高一数学《正弦函数、余弦函数的图象与性质(二)》教案

湖南省长沙市第一中学

数学教案

高一（下）

第四章

三角函数

正弦函数、余弦函数的图象与性质（二） 教学目标 （一） 知识与技能目标 掌握正弦函数和余弦函数的性质． （二） 过程与能力目标 通过引导学生观察正、余弦函数的图像，从而发现正、余弦函数的性质，加 深对性质的理解．并会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间． （三） 情感与态度目标 渗透数形结合思想，培养学生辩证唯物主义观点． 教学重点 正、余弦函数的性质． 教学难点 正、余弦函数的性质的理解与应用． 教学过程 一、复习 正弦和余弦函数图象的作法：

二、研究性质： 1. 正弦函数、余弦函数的性质之一：定义域、值域 . (1) 定义域：y=sinx, y=cosx 的定义域为 R . (2) 值域： y=sinx, y=cosx 的值域为[-1，1]. ①|sinx|≤1, |cosx |≤1 (有界性) . ② 对于y = sin x
当且仅当x = 2kπ + 当且仅当x = 2kπ ?

π π
2

(k ∈ Z)时，ymax = 1; (k ∈ Z)时，ymin = ?1.

2

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三角函数

对于y = cos x 当且仅当x = 2kπ (k ∈ Z)时，ymax = 1; 当且仅当x = 2kπ + π (k ∈ Z)时，ymin = ?1.

2. 观察 R 上的 y=sinx 和 y=cosx 的图象可知：
当2kπ < x < (2k + 1)π (k ∈ Z)时，y = sin x > 0; 当(2k ? 1)π < x < 2kπ (k ∈ Z)时，y = sin x < 0.

当2kπ ?

(k ∈ Z)时， = cos x > 0; y 2 π 3π 当2kπ + < x < 2kπ + (k ∈ Z)时， = cos x < 0. y 2 2 2

π

< x < 2kπ +

π

应用

例1. 写出下列函数的定义域、值域： 1 (1) y = ; 1 + sinx (2) y = - 2cosx .
例2. 求下列函数的最值以及取到最值时x值的集合： (1) y = cos x + 1, x ∈ R; (2) y = sin 2 x, x ∈ R;
(3) y = sin(3x +

π

4

) ? 1, x ∈ R.

例 3．求函数 y = 1 ? 2 sin 2 x + 2 cos x 的值域．
1 3 解： y = 2 sin 2 x + 2 cos x ? 1 = 2(cos x + ) 2 ? , 2 2 1 3 当 cos x = ? 时， ymin = ? 当 cos x = 1 时， ymax = 3. 2 2 3 故所求函数的值域为 [? ,3]. 2

课堂小结：
1．正弦函数图像与余弦函数图像常见的性质. 2．正、余弦函数图像的应用．

作业：
1．阅读教材第 53～56 页；

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2．教材第 64 页习题 4.8 第 2、9 题．