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函数的最值习题课


1.3.1

单调性与最大(小)值 函数的最大(小)值

第二课时

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[最值的概念]
观察下面的函数图象:

问题1:该函数f(x)的定义域是什么? 问题2:该函数f(x)图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什么? 问题3:函数y=f(x)的值域是什么?
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[知识要点]
1.最大值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M ; (2)存在x0∈I,使得 f(x0)=M . 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.

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2.最小值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≥M ; (2)存在x0∈I,使得 f(x0)=M . 那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值.

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图象法求函数的最值

[例 1]

(1)函数 f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此 ( C )

函数的最小值、最大值分别是 A.-2,f(2) C.-2,f(5) B.2,f(2) D.2,f(5)

1 ? ? ?0<x<1? (2)求函数 f(x)=?x 的最值. ? ?x?1≤x≤2?

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(2)[解] 函数 f(x)的图象如图

由图象可知 f(x)的最小值为 f(1)=1.无最大值.

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[活学活用] 作出函数 y=|x-2|(x+1)的图象,说明函数的单调性,并判断是 否存在最大值和最小值.
1 9 解:当 x≥2,即 x-2≥0 时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x- )2- ; 2 4 1 9 当 x<2,即 x-2<0 时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x- )2+ . 2 4

??x-1?2-9,x≥2, ? 2 4 所以 y=? ?-?x-1?2+9,x<2. 2 4 ?

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画出该分段函数的图象,如图.由图象可知,函数 y=|x-2|(x+ 1 1 1)在(-∞, ],[2,+∞)上是增函数;在[ ,2]上是减函数. 2 2 观察函数图象,可知函数不存在最大值,也不存在最小值.

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利用单调性求函数的最值
1 已知函数 f(x)=x+x.

[例 2]

(1)证明:f(x)在(1,+∞)内是增函数; (2)求 f(x)在[2,4]上的最值.

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[ 解]

(1)证明:设任意两个 x1,x2∈(1,+∞),并且 x1<x2.

1 1 1 则 f(x1) - f(x2) = x1 + - x2 - = (x1 - x2)· (1 - )= x1 x2 x1x2 ?x1-x2?· ?x1x2-1? . x1x2 ∵x2>x1>1,∴x1-x2<0, ?x1x2-1? 又 ∵ x1x2>1 , ∴ x1x2 - 1>0 , 故 (x1 - x2)· <0 , 即 x1x2 f(x1)<f(x2),所以 f(x)在(1,+∞)内是增函数.

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(2)由(1)可知 f(x)在[2,4]上是增函数, ∴当 x∈[2,4]时,f(2)≤f(x)≤f(4). 1 5 1 17 又 f(2)=2+ = ,f(4)=4+ = , 2 2 4 4 17 5 ∴f(x)在[2,4]上的最大值为 ,最小值为 . 4 2

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[活学活用] 1 在题设条件不变的情况下,求 f(x)在[ ,2]上的最值. 3
1 1 解:设 x1x2∈[ ,1],并且 x1<x2,同理可证 f(x1)>f(x2),即 f(x)在[ , 3 3 1]上是减函数. 1 结合例题可知,函数 f(x)在[ ,1]上单调递减,在(1,2)上单调递增. 3 ∴当 x=1 时,f(x)取得最小值 f(1)=2; 1 1 10 5 1 10 又 f( )= +3= >f(2)= ,∴f(x)在[ ,2]上的最大值为 ,最小 3 3 3 2 3 3 值为 2.

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函数最值的应用
[例 3] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,

每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数: 1 2 ? ?400x- x ,0≤x≤400, 2 R(x)=? 其中 x 是仪器的月产量. ? ?80 000,x>400. (1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多 少元?(总收益=总成本+利润)

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[解]

(1)设月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x,从而

1 2 ? ?- x +300x-20 000,0≤x≤400, f(x)=? 2 ? ?60 000-100x,x>400. (2)当 0≤x≤400 时, 1 f(x)=- (x-300)2+25 000, 2

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∴当 x=300 时,[f(x)]max=25 000. 当 x>400 时, f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000. ∴当 x=300 时,[f(x)]max=25 000. 即每月生产 300 台仪器时利润最大, 最大利润为 25 000 元.

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4.二次函数的最值问题
[典例] 值.
[解] f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为 x=a.

求 f(x)=x2-2ax-1 在区间[0,2]上的最大值和最小

(1)当 a<0 时,由图①可知,f(x)在区间[0,2]上是增函数,所 以 f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a. (2)当 0≤a≤1 时,由图②可知,对称轴在区间[0,2]内,所以 f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a. (3)当 1<a≤2 时,由图③可知,对称轴在区间[0,2]内,所以 f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.
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(4)当 a>2 时, 由图④可知, f(x)在[0,2]上为减函数, 所以 f(x)min =f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.

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例:(1)求二次函数在某定区间上的最小(大)值. 求二次函数 f(x)=x2-2ax+2 在[2,4]上的最小值.
解:∵函数图象的对称轴是 x=a, ∴当 a<2 时, f(x)在[2,4]上是增函数, ∴f(x)min=f(2)=6-4a. 当 a>4 时,

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f(x)在[2,4]上是减函数, ∴f(x)min=f(4)=18-8a. 当 2≤a≤4 时, f(x)min=f(a)=2-a2. ?6-4a,a<2, ? 2 ∴f(x)min=?2-a ,2≤a≤4, ?18-8a,a>4. ?

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(2)已知二次函数的最大(小)值,求参数. 例:已知函数 y=-x2-2ax(0≤x≤1),且 ymax=a2,求实数 a 的取值范围.
解:∵y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2(0≤x≤1), ∴函数图象是开口向下的抛物线,且对称轴为 x=-a. 又∵ymax=a2,且 0≤x≤1, ∴0≤-a≤1?-1≤a≤0. ∴实数 a 的取值范围是[-1,0].

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(3)求二次函数在某动区间上的最大(小)值. 例:设 f(x)=x2-4x-4,x∈[a,a+1](a∈R),求函数 f(x) 的最小值 g(a)的解析式. 解:∵f(x)=(x-2)2-8,x∈[a,a+1], ∴当 2∈[a,a+1]时,即 1≤a≤2 时, g(a)=f(2)=-8.

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当 a+1<2,即 a<1 时,f(x)在[a,a+1]上是减函数, ∴g(a)=f(a+1)=a2-2a-7. 当 a>2 时,f(x)在[a,a+1]上是增函数, ∴g(a)=f(a)=a2-4a-4. a<1, ?a2-2a-7, ? 综上可知,g(a)=?-8, 1≤a≤2, ?a2-4a-4, a>2. ?

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[随堂即时演练]
1.函数 f(x)的图象如图,则其最大值、最小值分别为( B ) 3 3 A.f( ),f(- ) 2 2 3 B.f(0),f( ) 2 3 C.f(- ),f(0) 2 D.f(0),f(3)

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2.函数 f(x)=x2+3x+2 在区间(-5,5)上的最大值、最小值 分别为 A.42,12 1 C.12,- 4
2

( 1 B.42,- 4 1 D.无最大值,最小值- 4

)

32 1 解析: f(x)=x +3x+2=(x+ ) - , 2 4 3 ∵-5<- <5, 2 3 1 ∴f(x)min=f(- )=- ,无最大值,故选 D. 2 4

答案:D

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3.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数 a的值是________. 解析:a>0时,由题意得2a+1-(a+1)=2,即a=2; a<0时,a+1-(2a+1)=2,∴a=-2. 综上,a=±2. 答案:±2.

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1 ? ? ,x≥1 4.函数 f(x)=?x 的最大值为________. 2 ? ?-x +2,x<1
1 解析:当 x≥1 时,函数 f(x)=x为减函数,所以在 x=1 处取得最大值,为 f(1)=1;当 x<1 时,易知函数 f(x)= -x2+2 在 x=0 处取得最大值,为 f(0)=2. 故函数 f(x)的最大值为 2.
答案:2

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x-1 5.已知函数 f(x)= ,x∈[3,5]. x+2 (1)判断函数 f(x)的单调性; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值.
解:(1)任取 x1,x2∈[3,5]且 x1<x2,则 x1-1 x2-1 f(x1)-f(x2)= - x1+2 x2+2 ?x1-1??x2+2?-?x2-1??x1+2? = ?x1+2??x2+2? x1x2+2x1-x2-2-x1x2-2x2+x1+2 = ?x1+2??x2+2?
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3?x1-x2? = . ?x1+2??x2+2? ∵x1,x2∈ [3,5]且 x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0. ∴f(x1)<f(x2). x-1 ∴函数 f(x)= 在[3,5]上为增函数. x+2

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2 (2)由(1)知,当 x=3 时,函数 f(x)取得最小值,为 f(3)= ; 5 4 当 x=5 时,函数 f(x)取得最大值,为 f(5)= . 7

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