠DAA1 = 60。 则 AC1 = , ,



15.已知函数 f ( x) = x3 + x ( ?2 < x < 2 ) ,则不等式 f ( a ) + f ( a 2 ? 2) < 0 的解集为 ▲ 16.在解决问题: “证明数集 A = x 2 < x ≤ 3 没有最小数”时,可用反证法证明. 假设 a ( 2 < a ≤ 3) 是 A 中的最小数,则取 a′ =

{

}

a+2 2+2 a+2 a+a ,可得: 2 = < a′ = < = a ≤3, 2 2 2 2

与假设中“ a 是 A 中的最小数”矛盾! 那么对于问题: “证明数集 B = ? x x =

? ?

n ? , m, n ∈ N? , 并且n < m ? 没 m ?
▲ (用 m0 ,

有最大数”也可以用反证法证明. , 我们可以假设 x =

n0 是 B 中的最大数, 则可以找到 x′ = m0

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n0 表示) ,由此可知 x′ ∈ B , x′ > x ,这与假设矛盾!所以数集 B 没有最大数.
17.已知函数 f ( x) = ① f ( x ) 是奇函数;

x ,分别给出下面几个结论: 1? | x |
②函数 f ( x ) 的值域为 R;

③若 x1 ≠ x2,则一定有 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ;④函数 g ( x) = f ( x) + x 有三个零点. 其中正确结论的序号有 ▲ . (请将你认为正确的结论的序号都填上)
[来源:Zxxk.Com]

三、解答题:本大题共 5 个小 题,共 72 分.请写出必要的文字说明和解答过程。 18.已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC, ∠DAB = 90 , PA ⊥ 底面 ABCD,且 PA=AD= DC=

1 AB=1,M 是 PB 的中点。 2

(1)求直线 AC 与 P B 所成角的余弦值; (2)求面 AMC 与面PMC 所成锐二面角的大小的余弦值。

19.数列 {a n } 满足 S n = 2n ? a n ,其中 S n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n ,求 a1 , a 2 , a 3 , a 4 值,猜想 a n ,并用 数学归纳法加以证明。

20.已知函数 f ( x ) = x +
2

a x

( x ≠ 0 ,常数 a ∈ R )

(1)讨论函数 f (x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f (x ) 在 x ∈ [ 2, ∞ ) 上为增函数,求 a 的取值范围. +

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21.设 函数 f ( x ) =

a + x ln x (a ≥ 1) , g ( x) = x3 ? x 2 ? 3 . x

(1)求函数 g ( x) = x 3 ? x 2 ? 3 的单调区间 ;
(2) 如果存在 x1 , x2 ∈ [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ M ,求满足上述条件的最大整数 M ; (3)求证:对任意的 s, t ∈ [1, 2] ,都有 f ( s ) ≥ g (t ) 成立.

22. (请考生在下面甲、乙两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的甲题计分) 甲题 : ⑴ 若关于 x 的不等式 x + 1 ? x ? 2 < a 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围;
2 2 2 ⑵ 已知实数 a , b, c ,满足 a + b + c = 1 ,求 ( a ? 1) + 2( b ? 2) + 3( c ? 3) 最小值.

乙题: 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =4cos θ 。以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立
? 2 t+m ?x = 2 平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? ( t 是参数) 。 ? ?y = 2 t ? ? 2

⑴ 将曲线 C 的极坐标方程化成直角坐标方程并把直线 l 的参数方程转化为普通方程; ⑵ 若过定点 P m, 0) 的直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 PA ? PB = 3 ,试求实数 m 的值。 (

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2009学年 高二期末八校联考数学(理科答案) 第二学期

小题, 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 选择题(
3 题号 答案 1 C 2
[来源:Zxxk.Com]

1 4 5 B 6 A 7 C 8 D
[来源:学科网] [来源:学科网] 学科网]

9 0 A D

B

C

B

小题, 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 填空 题
11. 13.

?2

12. 14.

y = 3x + 1 85
'

( ?∞, ?1) ∪ (1, +∞ ) ( ?2, 0 ) ∪ ( 0,1) __

15.___

16._____ x =

n0 + t n +1 , t > 0 ,如_ x ' = 0 均给分 m0 + t m0 + 1

17.______①②④______

( 个小题, 解答应写出必要的文字说明, 三、解答题: 本大题共 5 个小题,共 72 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演 算 解答题: 步骤) 步骤)
18. 解:因为 PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以 A 为坐标原点 AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立 空间直角坐标系,不妨设 AD=1,则各点坐标为 A(0,0,0)B(0,2,0) , C(1,1,0) D(1,0,0) , ,P(0,0,1) ,M(0,1, ) …2 分 (1)解:因 AC = (1,1,0), PB = (0,2,?1),

1 2

故 | AC |= 2 , | PB |= 5 , AC ? PB = 2, 所以
cos < AC , PB >=

AC ? PB
| AC | ? | PB |

=

10 . 5

…6 分

(2)解:由题得:平面 PMC 的法向量为 n1 = ( x1 , y1 , z1 ) PM = ? 0,1, ?

? ?

1? ? , PC = ( ?1, ?1,1) 2?

z1 ? ?n1 ? PM = y1 ? = 0 2 所以 ? 解得: n1 = (1,1, 2 ) ….9 分 ?n ? PC = ? x ? y + z = 0 ? 1 1 1 1
同理设平面 AMC 的法向量为 n2 = ( x2 , y2 , z2 ) AM = ? 0,1,

? ?

1? ? , AC = (1,1, 0 ) 2?

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z2 ? ?n2 ? AM = y2 + = 0 2 所以 ? 解得: n2 = (1, ?1, 2 ) ….12 分 ?n ? AC = x + y = 0 ? 2 2 2
故 cos < n1 , n2 >=

n1 ? n2 n1 ? n2

=

2 2 , 即所求锐二面角的余弦值为 …..14 分 3 3

注:几何法求解,相应分步给分。

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∴ f (?1) ≠ ? f (1), f (?1) ≠ f (1) ∴ 函数 f (x ) 既不是奇函数,也不是偶函数……7 分

[来源:学科网]

(2)解法一:要使函数 f (x ) 在 x ∈ [ 2, ∞ ) 上为增函数 + 等价于 f ( x) ≥ 0 在 x ∈ [ 2, ∞ ) 上恒成立 +
'

即 f ( x) = 2 x ?
'
3

a ≥ 0 在 x ∈ [ 2, ∞ ) 上恒成立,……10 分 + x2
……12 分

故 a ≤ 2 x 在 x ∈ [ 2, ∞ ) 上恒成立 + ∴ a ≤ (2 x ) min = 16
3



a 的取值范围是 ( ? ∞, 16]

…………………………………………14 分

解法二:设 2 ≤ x1 < x2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = x12 +

( x ? x2 ) a a 2 ? x2 ? = 1 [ x1 x2 ( x1 + x2 ) ? a ] ……10 分 x1 x2 x1 x 2

要使函数 f (x ) 在 x ∈ [ 2, ∞ ) 上为增函数,必须 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) < 0 恒成立 +
∵ x1 ? x2 < 0, ,即 a < x1 x 2 ( x1 + x 2 ) 恒成立 ………………………………12 分

又∵ x1 + x 2 > 4 , x1 x2 > 4

∴ x1 x 2 ( x1 + x 2 ) > 16
……………………………………………14 分

∴ a 的取值范围是 ( ? ∞, 16]

21.解(1)考察 g ( x ) = x 3 ? x 2 ? 3 , g '( x ) = 3 x ? 2 x = 3 x ( x ? ) ,……2 分
2

2 3

2 2 或 x < 0 ,由 g ' ( x ) < 0 得 0 < x < , 3 3 2 2 增区间为 (?∞,0), ( ,+∞) ,减区间为 (0, ) ……4 分 3 3
由 g ' ( x) > 0 得 x > (2)存在 x1 , x2 ∈ [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ M 成立, 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ≥ M , ……5 分 由题(1)可知:当 x ∈ [0,2] 时, g ( x ) min = g ( ) = ?

2 3

85 , g ( x) max = g (2) = 1 ,……7 分 27

[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max = g ( x) max ? g ( x) min =
所以满足条件的最大整数 M = 4 ;

112 , 27
……9 分

(3)对任意的 s, t ∈ [1,2] ,都有 f ( s ) ≥ g (t ) 成立
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等价于:在区间 [1,2] 上,函数 f ( x ) 的最小值不小于 g ( x ) 的最大值,……10 分

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? 2 t+m ?x = ? 2 ⑵由直线参数方程的几何意义将 ? ?y = 2 t ? ? 2

代入 x + y ? 4 x = 0 得: t +
2 2
2

(

2m ? 2 2 t + m 2 ? 4m = 0 , (*)…………9 分

)

记两个根 t1 , t2 , 所以 PA ? PB = 3 得 t1 ? t2 = 3 ,…………10 分 由韦达定理 m ? 4m = 3 ,
2

当 m ? 4m = 3 时,解得: m = 2 ± 7
2 2

…………12 分

当 m ? 4m = ?3 时,解得: m = 1或者m = 3 …………14 分 经检验 m = 2 ± 7 或 m = 1或者m = 3 时(*) ? > 0 均符合题意。…………15 分

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附件 1:律师事务所反盗版维权声明 :

附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) :独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校名录参见:http://www.zxxk.com/wxt/Info.aspx?InfoID=85353

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